絕對圓錐曲線（Absolute Conic）

先作幾個假設(shè)：

假設(shè)1：存在一個無窮遠(yuǎn)處的平面α，那么該平面上的點(diǎn)可以表示為： $\tilde{x_{∞}} = [x1,y1,z1,0]^T$

假設(shè)2：存在絕對圓錐曲線厉萝，該曲線上的點(diǎn)滿足： $x^2+y^2+z^2+w^2=0$ ，那么在假設(shè)1中的平面α內(nèi)榨崩，該絕對圓錐曲線Ω滿足： $x1^2+y1^2+z1^2=0$ 谴垫， $w=0$ 。

開始正式講解：

若假設(shè)1中的點(diǎn)在假設(shè)2的圓錐曲線上母蛛，那么根據(jù)定義可以得到： $\tilde{x_{∞}} ^T\tilde{x_{∞}} =0$ 翩剪。

絕對圓錐曲線所具有的一條重要特性：對于剛體變換具有不變性，什么意思呢彩郊？只有物體的位置（平移變換）和朝向（旋轉(zhuǎn)變換）發(fā)生改變前弯，而形狀不變蚪缀，得到的變換稱為剛體變換。比如將空間的點(diǎn)x經(jīng)過剛體變換得到X：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $x=[R,t]X$

令變換矩陣為H：

那么上述的無窮遠(yuǎn)處點(diǎn) $\tilde{x_{∞}}$ 經(jīng)過剛體變換后可以得到：

上式中 $x_{∞}= [x1,y1,z1]^T$ 恕出。很顯然询枚，變換后的點(diǎn) $\tilde{x_{∞}}$ 也在無窮遠(yuǎn)。那么變換后的點(diǎn) $\tilde{x_{∞}}$ 是否在圓錐曲線Ω上呢浙巫？我們計算一下：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $x_{∞}’^Tx_{∞}’=(Rx_{∞})^T(Rx_{∞})=x_{∞} ^TR^TRx_{∞}=x_{∞}^Tx_{∞}=0$

說明 $\tilde{x_{∞}}$ 也在絕對圓錐曲線Ω上金蜀！

假設(shè)絕對圓錐曲線Ω的像為ω（這個像也被叫做IAC，Image of the absolute conic）的畴，Ω上的點(diǎn) $\tilde{x_{∞}}$ 的像點(diǎn)為 $\tilde{m_{∞}}$ 渊抄，那么：

可以得到： $s{A^-}^T \tilde{m} _{∞} ^T=x_{∞}^T R^T$ ， $s{A^-}^1 \tilde{m} _{∞}=Rx_{∞}$ 丧裁，因此：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $s^2\tilde{m} _{∞} ^T{A^-}^T{A^-}^1\tilde{m} _{∞} =x_{∞}^T R^TRx_{∞}=x_{∞}^T x_{∞}=0$

也就是說： $\tilde{m} _{∞} ^T{A^-}^T{A^-}^1\tilde{m} _{∞} =0$ 护桦。

由此可知：絕對圓錐曲線 $x1^2+y1^2+z1^2=0$ ， $w=0$ 的像為 $\tilde{m} _{∞} ^T{A^-}^T{A^-}^1\tilde{m} _{∞} =0$ 煎娇，這個像完全由 ${A^-}^T{A^-}^1$ 決定二庵，而A中全部為相機(jī)內(nèi)參。因此找到絕對圓錐曲線的像曲線IAC逊桦，就可以求解到相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)眨猎。

參考：Camera Calibration 相機(jī)標(biāo)定：原理簡介（三） - yhl_leo - CSDN博客

最后編輯于：2019.04.24 13:39:01

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