【自然數(shù)】
最簡單的數(shù)是自然數(shù)兼蕊，0，1孙技，2产禾，3……，但嚴(yán)格地對自然數(shù)進(jìn)行定義并不簡單牵啦。
從學(xué)習(xí)的角度亚情，我們是這么掌握自然數(shù)的：
1.首先是背誦，先是背熟10以內(nèi)的自然數(shù)：
0哈雏，1楞件，2衫生，3，4土浸，5罪针，6，7栅迄，8站故，9，10
這可以借助10個(gè)手指頭毅舆。
然后還是背誦西篓，背熟20以內(nèi)的：
……11，12憋活，13岂津，14，15悦即，16吮成，17，18辜梳，19粱甫，20
這里已經(jīng)涉及個(gè)位和10位的問題了，好在我們有科學(xué)計(jì)數(shù)法作瞄，大于10但小于20的自然數(shù)可寫為$1n$茶宵，這里$n$是0到9中間的一個(gè)數(shù)：
$1n = 1 \times 10 + n$
嚴(yán)格來說，我們現(xiàn)在還沒有定義加法宗挥，從0乌庶，1，2契耿，3……開始到18瞒大，19，20的羅列僅僅是個(gè)羅列搪桂，是個(gè)有方向的一一羅列农猬，好比是20來個(gè)好伙伴手拉手列成一隊(duì)毫深，從左到右羞迷，我一一清點(diǎn)他們涡相，記熟他們的名字和位置跋破。
進(jìn)一步地屯碴，我們還可以背熟0到100的數(shù)字蚁滋，這其實(shí)就是對一個(gè)鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)的命名憔购，命名并把它們記熟泼疑。這個(gè)過程是沒頭的德绿，中國古代有五數(shù)，“一、十移稳、百蕴纳、千、萬”个粱，每逢10進(jìn)1古毛，一而十，十而百……
有“一都许、十稻薇、百、千胶征、萬”塞椎，日常生活中碰到的數(shù)字足夠表達(dá)了。
2.把從0到20的自然數(shù)背熟睛低，就是在把握里面的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)案狠，我們也可以通過定義運(yùn)算把這里面的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)說清楚。
運(yùn)算就是對數(shù)字的操作钱雷，比如我們可以定義加法：
$m + n$骂铁，先從0開始數(shù)，數(shù)到$m$罩抗，然后$m+1$拉庵，$m+2$，……澄暮，一直到$m+n$名段，因?yàn)閿?shù)字已經(jīng)背熟了，我們發(fā)現(xiàn)$m+n$就是我們背熟的數(shù)字序列中的某個(gè)數(shù)泣懊。
這個(gè)就是所謂“掰手指頭”伸辟，由三開始再掰兩個(gè)就是五，記作：
$3+2 = 5$
但實(shí)際上算術(shù)不是這么學(xué)的馍刮，我們依然是背誦信夫，畫出加法表，然后把它們背下來卡啰。
$1+1 = 2$, $1+2 =3$, ...
$2+1 =3$
...
其實(shí)加法表静稻，就是對加法的定義。
【分?jǐn)?shù)】
我們可以用兩個(gè)數(shù)（$m,n$）表示分?jǐn)?shù)：
$\frac{n}{m}$
首先把1（這個(gè)1可以是單位長度匈辱、單位面積振湾，也可以是單位重量等）分成$m$份，然后再從這$m$份中揀選出$n$份來亡脸，這意味著$m > n$押搪。
這個(gè)動(dòng)作和分配有關(guān)树酪，比如井田制中，公田占$\frac{1}{9}$大州，剩下的$\frac{8}{9}$分給8家是私田续语，每家1份，耕作的時(shí)候要先8家一起耕公田厦画，公田忙完后才能治私田疮茄。
當(dāng)然也可以$m < n$，只要分母$m$不為0根暑，分?jǐn)?shù)的定義就是有意義的力试。它表示對$\frac{1}{m}$累積了$n$次。
假設(shè)我們有1把尺子购裙，比如漢尺的長度是$23.1$厘米懂版，然后去量尖碑影子的長度，在經(jīng)歷了幾個(gè)整數(shù)的長度后躏率，也許還剩一點(diǎn)躯畴，這剩下的一點(diǎn)不足1尺，同時(shí)又不可以忽略薇芝，這時(shí)我們就可以用分?jǐn)?shù)的概念了蓬抄，把1尺分成$m$份，然后揀選出$n$份來夯到。
比如中國古代用分?jǐn)?shù)來表示圓周率$\pi$\footnote{圓周率被定義為圓周長$L$和圓直徑$D$的比值：$\pi = \frac{L}{D}$}嚷缭，比如祖沖之用分?jǐn)?shù)$\frac{22}{7}$來表示對圓周率的粗略近似，而用$\frac{355}{113}$來表示對圓周率的精確近似耍贾。
對$\pi$也可構(gòu)造級數(shù)逼近：
$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + ...$
上式的嚴(yán)格證明需要有微積分的知識(shí)阅爽。
分?jǐn)?shù)也叫有理數(shù)，是不是所有的數(shù)都是有理數(shù)呢荐开？或是不是所有的數(shù)都可表示為兩個(gè)數(shù)字（$m,n$）的組合$\frac{n}{m}$呢付翁？
【$\sqrt{2}$】
古希臘的畢達(dá)哥拉斯堅(jiān)信，宇宙萬物的形狀都可表示為數(shù)晃听，這里的數(shù)指的是整數(shù)或整數(shù)的組合（比如分?jǐn)?shù)）百侧。這就是所謂“萬物皆數(shù)”。但很快能扒，畢達(dá)哥拉斯本人或畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中的某個(gè)弟子就構(gòu)造出了一個(gè)反例佣渴。這個(gè)反例也利用到了畢達(dá)哥拉斯的另外一項(xiàng)成就，畢達(dá)哥拉斯定理初斑。
畢達(dá)哥拉斯定理說辛润，
直角三角形兩直角邊的平方和等于直角三角形斜邊的平方。
$a^2 + b^2 = c^2$
現(xiàn)在考慮一個(gè)等腰直角三角形见秤，直角邊的長度是1频蛔，斜邊的長度是多少呢灵迫？
用今天的數(shù)學(xué)語言，斜邊的長度是$\sqrt{2}$晦溪。
首先這個(gè)$\sqrt{2}$是我們可以用尺規(guī)作圖嚴(yán)格得到的，其次這個(gè)斜邊確實(shí)沒法表示為分?jǐn)?shù)的形式挣跋，即我們無法用兩個(gè)自然數(shù)來表示斜邊的長度三圆，但這個(gè)斜邊確實(shí)是存在的啊。
這個(gè)證明不難避咆，思路是反證法舟肉，就是我們先假設(shè)$\sqrt{2}$可以表示為某個(gè)$\frac{n}{m}$的形式，然后我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)有自相矛盾的地方查库，為了避免矛盾我們只有假設(shè)$\sqrt{2}$不能被表示為分?jǐn)?shù)的形式了路媚。
我們今天管$\sqrt{2}$叫無理數(shù)，但無理數(shù)不是沒道理的意思樊销，尺規(guī)作圖能嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟o出$\sqrt{2}$的長度整慎，而且就是幾個(gè)步驟，這怎么能叫無理呢围苫。
無理數(shù)（irrational）的無理理解為不合比例會(huì)更好裤园。在古代思想中，合乎比例有公平剂府、和諧的意思拧揽，因?yàn)楸壤拇嬖冢热缇镏评锏墓奖葹?1:8$就是公平的腺占，因?yàn)楣蕉炀驼w與部分的和諧淤袜。
【實(shí)數(shù)】
有理數(shù)和無理數(shù)的集合是實(shí)數(shù)，關(guān)于實(shí)數(shù)的近代理論是戴德金給出的衰伯，但也有學(xué)者認(rèn)為古希臘哲學(xué)家已經(jīng)很接近一個(gè)實(shí)數(shù)的理論铡羡，比如由柏拉圖的學(xué)生歐多克索斯（Eudoxos）的工作出發(fā)也可構(gòu)造出實(shí)數(shù)理論。
