一般來說嘱能，一個隨機變量是一個從概率空間到測度空間的可測函數虱疏，而一個隨機過程是一系列的從相同的概率空間到相同的態(tài)空間的可測函數，通常用所有的正實數來做指標做瞪。隨機過程在金融、運籌著拭、物理等領域有著廣泛的應用牍帚，也有很多著名的隨機過程，例如馬爾可夫鏈鄙币、布朗運動、泊松過程十嘿。今天我想先來談一談泊松過程[wikipedia]。
首先給定一列服從指數分布[wikipedia]E[λ]的獨立變量X1,X2,...蹦魔，取值范圍為非負實軸咳燕。定義Tn=X1+...+Xn，則Tn關于n非遞減剥险，且服從Erlang分布[wikipedia]宪肖。對任意的t≥0，定義Nt為最大的n使得Tn≤t(沒有的話定義為0)么介，即對于任意的非負t蜕衡，存在唯一的n使得Tn≤t<T_(n+1)，則Nt便定義為n慨仿。由于Xi镰吆、Tn都是隨機變量，則Nt也是一個隨機變量万皿，它的取值范圍為所有的非負正整數。
注意到蹬耘，若Nt≥N减余，因為Nt為最大的整數使得Tn≤t，則必有小一點的N滿足T_N≤t休里；而若T_N≤t赃承，因為Nt為最大的整數使得Tn≤t，則必有Nt≥N拭嫁。也就是說抓于，事件Nt≥N與事件T_N≤t是完全相同的，而我們是知道T_N是服從Erlang分布的捉撮，由T_N分布的表達式巾遭，我們可以算出Nt是服從Poi(tλ)(λ為前面指數分布的參數)，即參數為tλ的泊松分布[wikipedia]灼舍。至此我們才知道為什么這樣的隨機過程叫做“泊松過程”骑素。
當然，你有可能會有疑問献丑，為什么一開始設定獨立變量Xi要服從指數分布呢？一是因為指數分布本身有著很廣泛的應用塔粒，很重要筐摘，另外一個更關鍵的原因就是它具有memoryless[wikipedia]的性質，就是滿足下式
即X>t+s在X>t中的權重圃酵，與X>s在原來的全部X>0中的權重是相同的馍管，也就是說确沸，如果我們將起點0向右移俘陷，不管移到哪里观谦，右側仍然是一個指數分布(當然需要正規(guī)化一下，因為右側的積分不能達到全概率1)豁状。另外泻红，滿足memoryless的非負隨機變量經證明，只有指數分布谊路。這個性質在隨機過程中有著非常重要的意義，隨機過程可以看做是隨著時間t變化得到的結果蜀撑，而且大部分情況下都要依賴于已經發(fā)生的結果剩彬，但是如果隨機過程也有這樣類似的性質，即不管從哪個時間開始考慮沃饶，得到的結果整體類型都差不多轻黑，那會極大地降低研究的難度。所以我想這是取X服從指數分布的一個可能性吧馆揉。
泊松過程還有一個重要的性質抖拦，就是它是一個下鞅(submartingale)。一個隨機過程成為鞅[wikipedia]噩茄，是指第一它滿足每個時間態(tài)Nt都是可積的复颈，而泊松過程中的Nt服從泊松分布，自然滿足凿菩；第二就是E[Nt|Ns]=Ns,s<t，即Nt關于Ns的條件期望就是Ns衅谷。關于條件期望，上次稍微聊了一些，有興趣的朋友可以稍作參考[數學基礎-條件期望,簡書]肢执。關于這第二條定義译红，也可以理解為Nt向前面的時間s“投影”，得到的結果就是時刻s時的Ns耻陕。而下鞅就是將第二條改為E[Nt|Ns]≥Ns刨沦。
通過指數分布的memoryless性質，可以得到泊松過程有類似的結果召庞，即Nt-Ns與N_(t-s)有相同的分布来破，且與Ns獨立。則我們可以得到E[Nt|Ns]=E[Nt-Ns+Ns|Ns]=E[Nt-Ns|Ns]+E[Ns|Ns]=E[Nt-Ns]+Ns=E[N_{t-s}]+Ns=(t-s)λ+Ns≥Ns诅诱，即它滿足下鞅條件送朱。同時我們也可以由等式看出，{Nt-tλ}滿足鞅的條件它改。
