2.1 定義

以下定義是相當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)的笤喳。由于在數(shù)學(xué)间校，計算機(jī)科學(xué)和統(tǒng)計學(xué)的各種應(yīng)用中，諸如關(guān)系之類的單詞使用的方式有所不同教寂，因此我們嘗試盡可能地給它們一個通用的符號和結(jié)構(gòu)捏鱼。這意味著我們的符號可能與某些專業(yè)領(lǐng)域中使用的符號不同。選擇抽象級別和細(xì)節(jié)級別并不容易酪耕。當(dāng)抽象不符合我們的目的時导梆，我們已嘗試避免抽象，并且僅在為了清楚起見需要它們時才包含這些術(shù)語迂烁。

2.1.1 Sets 集

集合是唯一對象的集合看尼，我們用大寫字母表示（例如 $X$ ）。集合中的對象稱為集合中的元素或成員盟步。我們用小寫字母（例如 $x$ ）表示元素藏斩，并用 $x\in X$ 表示狀態(tài)“ $x$ 是 $X$ 的元素”。我們用花括號（例如） $X=\{a,b,c\}$ 分隔集合中的元素却盘。我們將表示為的集合的補(bǔ)碼定義為所有不在 $X$ 中的元素的集合狰域。

空集（ $\oslash$ ）是一個空集或沒有元素的集。我們用 $R$ 表示實數(shù)集黄橘，用 $Z$ 表示整數(shù)兆览，用 $N$ 表示自然數(shù)（大于零的整數(shù)）。我們用 $A=\{a:a\in R,a>0\}$ 表示法表示“ $A$ 是元素 $a$ 的集合塞关，每個 $a$ 是一個成員如果集合 $A$ 的每個元素也是集合 $B$ 的元素抬探，則 $A$ 是 $B$ 的子集，表示為 $A\subseteq B$ 如果 $A$ 是 $B$ 的子集帆赢，但 $B$ 中至少有一個元素不在 $A$ 中小压，則 $A$ 是 $B$ 的適當(dāng)子集，表示為 $A\subset B$ 椰于。

如果將 $A$ 的每個元素與 $B$ 的元素配對场航，從而 $A$ 的每個元素恰好出現(xiàn)一次，而 $B$ 的每個元素恰好出現(xiàn)一次廉羔，則在配對中，我們說 $A$ 和 $B$ 是等價的僻造，表示為憋他。如果集合 $A$ 等于整數(shù)集合的子集，我們說集合 $A$ 是可數(shù)的髓削。如果 $A$ 為 $null$ 或等效于集合 $\{1,2,...,m\}$ 竹挡，其中 $m$ 為正整數(shù)，則我們說 $A$ 為有限集立膛。有限集的基數(shù)為 $m$ 揪罕，即元素的數(shù)量梯码。索引集是 $\{(1,a_1,(2,a_2),...,(m,a_m)\}$ 形式的集合。

包是允許重復(fù)元素的集合好啰。我們用方括號對袋子中的元素進(jìn)行定界轩娶，例如 $B=<a,b,b,c>$ 。列表是有序的包框往。定義列表的另一種方法是說它是一個索引集鳄抒。定義列表的另一種方法是說它是零個或多個元素的完全有序的序列。

兩個實數(shù) $a$ 和 $a<b$ 確定 $R$ 中的區(qū)間椰弊。兩種類型的區(qū)間是:
$\begin{align} (a,b) &= \{x:a<x<b\} 開區(qū)間\\ [a,b] &= \{x:a\le x\ge b\} 閉區(qū)間 \end{align}$

我們也可能在左邊關(guān)閉并在右邊打開许溅，或者在左邊打開并在右邊關(guān)閉。

用 $A\cap B$ 表示的兩個集合A和B的交集是集合 $A\cap B = \{x:x \in A \ and\ x \in B\}$
如果 $A=\{1,2\}$ 且 $B=\{2,3,4\}$ ,則 $A\cap B=\{2\}$ 秉版。如果兩個集合不相交 $A\cap B=\oslash$ 兩個集合A和B的并集（用 $A\cup B$ 表示）是集合 $A\cup B=\{x:x\in A\ or \ x\in B\}$

舉個例子贤重，如果 $A=\{1,2\}$ 且 $B=\{2,3,4\}$ ,則 $A\cup B=\{1,2,3,4\}$ 。

由 $A\sqcup B$ 表示的兩個集 $A$ 和 $B$ 的不相交并集產(chǎn)生了一個集合清焕，其成員是帶標(biāo)簽的元素并蝗。帶標(biāo)簽的元素是x:$形式之一，其中 $x\in X$ 是元素耐朴，而符號$是標(biāo)記借卧。標(biāo)簽有時稱為標(biāo)識符或顏色。它可以是字符串筛峭，數(shù)字值或其他信息铐刘。使用不相交的并集，我們用包含該元素的集合的名稱標(biāo)記一個元素影晓。例如镰吵，如果 $A = \{1,2\}$ 并且 $B = \{2,3,4\}$ ，則 $A\sqcup B= \{1:A,2:A,2:B,3:B,4:B\}$ 挂签。標(biāo)簽只是標(biāo)簽疤祭，它們不參與數(shù)值計算。

集合 $A$ 的一個分區(qū)是其并集為 $A$ 的非空饵婆、成對不相交子集的集合 $\{A_1,...,A_n\}$ 勺馆。這些子集稱為塊。如果 $P_1$ 的每個塊都包含在 $P_2$ 的某個塊中侨核，則一個分區(qū) $P_1$ 被稱為細(xì)化另一個分區(qū) $P_2$ 草穆。在關(guān)于聚類和決策樹的文獻(xiàn)中，連續(xù)細(xì)化（ $P_1$ 細(xì)化 $P_2$ 細(xì)化 $P_3$ …）被稱為遞歸分割（e.g.搓译，breiman et al.悲柱，1984）。

集合 $A$ 和 $B$ 的（笛卡爾）乘積（用 $A\times B$ 表示）是集合 $A\times B = \{(a,b):a\in A \ and \ b \in B\}$

對于我們的例子些己， $A\times B= \{(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4)\}$ 豌鸡。

我們稱 $(a,b)$ 有序?qū)蛟M嘿般。盡管此表示法與開放區(qū)間的表示法相同，但從上下文中應(yīng)清楚其含義涯冠。我們稱 $(a_1,a_2,...,a_n)$ 為一個n元組炉奴。我們將n元組中的項 $a_i(i = 1,...,n)$ 稱為條目。 n元組的度為n功偿，我們用 $R^n$ 表示實數(shù)對的乘積集盆佣。

2.1.2 關(guān)系

設(shè) $A$ 和 $B$ 。 $A$ 和 $B$ 之間的二進(jìn)制關(guān)系 $R$ 是 $A\times B$ 的子集械荷。給定 $A\times B$ 中的元組 $(a,b)$ 共耍，如果 $(a,b)\in R$ 我們說 $a$ 通過 $R$ 相關(guān)。一個例子是實數(shù)集合 $R$ 與本身給出的“小于或等于”關(guān)系通過 $R=\{(x,y):x\le y,x\in R,y\in R\}$ 吨瞎。另一個例子是集合之間的性別名稱關(guān)系 $R$
$\begin{align} A &= \{"boy", "girl"\} , \mbox{和}\\ B &= \{"Mary", "John", "Jean", "Pittsburgh"\} , \mbox{由}\\ R &= \{("boy", "John"), ("boy", "Jean"), ("girl", "Mary"), ("girl", "Jean")\} \end{align}$

$A$ 的某些成員可能不通過 $R$ 與 $B$ 的任何成員相關(guān)痹兜， $B$ 的某些成員可能不通過 $R$ 與 $A$ 的任何成員相關(guān)（除非我們假定某人可能被稱為匹茲堡！）颤诀。

$\{A_1\times A_2\times ... A_n\}$ 上的n元關(guān)系R是 $\{A_1\times A_2\times ... A_n\}$ 的子集字旭。一些作者通過標(biāo)記來表示這種關(guān)系，例如:
$R=\{(a_{11}:A_1,a_{12}:A_2,...,a_{1n}:A_n),...(a_{m1}:A_1,a_{m2}:A_2,...,a_{mn}:A_n)\}$ 當(dāng) $a_(ij) \in A_j$

2.1.3 函數(shù)

假設(shè)我們?yōu)榧?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=A" alt="A" mathimg="1">的每個元素分配了集合 $B$ 的唯一元素崖叫。這些分配的集合是一個函數(shù)遗淳，也稱為從 $A$ 到 $B$ 的映射。表示 $f$ 將 $B$ 的元素分配給的元素 $A$ 心傀，我們寫做 $f:A \rightarrow B$

我們稱 $A$ 為 $f$ 的域屈暗， $B$ 為 $f$ 的值域。元素 $f(a)\in B$ 是 $B$ 中 $f$ 分配給 $a\in A$ 的唯一元素脂男。我們將這些元素的集合 $\{f(a):a\in A\}$ 稱為 $f$ 下或 $f$ 范圍內(nèi)的 $A$ 的圖像养叛。描述函數(shù)的另一種方法（無需明確命名）是使用符號。在這種用法中宰翅，“ $a\mapsto b$ ”的意思是“將 $b$ 分配給 $a$ 的函數(shù)”弃甥。

像函數(shù)一樣的對象可以看作是黑盒子，可以接收輸入并返回輸出汁讼。對于每個輸入淆攻，只有一個可能的輸出。該輸出不必是單個數(shù)字或字符串嘿架。輸出是值域 $B$ 元素采用的任何形式卜录。許多不同的輸入可能會產(chǎn)生相同的輸出，但是對于給定的輸入眶明，我們可能不只有一個帶標(biāo)簽的輸出。這個黑匣子定義包括函數(shù) $f(x)=x^2$ 以及函數(shù) $f$ （二叉樹）= 其父子關(guān)系列表筐高。

2.1.4 圖

對于每個函數(shù) $f:A \rightarrow B$ 搜囱，都有一個 $A\times B$ 子集丑瞧， $\{(a,f(a):a\in A)\}$

我們稱之為 $f$ 的圖。函數(shù) $f(x)= x^2$ 的圖形蜀肘，其中 $x$ 屬于實數(shù)集绊汹，是所有元組 $(x,x^2)$ 的集合，它是實數(shù)集與其自身交叉的子集扮宠。函數(shù) $f$ （二叉樹）= 其父子關(guān)系列表的圖是由（二叉樹西乖，其父子關(guān)系列表）定義的所有元組的集合，它是相交的子集所有二叉樹的集合與所有父子關(guān)系列表的集合坛增。函數(shù)圖唯一地確定函數(shù)获雕，反之亦然。例如收捣，如果 $(2,4)$ 是 $f$ 的圖届案，則 $f(2)= 4$ 。

2.1.5 組成

合成是由功能鏈形成的功能罢艾。設(shè) $f:X \rightarrow Y$ 和 $g:Y' \rightarrow Z$ 是 $f$ 的值域是 $g$ （即, $Y\subseteq Y'$ ）的域的子集的函數(shù)楣颠。由規(guī)則:
$(g\circ f)(x)=g(f(x))\; \mbox{for all}\; x\in X$
所定義的函數(shù) $g\circ f:X \rightarrow Z$ 是 $f$ 和 $g$ 的組成或復(fù)合函數(shù)。

例如咐蚯，如果 $f$ 和 $g$ 是字符串函數(shù)童漩，并且 $f$ 的功能規(guī)則是<大寫最左字母>，而 $g$ 的規(guī)則是<大寫字母數(shù)>春锋，則將定義以下組成矫膨，因為所有輸入都是集合的成員字符串和 $f$ 的任何輸出是 $g$ 的合法輸入。

g(f("wow")) = 1
g(f("Wow")) = 1
g(f("123")) = 0
g(f("")) = 0

組成范圍是 $g$ 的范圍看疙，即非負(fù)整數(shù)的集合豆拨。同樣，空字符串是字符串集的成員能庆。如果我們以C之類的語言實現(xiàn)這些功能施禾，則必須確保正確處理null值。

2.1.6 轉(zhuǎn)換

轉(zhuǎn)換是將集合 $A$ 映射到自身的函數(shù) $f:A\rightarrow A$ 搁胆。所有轉(zhuǎn)換都是函數(shù)弥搞，但并非所有函數(shù)都是轉(zhuǎn)換。因為轉(zhuǎn)換將集合映射到自身渠旁，所以轉(zhuǎn)換的組成就是轉(zhuǎn)換攀例。

例如，如果 $f$ 和 $g$ 是文本字符串轉(zhuǎn)換顾腊，并且 $f$ 的規(guī)則是<大寫最左字母>粤铭，而 $g$ 的規(guī)則是<附加感嘆號>，則以下組合都是轉(zhuǎn)換杂靶。

g(f("wow")) = "Wow!"
f(f("wow")) = "Wow"
g(g("wow")) = "wow!!"
f(g(f("wow"))) = "Wow!"
g(f(g("wow"))) = "Wow!!"
f(g("")) = "!"

2.1.7 代數(shù)

代數(shù)是

集合
集合上的算子
這些算子組合的規(guī)則的集合梆惯。

該定義包含的代數(shù)比基于實數(shù)的普通算術(shù)的經(jīng)典代數(shù)更通用酱鸭，更受限或更抽象。

運(yùn)算符概括了轉(zhuǎn)換的概念垛吗。集合 $X$ 上的運(yùn)算符是在集合 $X\times X \times \dots X$ 上定義的函數(shù)凹髓，該函數(shù)在 $X$ 中返回一個值。運(yùn)算符為一元或一元的（具有一個參數(shù)怯屉，即在 $X$ 上定義蔚舀，因此有一個轉(zhuǎn)換），二進(jìn)制或二元函數(shù)（具有兩個參數(shù)锨络，即在 $X\times X$ 上定義）或n元（具有很多參數(shù)赌躺，即在 $X$ 與自身的n倍積上定義）。代數(shù)規(guī)則指定運(yùn)算符的組成方式足删。一個示例是由 $(a,b)\mapsto a+b$ 定義的集合 $R$ 上的運(yùn)算符“ $+$ ”寿谴。

2.1.8 變量

變量 $X$ 是映射 $f:O\rightarrow V$ ，我們將其視為三元組：
$X=[O,V,f]$ 當(dāng)
定義域 $O$ 是對象的集合失受，值域 $V$ 是值的集合讶泰，函數(shù) $f$ 將 $O$ 中的每一個元素分配給 $V$ 中對應(yīng)的值。

$f$ 下的 $O$ 圖像包含 $X$ 的值拂到。我們將可能的值表示為 $x$ 痪署，其中 $x\in V$ 。我們將對象的值表示為 $X(o)$ 兄旬，其中 $o\in O$ 狼犯。如果 $V$ 是一個間隔，則變量是連續(xù)的领铐。如果在 $V$ 和整數(shù)的有限子集之間存在等價變量悯森，則該變量為類別變量。

變量可以是多維的绪撵。 $X$ 是由 $p$ 個一維變量組成的 $p$ 維變量：
$\begin{align} X&=(X_1,...,X_P)\\ &=[O,V_i,f],i=1,...,p\\ &=[O,V,f] \end{align}$
元素 $x=(x_1,...,x_p),x\in V$ 是 $X$ 的 $p$ 維值瓢姻。

2.1.9 變量集

我們稱這樣的三元組：
$X=[V,\tilde{O},f]$ 為一個變量集。這個詞代表變量集音诈。

varset反轉(zhuǎn)用于變量的映射幻碱。也就是說，定義域 $V$ 是一組值细溅，值域 $\tilde{O}$ 是所有可能的對象包的集合褥傍，函數(shù) $f$ 為 $V$ 的每個元素分配 $\tilde{O}$ 中的一個元素。

為了簡化變量集上圖形代數(shù)運(yùn)算的定義喇聊，我們將通常用于變量的映射進(jìn)行了反轉(zhuǎn)恍风。為此，我們還將變量的對象集替換為varset的包集。我們在值域中使用包朋贬，因為一個值可能多次映射到一個對象（如重復(fù)測量）鸥咖。

2.1.10 框架

框架是一組元組 $(x_1,...,x_p)$ ，范圍覆蓋 $p$ 維變量集域中的所有可能值兄世。因此框架依賴于代數(shù)表達(dá)式“⊙校框架作為計算美學(xué)的參考結(jié)構(gòu)御滩。通俗的作家常把框架稱為用軸劃分的矩形界限，類似于畫框党远。這種流行的觀念有幾個問題削解。首先，軸是坐標(biāo)系的參考線沟娱；它們不是空間的邊界氛驮。第二，框架不僅僅是位置的济似；例如矫废，我們可以用一個生成顏色空間的代數(shù)表達(dá)式構(gòu)造一個顏色框架。第三砰蠢，框架不是矩形蓖扑；它們是元組的集合。

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