名詞釋義

正態(tài)分布

正態(tài)分布（Normal distribution），也稱“常態(tài)分布”剥槐，又名高斯分布
若隨機(jī)變量X服從一個(gè)數(shù)學(xué)期望為μ唱歧、方差為σ^{2的正態(tài)分布，記為N(μ粒竖，σ}2)颅崩。其概率密度函數(shù)為正態(tài)分布的期望值μ決定了其位置，其標(biāo)準(zhǔn)差σ決定了分布的幅度蕊苗。當(dāng)μ = 0,σ = 1時(shí)的正態(tài)分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布沿后。

定理

由于一般的正態(tài)總體其圖像不一定關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)于任一正態(tài)總體朽砰，其取值小于x的概率尖滚。只要會(huì)用它求正態(tài)總體在某個(gè)特定區(qū)間的概率即可。

為了便于描述和應(yīng)用瞧柔，常將正態(tài)變量作數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換漆弄。將一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 ^[1]

若

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服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表就可以直接計(jì)算出原正態(tài)分布的概率值造锅。故該變換被稱為標(biāo)準(zhǔn)化變換撼唾。（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中列出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下從-∞到X（當(dāng)前值）范圍內(nèi)的面積比例。）

定義

一維正態(tài)分布

若隨機(jī)變量

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服從一個(gè)位置參數(shù)為

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哥蔚、尺度參數(shù)為

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的概率分布倒谷，且其概率密度函數(shù)為 ^[2]

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則這個(gè)隨機(jī)變量就稱為正態(tài)隨機(jī)變量蛛蒙，正態(tài)隨機(jī)變量服從的分布就稱為正態(tài)分布，記作

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渤愁，讀作

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服從

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宇驾，或

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服從正態(tài)分布。

μ維隨機(jī)向量具有類似的概率規(guī)律時(shí)猴伶，稱此隨機(jī)向量遵從多維正態(tài)分布课舍。多元正態(tài)分布有很好的性質(zhì)，例如他挎，多元正態(tài)分布的邊緣分布仍為正態(tài)分布筝尾，它經(jīng)任何線性變換得到的隨機(jī)向量仍為多維正態(tài)分布，特別它的線性組合為一元正態(tài)分布办桨。

本詞條的正態(tài)分布是一維正態(tài)分布筹淫，此外多維正態(tài)分布參見“二維正態(tài)分布”。

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

當(dāng)

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時(shí)呢撞，正態(tài)分布就成為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

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性質(zhì)

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正態(tài)分布的一些性質(zhì)： ^[2]

（1）如果

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且a與b是實(shí)數(shù)损姜，那么

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（參見期望值和方差）。

（2）如果

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與

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是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量殊霞，那么：

它們的和也滿足正態(tài)分布

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它們的差也滿足正態(tài)分布

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U與V兩者是相互獨(dú)立的摧阅。（要求X與Y的方差相等）。

（3）如果

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和

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是獨(dú)立常態(tài)隨機(jī)變量绷蹲，那么：

它們的積XY服從概率密度函數(shù)為p的分布

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其中

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是修正貝塞爾函數(shù)（modified Bessel function）

它們的比符合柯西分布棒卷，滿足

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（4）如果

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為獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)隨機(jī)變量，那么

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服從自由度為n的卡方分布祝钢。

分布曲線

圖形特征

****集中性：正態(tài)曲線的高峰位于正中央比规，即均數(shù)所在的位置。

對(duì)稱性：正態(tài)曲線以均數(shù)為中心拦英，左右對(duì)稱蜒什，曲線兩端永遠(yuǎn)不與橫軸相交。

均勻變動(dòng)性：正態(tài)曲線由均數(shù)所在處開始疤估，分別向左右兩側(cè)逐漸均勻下降灾常。

曲線與橫軸間的面積總等于1，相當(dāng)于概率密度函數(shù)的函數(shù)從正無窮到負(fù)無窮積分的概率為1做裙。即頻率的總和為100%岗憋。

正態(tài)分布

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關(guān)于μ對(duì)稱肃晚，并在μ處取最大值锚贱，在正（負(fù)）無窮遠(yuǎn)處取值為0，在μ±σ處有拐點(diǎn)关串，形狀呈現(xiàn)中間高兩邊低拧廊，正態(tài)分布的概率密度函數(shù)曲線呈鐘形监徘，因此人們又經(jīng)常稱之為鐘形曲線。

參數(shù)含義

正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)吧碾，即期望（均數(shù)）μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ凰盔，σ²為方差。

正態(tài)分布公式

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正態(tài)分布具有兩個(gè)參數(shù)μ和σ^{2的[連續(xù)型隨機(jī)變量]的分布倦春，第一參數(shù)μ是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的[均值]户敬，第二個(gè)參數(shù)σ}2是此隨機(jī)變量的方差，所以正態(tài)分布記作N（μ,σ²）睁本。

μ是正態(tài)分布的位置參數(shù)尿庐，描述正態(tài)分布的集中趨勢(shì)位置。概率規(guī)律為取與μ鄰近的值的概率大呢堰，而取離μ越遠(yuǎn)的值的概率越小抄瑟。正態(tài)分布以X=μ為對(duì)稱軸，左右完全對(duì)稱枉疼。正態(tài)分布的期望皮假、均數(shù)、中位數(shù)骂维、眾數(shù)相同惹资，均等于μ。

σ描述正態(tài)分布資料數(shù)據(jù)分布的離散程度航闺，σ越大布轿，數(shù)據(jù)分布越分散，σ越小来颤，數(shù)據(jù)分布越集中汰扭。也稱為是正態(tài)分布的形狀參數(shù)，σ越大福铅，曲線越扁平萝毛，反之，σ越小滑黔，曲線越瘦高笆包。

面積分布

1、實(shí)際工作中略荡，正態(tài)曲線下橫軸上一定區(qū)間的面積反映該區(qū)間的例數(shù)占總例數(shù)的百分比庵佣，或變量值落在該區(qū)間的概率（概率分布）。不同 范圍內(nèi)正態(tài)曲線下的面積可用公式計(jì)算汛兜。

2巴粪、正態(tài)曲線下，橫軸區(qū)間（μ-σ,μ+σ）內(nèi)的面積為68.268949%。

P{|X-μ|<σ}=2Φ（1）-1=0.6826

橫軸區(qū)間（μ-1.96σ,μ+1.96σ）內(nèi)的面積為95.449974%肛根。

P{|X-μ|<2σ}=2Φ（2）-1=0.9544

橫軸區(qū)間（μ-2.58σ,μ+2.58σ）內(nèi)的面積為99.730020%辫塌。

P{|X-μ|<3σ}=2Φ（3）-1=0.9974

由于“小概率事件”和假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想 “小概率事件”通常指發(fā)生的概率小于5%的事件，認(rèn)為在一次試驗(yàn)中該事件是幾乎不可能發(fā)生的派哲。由此可見X落在（μ-3σ,μ+3σ）以外的概率小于千分之三臼氨，在實(shí)際問題中常認(rèn)為相應(yīng)的事件是不會(huì)發(fā)生的，基本上可以把區(qū)間（μ-3σ,μ+3σ）看作是隨機(jī)變量X實(shí)際可能的取值區(qū)間芭届，這稱之為正態(tài)分布的“3σ”原則储矩。