關(guān)于卡爾曼濾波和粒子濾波最直白的解釋

卡爾曼濾波本來(lái)是控制系統(tǒng)課上學(xué)的，當(dāng)時(shí)就沒學(xué)明白型檀，也蒙混過(guò)關(guān)了冗尤，以為以后也不用再見到它了，可惜沒這么容易胀溺，后來(lái)學(xué)計(jì)算機(jī)視覺和圖像處理裂七，發(fā)現(xiàn)用它的地方更多了，沒辦法的時(shí)候只好耐心學(xué)習(xí)和理解了仓坞。一直很想把學(xué)習(xí)的過(guò)程記錄一下碍讯，讓大家少走彎路，可惜總也沒時(shí)間和機(jī)會(huì)扯躺，直到今天捉兴。。录语。
我一直有一個(gè)愿望倍啥，就是把抽象的理論具體化，用最直白的方式告訴大家--不提一個(gè)生澀的詞澎埠，不寫一個(gè)數(shù)學(xué)公式虽缕，像講故事一樣先把道理說(shuō)明白，需要知道細(xì)節(jié)的同學(xué)可以自己去查所有需要知道的一切蒲稳。因?yàn)閷W(xué)習(xí)的過(guò)程告訴我氮趋，最難的其實(shí)是最初和這個(gè)理論和應(yīng)用背景親和的過(guò)程--這些理論它究竟是做什么的，又是怎么做到的江耀∈Ｐ玻可惜我們能看到的關(guān)于這些理論的資料大多數(shù)都是公式的堆砌并且假定我們明白許多“基本的道理”，其實(shí)這些“基本的道理”往往是我們最難想象和超越的祥国。以卡爾曼濾波為例昵观，讓我們嘗試一種不同的學(xué)習(xí)方法。
相信所有學(xué)習(xí)卡爾曼濾波的同學(xué)首先接觸的都是狀態(tài)方程和觀測(cè)方程舌稀，學(xué)過(guò)控制系統(tǒng)的同學(xué)可能不陌生啊犬，否則，先被那兩個(gè)看起來(lái)好深?yuàn)W的公式給嚇跑了壁查，關(guān)鍵是還不知道他們究竟是干什么的觉至，什么是狀態(tài)，什么是觀測(cè)睡腿。语御。峻贮。。沃暗。月洛。如果再看到后面的一大串遞歸推導(dǎo)增益，實(shí)在很暈很暈孽锥，更糟糕的是還沒整明白的時(shí)候就已經(jīng)知道卡爾曼濾波其實(shí)已經(jīng)不夠使了嚼黔，需要extended kalmanfilter 和particle filter了。惜辑。唬涧。
其實(shí)我們完全不用理會(huì)這些公式。先來(lái)看看究竟卡爾曼濾波是做什么的盛撑，理解了卡爾曼濾波碎节，下面的就順其自然了。
用一句最簡(jiǎn)單的話來(lái)說(shuō)抵卫，卡爾曼濾波是來(lái)幫助我們做測(cè)量的狮荔，大家一定不明白測(cè)量干嘛搞那么復(fù)雜？測(cè)量長(zhǎng)度拿個(gè)尺子比一下介粘，測(cè)量溫度拿溫度表測(cè)一下不就完了嘛殖氏。的確如此，如果你要測(cè)量的東西很容易測(cè)準(zhǔn)確姻采，沒有什么隨機(jī)干擾雅采，那真的不需要?jiǎng)隈{卡爾曼先生。但在有的時(shí)候慨亲，我們的測(cè)量因?yàn)殡S機(jī)干擾婚瓜，無(wú)法準(zhǔn)確得到，卡爾曼先生就給我們想了個(gè)辦法刑棵，讓我們?cè)诟蓴_為高斯分布的情況下巴刻，得到的測(cè)量均方誤差最小，也就是測(cè)量值擾動(dòng)最小铐望，看起來(lái)最平滑冈涧。
還是舉例子最容易明白。我最近養(yǎng)了只小兔子正蛙，忍不住拿小兔子做個(gè)例子嘻嘻。
每天給兔子拔草营曼，看她香甜地吃啊吃地乒验，就忍不住關(guān)心一下她的體重增長(zhǎng)情況。那么我們就以小兔子的體重作為研究對(duì)象吧蒂阱。假定我每周做一次觀察锻全，我有兩個(gè)辦法可以知道兔子的體重狂塘，一個(gè)是拿體重計(jì)來(lái)稱：或許你有辦法一下子就稱準(zhǔn)兔子的體重（獸醫(yī)通常都有這辦法），但現(xiàn)在為了體現(xiàn)卡爾曼先生理論的魅力鳄厌，我們假定你的稱實(shí)在很糟糕荞胡，誤差很大，或者兔子太調(diào)皮了嚎，不能老實(shí)呆著泪漂，彈簧秤因?yàn)樾⊥米拥幕蝿?dòng)會(huì)產(chǎn)生很大誤差。盡管有誤差歪泳，那也是一個(gè)不可失去的渠道來(lái)得到兔子的體重萝勤。還有一個(gè)途徑是根據(jù)書本上的資料，和兔子的年齡呐伞，我可以估計(jì)一下我的小兔子應(yīng)該會(huì)多重敌卓，我們把用稱稱出來(lái)的叫觀察量，用資料估計(jì)出來(lái)的叫估計(jì)值伶氢，無(wú)論是觀察值還是估計(jì)值顯然都是有誤差的趟径，假定誤差是高斯分布。現(xiàn)在問題就來(lái)了癣防，按照書本上說(shuō)我的兔子該3公斤重蜗巧，稱出來(lái)卻只有2.5公斤，我究竟該信哪個(gè)呢劣砍？如果稱足夠準(zhǔn)惧蛹，兔子足夠乖，卡爾曼先生就沒有用武之地了呵呵刑枝，再?gòu)?qiáng)調(diào)一下是我們的現(xiàn)狀是兔兔不夠乖香嗓，稱還很爛呵呵。在這樣惡劣的情景下装畅，卡爾曼先生告訴我們一個(gè)辦法靠娱，仍然可以估計(jì)出八九不離十的兔兔體重，這個(gè)辦法其實(shí)也很直白掠兄，就是加權(quán)平均像云，把稱稱出來(lái)的結(jié)果也就是觀測(cè)值和按照書本經(jīng)驗(yàn)估算出來(lái)的結(jié)果也就是估計(jì)值分別加一個(gè)權(quán)值，再做平均蚂夕。當(dāng)然這兩個(gè)權(quán)值加起來(lái)是等于一的迅诬。也就是說(shuō)如果你有0.7分相信稱出來(lái)的體重，那么就只有0.3分相信書上的估計(jì)婿牍。說(shuō)到這里大家一定更著急了侈贷，究竟該有幾分相信書上的，有幾分相信我自己稱的呢等脂？都怪我的稱不爭(zhēng)氣俏蛮，沒法讓我百分一百信賴它撑蚌，還要根據(jù)書上的數(shù)據(jù)來(lái)做調(diào)整。好在卡爾曼先生也體會(huì)到了我們的苦惱搏屑，告訴我們一個(gè)辦法來(lái)決定這個(gè)權(quán)值争涌，這個(gè)辦法其實(shí)也很直白，就是根據(jù)以往的表現(xiàn)來(lái)做決定辣恋，這其實(shí)聽起來(lái)挺公平的亮垫，你以前表現(xiàn)好，我就相信你多一點(diǎn)抑党，權(quán)值也就給的高一點(diǎn)包警，以前表現(xiàn)不好，我就相信你少一點(diǎn)底靠，權(quán)值自然給的低一點(diǎn)害晦。那么什么是表現(xiàn)好表現(xiàn)不好呢，表現(xiàn)好意思就是測(cè)量結(jié)果穩(wěn)定暑中，方差很小壹瘟，表現(xiàn)不好就是估計(jì)值或觀測(cè)值不穩(wěn)定，方差很大鳄逾。想象你用稱稱你的哦兔子稻轨，第一次1公斤第二次10公斤，第三次5公斤雕凹，你會(huì)相信你的稱嗎殴俱，但是如果第一次3公斤第二次3.2公斤，第三次2.8公斤枚抵，自然我就相信它多一點(diǎn)线欲，給它一個(gè)大的權(quán)值了。
有了這個(gè)權(quán)值汽摹，下面的事情就很好辦了李丰。很顯然卡爾曼先生是利用多次觀察和估計(jì)來(lái)達(dá)到目的的，我們也只能一步一步地調(diào)整我們的觀察和估計(jì)值逼泣，來(lái)漸漸達(dá)到準(zhǔn)確的測(cè)量趴泌，所以整個(gè)算法是遞歸的，需要多次重復(fù)調(diào)整的拉庶。調(diào)整的過(guò)程也很簡(jiǎn)單嗜憔，就是把實(shí)測(cè)值（稱出來(lái)的體重）和估計(jì)值（書上得來(lái)的體重）比較一下，如果估計(jì)值比測(cè)量值小氏仗，那就把估計(jì)值加上他們之間的偏差作為新的估計(jì)值痹筛，當(dāng)然前面要加個(gè)系數(shù)，就是我們前面說(shuō)的加權(quán)系數(shù)廓鞠，這個(gè)地方我要寫個(gè)公式帚稠，因?yàn)楹芎?jiǎn)單就能說(shuō)明白
比如我們的觀查值是Z，估計(jì)值是X床佳， 那么新的估計(jì)值就應(yīng)該是 Xnew = X + K ( Z-X）滋早，從這個(gè)公式可以看到，如果X估計(jì)小了砌们，那么新的估計(jì)值會(huì)加上一個(gè)量K ( Z-X）, 如果估計(jì)值大了,大過(guò)Z了杆麸，那么新的估計(jì)值就會(huì)減去一個(gè)量K ( Z-X），這就保證新的估計(jì)值一定比現(xiàn)在的準(zhǔn)確浪感，一次一次遞歸下去就會(huì)越來(lái)越準(zhǔn)卻了昔头，當(dāng)然這里面很有作用的也是這個(gè)K，也就是我們前面說(shuō)的權(quán)值影兽，書上都把他叫卡爾曼增益揭斧。。峻堰。(Xnew = X + K ( Z-X） = X ×（1-K) + KZ 讹开，也就是說(shuō)估計(jì)值X的權(quán)值是1-k，而觀察值Z的權(quán)值是k捐名，究竟k 取多大旦万，全看估計(jì)值和觀察值以前的表現(xiàn)，也就是他們的方差情況了）
發(fā)現(xiàn)把一個(gè)問題講明白還真不是件容易的事情镶蹋，誰(shuí)聽明白了我佩服誰(shuí)成艘，因?yàn)槲乙呀?jīng)把自己講糊涂了哈
順便就把extended kalman filter和particle filter提一下，因?yàn)楦咚鼓Ｐ陀袝r(shí)不適用贺归，于是有了extended kalman filter淆两，而particle filter是用于多個(gè)對(duì)象的，比如除了兔子我還有只貓牧氮，他們的體重有一個(gè)聯(lián)合概率模型琼腔，每一個(gè)對(duì)象就是一個(gè)particle。無(wú)論是卡爾曼濾波還是particle濾波踱葛，都是概率分布傳遞的過(guò)程丹莲，卡爾曼傳遞的是高斯分布，particle filter 傳遞的是高斯混合分布尸诽，每一個(gè)峰代表一個(gè)動(dòng)物在我們的例子甥材。