《機器人學中的狀態(tài)估計》（State Estimation for Robotics）—— 2.5習題答案

2.5 習題

1. 假設 $u$ , $v$ 是兩個相同維度的列向量士嚎，請證明下面這個等式：

$u^Tv = tr(vu^T)$

證明：
$\because$ $u^Tv$ 是行向量*列向量的形式，因此其結果為標量受裹。
$\therefore$ $u^Tv$ = $tr(u^Tv)$
$\therefore$ 我們可以轉而證明 $tr(u^Tv)$ = $tr(vu^T)$
為了得到更一般的結論阵苇，我們證明 $tr(AB)$ = $tr(BA)$ ，其中 $A$ $\in$ $\mathbb{R}^{m \times n}$ 腔寡， $B$ $\in$ $\mathbb{R}^{n \times m}$ 。

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cccc}{a_{1,1}} & {a_{1,2}} & {\cdots} & {a_{1, n}} \\ {a_{2,1}} & {a_{2,2}} & {\cdots} & {a_{2, n}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {a_{m, 1}} & {a_{m, 2}} & {\cdots} & {a_{m, n}}\end{array}\right]$ $\mathrm{B}=\left[\begin{array}{cccc}{b_{1,1}} & {b_{1,2}} & {\cdots} & {b_{1, m}} \\ {b_{2,1}} & {b_{2,2}} & {\cdots} & {b_{2, m}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {b_{n, 1}} & {b_{n, 2}} & {\cdots} & {b_{n, m}}\end{array}\right]$

$tr(BA) =\sum_{j=1}^{m}b_{1j}a_{j1} + \sum_{j=1}^{m}b_{2j}a_{j2} +\cdots + \sum_{j=1}^{m}b_{nj}a_{jn} = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} b_{ij}a_{ji}$

$tr(AB) =\sum_{j=1}^{n}a_{1j}b_{j1} + \sum_{j=1}^{n}a_{2j}b_{j2} +\cdots + \sum_{j=1}^{n}a_{mj}b_{jm} = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}b_{ji}$

$tr(AB) = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}b_{ji} = \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m} a_{ij}b_{ji} (交換求和次序) = \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m} b_{ji}a_{ij} (乘法交換律) \\ = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} b_{ij}a_{ji} = tr(BA) \\ (注：i與j只是變量名稱掌唾，如果非想要完全一致可以進行簡單的變量替換)$

$\because$ $u^Tv$ = $tr(u^Tv)$ 放前， $tr(u^Tv)$ = $tr(vu^T)$
$\therefore$ $u^Tv = tr(vu^T)$
證畢。

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