為什么學(xué)數(shù)學(xué)碟婆？萬維剛這篇文章（有刪減）清楚的解釋了期望值电抚、標(biāo)準(zhǔn)差、正態(tài)分布脑融、夏普比率喻频，學(xué)好數(shù)學(xué)成就人生！
今天咱們說點概率論肘迎。你肯定聽過“正態(tài)分布”和“標(biāo)準(zhǔn)差”這兩個概念，但是很多人并不了解它們的意義锻煌。
我們的目的不是學(xué)數(shù)學(xué)妓布，今天不會出現(xiàn)復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式，我想給你一個直觀的解釋宋梧。有了標(biāo)準(zhǔn)差這個概念匣沼，你以后考慮問題的時候，就多了一個思維工具捂龄。你觀察世界會有一個更精確的眼光释涛。
在我看來，正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)差倦沧，是這個不確定的世界里數(shù)學(xué)家送給世人最有用的禮物唇撬。
這個思想可以用在很多事物上，但是為了簡單起見展融，咱們還是用投資來打比方窖认。
1.只有期望是不夠的
假設(shè)現(xiàn)在你手里有一筆錢，想投資做個小生意告希。你的一個朋友找到你扑浸，說他知道一個好生意。他說咱們拿這些錢在國內(nèi)采購一批藥品燕偶，運到非洲去賣掉喝噪，只要兩個月的時間，平均會有40%的利潤指么。請問這個生意你做不做呢酝惧？
兩個月賺40%驰吓，這在任何地方都是好生意 —— 但是在你做決定之前，肯定會問一個問題系奉。
風(fēng)險檬贰。
如果你今天給我10萬元，我過兩個月一定缺亮、確定翁涤、肯定還給你14萬，這樣的生意誰都會搶著做 —— 所以世界上根本就沒有這樣的生意萌踱。
你朋友介紹的這個非洲生意其實是這樣的：10萬元的貨葵礼，運到非洲某國，如果一路上沒有任何差錯并鸵，能賣到28萬元。這是180%的利潤园担！可是這個非洲國家的政局不太穩(wěn)定弯汰，腐敗橫行，你們這批貨有50%的可能會被直接沒收曙搬，那就是血本無歸纵装，利潤是 -100%橡娄。
考慮到概率哗脖，這批貨到非洲的“數(shù)學(xué)期望值”才避，是
180% × 0.5 - 100% × 0.5 = 40%
正好是40%的利潤。
如果你有很多錢棘劣，每兩個月都能拿出幾十萬元來做一次這樣的生意楞遏，那么長期下來首昔，你的確能收獲40%的平均利潤糙俗，你不用在乎風(fēng)險巧骚。這個道理我們前面《怎樣用系統(tǒng)下一盤大棋》這期講過劈彪，應(yīng)該考慮系統(tǒng)。
但是如果你只有這10萬塊錢沧奴，這個生意你恐怕就不能做了滔吠。是屠凶，數(shù)學(xué)期望是正的矗愧，無數(shù)個平行宇宙里的我平均下來能賺到40%郑原。可是這10萬元我輸不起属愤。
換一種情況住诸，如果有一半的可能性賺到80%涣澡，一半的可能性不賺不賠入桂，這也算有風(fēng)險抗愁，平均下來也是40%的利潤，可是這個生意你就可以做饵隙。
所以只考慮數(shù)學(xué)期望是不夠的金矛。我們必須考慮風(fēng)險的大小绷柒。
“標(biāo)準(zhǔn)差”涮因，就是專門描寫風(fēng)險大小的概念养泡。
2.正態(tài)分布
世界上大多數(shù)“不確定性”的事物，都可以用正態(tài)分布來描寫购披。咱們先說說什么是正態(tài)分布肩榕。
把一個學(xué)校里的所有學(xué)生都放一起株汉，看看他們的身高是怎么“分布”的 —— 也就是統(tǒng)計在每一個身高數(shù)值上有多少人 —— 結(jié)果差不多都是下面這樣的形狀：
身高中等的人數(shù)最多乔妈，特別矮和特別高的人都很少，整個形狀是中間高、兩邊低身隐。在這張圖上1米65是中等身高揣非，這也基本上是所有人的平均身高。
為什么會是這樣呢大脉？我們可以想象身高是一系列基因互相配合的結(jié)果。所有相關(guān)基因都表現(xiàn)的很“好”秤标，身高才能達(dá)到最高；所有相關(guān)基因都表現(xiàn)“不好”宙刘，身高才能達(dá)到最低。這兩種極端情況既然需要這么多基因同時好或者不好悬包，出現(xiàn)的概率必然很低衙猪。大多數(shù)情況下有的基因表現(xiàn)好有的基因表現(xiàn)不好垫释，結(jié)果就是身高中等。
如果把上面這個分布圖取一個光滑的極限预伺，它就是一條“鐘形”曲線 —— 這就是著名的“正態(tài)分布”酬诀。下面這張圖料滥，是分別統(tǒng)計的男性和女性身高正態(tài)分布曲線 ——
生活中絕大多數(shù)受隨機(jī)因素綜合影響的事物艾船，基本上都符合正態(tài)分布践宴。身高和智商是典型的正態(tài)分布阻肩。考慮一筆投資，你可以把未來的各種可能性烤惊，當(dāng)成正態(tài)分布乔煞。
當(dāng)然也有一些事物不是正態(tài)分布，比如人的財富柒室、城市的大小就更接近于所謂“冪率分布” —— 這是因為它們不是獨立的隨機(jī)事件渡贾，越有錢的人會越有錢，越大的城市越吸引人雄右。但即便不是嚴(yán)格的正態(tài)分布空骚，你做理論評估的時候也可以把它當(dāng)做正態(tài)分布，有個理論總比沒有強擂仍。
從數(shù)學(xué)上來說囤屹，每一個正態(tài)分布的圖形，都是由兩個變量完全決定的逢渔。一個是平均值肋坚，一般用 μ 表示，它決定了曲線的位置复局，是整個曲線正中間的一點冲簿。另一個就是“標(biāo)準(zhǔn)差”，數(shù)學(xué)符號是 σ（sigma亿昏，西格瑪）峦剔，它決定了曲線的寬度。
下面這張圖直觀地表現(xiàn)了 μ 和 σ 的意義 ——
就拿咱們前面說的那個投資的例子來說角钩，平均利潤是固定的40%吝沫，那么 μ = 0.4。而不同的投資風(fēng)險大小不同递礼，所以 σ 不一樣惨险。如果你有時候能賺180%有時候卻是 -100%，那曲線的寬度就非常大脊髓，說明 σ辫愉，也就是標(biāo)準(zhǔn)差，很大将硝。
對專業(yè)選手來說恭朗，一說標(biāo)準(zhǔn)差，他就能大概估計各種情況發(fā)生的概率大小依疼。
我們還是拿身高說話痰腮，如上圖所示，有68%的人的身高是處在距離平均值一個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)律罢。換句話說大多數(shù)人的身高都在平均值附近膀值，不超過一個標(biāo)準(zhǔn)差。距離平均值兩個標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)的人數(shù)就能達(dá)到95%，三個標(biāo)準(zhǔn)差就是99.7%沧踏。
你可能聽過做質(zhì)量管理的人有個術(shù)語叫“六西格瑪”歌逢，它的意思就是在六個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)出的產(chǎn)品都是合格的。六個標(biāo)準(zhǔn)差是什么概念呢悦冀？它覆蓋了99.99966%的范圍趋翻。
我們平時說的“智商”，現(xiàn)在科學(xué)的定義并不是什么“智力年齡除以心理年齡”盒蟆，而是也是用標(biāo)準(zhǔn)差定義的踏烙。所有人的智商成正態(tài)分布，我們把所有人的平均智商設(shè)定為100历等。然后向右讨惩、向左，每經(jīng)過一個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍寒屯，智商加減15分 ——
所以智商低于100一點都不可怕荐捻，智商的定義就是有一半人的智商要低于100！智商在85到115的人處在一個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)寡夹，而我們知道有68%的人都在這里处面。如果你的智商是130，那你就是在兩個標(biāo)準(zhǔn)差之外菩掏，你比97%的人聰明魂角。如果你的智商是145，你就在三個標(biāo)準(zhǔn)差之外智绸，進(jìn)入了占人口總數(shù)0.1%的高智商集團(tuán)野揪。
智商都是跟別人比較的結(jié)果。任何一個智商測驗瞧栗，一個人考完了就直接打分都是不太合理的斯稳，應(yīng)該所有人都考一遍，看看總體的分布迹恐，才能決定答對多少道題相當(dāng)于智商是多少分挣惰。
好，現(xiàn)在我們在“數(shù)學(xué)期望” —— 也就是平均值 —— 之外殴边，又有了一個關(guān)鍵概念通熄，標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差的大小描寫了正態(tài)分布的寬度找都。標(biāo)準(zhǔn)差，代表風(fēng)險廊酣。
3.人生的標(biāo)準(zhǔn)差
咱們考慮一下下面這張圖能耻，它描寫了 A 和 B 兩項投資。橫坐標(biāo)代表各種可能的回報率，縱坐標(biāo)代表每個回報率發(fā)生的可能性大小晓猛。兩個投資的平均預(yù)期回報率都是10%饿幅，但是 A 的標(biāo)準(zhǔn)差很小。請問你選哪個呢戒职？
選 A 是穩(wěn)定的回報栗恩，選 B 可能有驚喜，但是也有賠本的風(fēng)險洪燥。
如果你足夠理性磕秤，就別指望什么驚喜。平均預(yù)期已經(jīng)告訴你了是10%捧韵，任何好運氣都會被壞運氣抵消市咆。正如我們前面分析的非洲生意那樣，你應(yīng)該堅決選 A再来。
說到這里我想起以前聽說的一個調(diào)查蒙兰。有人問過懷孕的夫婦，說根據(jù)你們兩個的智力芒篷，如果現(xiàn)在設(shè)定你們孩子的智商的均值預(yù)期是110搜变，但是你可以選擇一個標(biāo)準(zhǔn)差，你會選多大的標(biāo)準(zhǔn)差针炉？如果你選一個比較大的標(biāo)準(zhǔn)差挠他，可能會收獲驚喜，生出來一個智商140的孩子糊识，但也可能會收獲不幸绩社，智商只有80。結(jié)果幾乎所有家長都選了一個非常非常小的標(biāo)準(zhǔn)差赂苗，寧可孩子不是聰明過人愉耙，也千萬不要太傻了。
所以我們是真的不喜歡風(fēng)險拌滋。
下面這張圖是我畫的朴沿，這三個分布代表三種人生。
A 分布代表中國所有的人败砂。中國人的日子現(xiàn)在很不錯赌渣，所以 A 分布的均值是正的 0.05。但是 A 分布的標(biāo)準(zhǔn)差很大昌犹，這意味著全國有很多人的生活比平均水平好很多坚芜，也有很多人的生活不太好。
B 分布代表理想人生斜姥。均值很高鸿竖，而且標(biāo)準(zhǔn)差很小沧竟，簡直是蘇東坡說的“無災(zāi)無難到公卿”「坑牵可是世界上哪有這么好的事兒悟泵，所以人們的理性期待，是 C 分布闪水。
C 分布的均值也是0.05糕非，但是標(biāo)準(zhǔn)差比較小，相當(dāng)于“平平淡淡過一生”球榆。
但我們前面所有這些分析說的就是朽肥，C 也是一個奢望。平安是一種福氣芜果！低標(biāo)準(zhǔn)差鞠呈，是更值錢的。
預(yù)期回報率相同的情況下右钾，我們肯定選標(biāo)準(zhǔn)差低的那個蚁吝。所以任何一個投資項目，想要讓人接受一個很大的標(biāo)準(zhǔn)差舀射，就必須提供一個很高的回報率窘茁。真正值得猶豫考慮的投資，是下圖中的這兩個 ——
A 的標(biāo)準(zhǔn)差比 B 小脆烟，但是 B 的預(yù)期回報比 A 大山林。也許 A 相當(dāng)于買債券，B 相當(dāng)于買股票邢羔。
那這種情況選 A 還是選 B 呢驼抹？答案就不是顯然的了。有人認(rèn)為評估一項投資的價值應(yīng)該用預(yù)期回報除以標(biāo)準(zhǔn)差拜鹤，這個比值叫“夏普比率（Sharpe ratio）”框冀。按這個標(biāo)準(zhǔn)，你要讓我接受多一倍的標(biāo)準(zhǔn)差敏簿，就得把回報率也給我提高一倍才行明也。
我并不認(rèn)為夏普比率有什么科學(xué)根據(jù)，它只是一個主觀的標(biāo)準(zhǔn)惯裕。但是這個道理非常簡單：更大的風(fēng)險要求更高的回報温数。
