函子與范疇
函子（functor）是從一個范疇到另一個范疇的轉(zhuǎn)換，并且其亦可轉(zhuǎn)換/保持態(tài)射（morphism）。
一個態(tài)射是從一個范疇里的一個值到同一個范疇里的另一個值的變換。在貓的范疇的例子里，一個態(tài)射好比一個盒子，能夠把黯淡無光的貓轉(zhuǎn)化為一個霓虹閃耀的貓勋磕。在類型的范疇里（計算機科學(xué)常用的范疇），一個態(tài)射是一個把某類型轉(zhuǎn)化為另一個類型的函數(shù)敢靡。
函子是可以把貓轉(zhuǎn)化為狗的東西（不同范疇的轉(zhuǎn)換）挂滓。函子可以把暗淡的貓轉(zhuǎn)換成暗淡的狗，光彩的貓轉(zhuǎn)換成光彩的狗啸胧。函子還可以連態(tài)射都轉(zhuǎn)換過去赶站，這樣可以把暗淡的狗轉(zhuǎn)化為光彩的狗。
圖中纺念，下面的圈子表示所有的類型組成的范疇贝椿。里面包括標(biāo)準的String、Double和其他Scala能定義的類型陷谱。函子F是Scala里的一個類型構(gòu)造器烙博。對于一個范疇中的任意類型T，可以把該類型置于類型構(gòu)造器
F[_]中烟逊，從而得到一個新類型F[T]渣窜。
對函子的描述
函子本質(zhì)上是范疇之間的轉(zhuǎn)換。
上圖表示范疇C到范疇D的函子宪躯。圖中乔宿，對象A和B被轉(zhuǎn)換到了范疇D中同一個對象，因此访雪，態(tài)射g就被轉(zhuǎn)換成了一個源對象和目標(biāo)對象相同的態(tài)射（不一定是單位態(tài)射）详瑞，而且id_A和id_B變成了相同的態(tài)射掂林。對象之間的轉(zhuǎn)換是用淺黃色的虛線箭頭表示，態(tài)射之間的轉(zhuǎn)換是用藍紫色的箭頭表示坝橡。
范疇之間的轉(zhuǎn)換必須在轉(zhuǎn)換時保留所有的態(tài)射才能稱為函子轉(zhuǎn)換泻帮。也就是說，如果在第一個范疇有個操作類型的函數(shù)驳庭，那么我們也應(yīng)該有個轉(zhuǎn)換后的函數(shù)能夠操作轉(zhuǎn)換后的類型刑顺。比如說，如果我們有個吧String轉(zhuǎn)換為Int的函數(shù)饲常，那么我們也應(yīng)該能夠把F[String]轉(zhuǎn)換成F[Int]，這正是map方法所提供的功能狼讨。
trait Functor[F[_]] {
def apply[A](x: A): F[A]
def map[A, B](x: F[A])(f: A => B): F[B]
}
apply方法的作用——對于任意類型A贝淤，一個函子能夠在新范疇里構(gòu)造一個類型F[A]。
map方法的作用——給定一個轉(zhuǎn)換后的類型F[A]和一個在原范疇里的態(tài)射A => B政供，能夠創(chuàng)建一個F[B]類型的結(jié)果播聪。也就是說，我們有個新函數(shù)能夠接受F[A]布隔，返回F[B]离陶。
簡單的說，函子是實現(xiàn)了map方法的數(shù)據(jù)類型衅檀。
舉例來說招刨，
trait Functor[F[_]] {
def fmap[A, B](x: F[A])(f: A => B): F[B]
}
object ListFunctor extends Functor[List] {
def fmap[A, B](list: List[A])(f: A => B): List[B] = list map f
}
val l1 = List(1, 2, 3)
val result = ListFunctor.fmap(l1)(i => i+1)
println(result)
// print is
// List(2, 3, 4)
函子的形象演示
假設(shè)有一個容器（container），這里的容器可以認為是一種上下文（context）或者是為函數(shù)提供的計算上下文（computational context）哀军。
在圖中表示為一個盒子沉眶。當(dāng)一個元素被上下文包裹，我們不能簡單的對該元素應(yīng)用一般的運算方法杉适，于是需要使用map函數(shù)（Haskell中稱為fmap）谎倔。
map函數(shù)知道如何將普通函數(shù)應(yīng)用到一個被上下文包裹的元素上。
函子（functor）是定義了如何應(yīng)用map的類型類（typeclass）猿推。
如果我們要將普通函數(shù)應(yīng)用到一個有盒子上下文包裹的值片习，那么我們首先需要定義一個叫Functor的數(shù)據(jù)類型，在這個數(shù)據(jù)類型中需要定義如何使用map或fmap來應(yīng)用這個普通函數(shù)蹬叭。
函子內(nèi)部工作原理可以認為是這樣的：
- 將值從上下文盒子中解救出來
- 將外部指定的函數(shù)(+3)應(yīng)用到這個值上藕咏，得到一個新的值(5)
- 再將這個新值放入到上下文盒子中
下圖顯示了如何將一個普通函數(shù)應(yīng)用到值集合，不是單個值具垫，而是值的集合數(shù)組中侈离，圖中數(shù)組函子將數(shù)組一個個打開（遍歷），然后分別將普通函數(shù)應(yīng)用到這些元素中筝蚕，最后返回一個新的集合值卦碾。
補充：高階類型
基本泛型：
如果類型參數(shù)也是一個泛型（類型構(gòu)造器）：
對類型的歸納：
類型（type）是對數(shù)據(jù)的抽象铺坞，而高階類型（higher-kinded type）是對類型的抽象：
參考資料
函數(shù)編程中functor和monad的形象解釋
深入理解Scala
理解高階類型
Scala和范疇論 -- 對Monad的一點認識
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