第15講by王暢

平面牵辣、球陨闹、圓柱帶電體的場強：高斯定理

知識點

電通量
高斯定理
- 高斯面
- 矢量積分轉(zhuǎn)化為標(biāo)量積分
- $Q_內(nèi)$
平面對稱的電場
球?qū)ΨQ帶電體的電場
- (a)做通過某場點的同心球面作為高斯面扑浸，隨后將對該面應(yīng)用高斯定理： $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}$ ；
- (b)公式中 $Q_{\text{內(nèi)}}$ 是指的這個高斯面所包圍的體積內(nèi)部的總電量梁丘。一定要想清楚電荷到底是如何分布的侵浸。在復(fù)雜的問題中，往往需要借助電荷密度來求解氛谜。
- (c) 設(shè)該場點的電場強度掏觉，大小為 $E$ ，則該面的電通量必然為 $E\cdot4\pi r^{2}$ 值漫，其中 $4\pi r^{2}$ 是高斯球面的面積澳腹。
- (d)于是得到核心方程： $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}$ ，解出 $E$ 即可杨何。
軸對稱帶電體的電場
- (a)通過該場點做同軸圓柱作為高斯面酱塔，隨后將對該面應(yīng)用高斯定理： $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}$ ；
- (b)公式中 $Q_{\text{內(nèi)}}$ 是指的這個高斯面所包圍的體積內(nèi)部的總電量危虱。一定要想清楚電荷到底是如何分布的羊娃。在復(fù)雜的問題中，往往需要借助電荷密度來求解埃跷。
- (c) 設(shè)該場點的電場強度蕊玷，大小為 $E$ 芦瘾，則該面的電通量必然為 $E\cdot2\pi rh$ ，其中 $2\pi rh$ 是高斯面(圓柱)的側(cè)面積集畅。
- (d)于是得到核心方程： $E\cdot2\pi rh=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}$ ，解出 $E$ 即可缅糟。

表達(dá)題

一個非閉合面的電通量挺智，其直觀物理意義是貫穿某個面(比如一張紙，一面是紅色窗宦，一面是黑色)的電場線的條數(shù)赦颇。注意，這里的貫穿赴涵，是指的從一面紅色媒怯，從黑色穿出；即：電場線必須跟那張紙發(fā)生“交叉”髓窜，而不能是平行扇苞。則在勻強電場( $E$ )中，如圖所示的半徑為 $R$ 寄纵，高度為 $H$ 的半圓筒鳖敷，圓筒的軸線與電場線平行。則其電通量為( )

一個閉合面的電通量程拭，其直觀物理意義是穿出定踱、穿入它的電場線的次數(shù)。注意恃鞋，穿出為正貢獻崖媚、穿入為負(fù)貢獻。則如圖所示恤浪，,則其電通量為( )

勻強電場中畅哑，平面的電通量的計算式為：

電通量的積分表達(dá)式為：

高斯定理的公式是 $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$ 。如圖所示有三個點電荷资锰，分別為 $q_{1},q_{2},q_{3}$ 敢课。我們畫一個封閉的曲面，將 $q_{1},q_{2}$ 圍在里面绷杜，而讓 $q_{3}$ 呆在該封閉曲面的外圍直秆。在此情形下，請分析高斯定理中的各項鞭盟。

$Q=$ _________齿诉。
根據(jù)場強疊加原理筝野，任一點的 $\vec{E}?$ 跟_____________有關(guān)晌姚。

所有無限大的均勻帶電的平面或平板，以及由它們彼此平行合成的各種組合體歇竟，均簡稱“平面帶電體”挥唠。畫圖描述這類帶電體的場強特征：

任何無限大均勻帶電平板，做圖示的高斯面焕议，則其通量 $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}$ 計算出來必然為

“平板帶電體”求電場 $\vec{E}$ 的思路是：(a)通過某場點宝磨，在平板兩邊對稱地做一個圓柱型表面作為高斯面，隨后將對該面應(yīng)用高斯定理： $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}$ 盅安；
(b)公式中 $Q_{\text{內(nèi)}}$ 指的這個高斯面所包圍的體積內(nèi)部的總電量唤锉。一定要想清楚電荷到底是如何分布的。在復(fù)雜的問題中别瞭，往往需要借助電荷密度來求解窿祥。
(c) 設(shè)該場點的電場強度，大小為 $E$ 蝙寨，則該面的電通量必然為 $2ES$ 晒衩，其中 $S$ 是圓柱型表面的底面積。
(d)于是得到核心方程： $2ES=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}$ 墙歪，解出 $E$ 即可浸遗。
現(xiàn)在有一個均勻帶電的平板，電量體密度為 $\rho$ 箱亿，平板的厚度是 $D$ 跛锌。我們想求出該平板外部，距離中心為 $x$ 處的場點的電場( $x>D/2$ )届惋。我們過該點髓帽，做圖示的高斯面。設(shè)該點電場大小為 $E$ 脑豹，則核心方程可能為：

現(xiàn)在有一個均勻帶電的平板郑藏，電量體密度為 $\rho$ ，平板的厚度是 $D$ 瘩欺。我們想求出該平板內(nèi)部必盖，距離中心為 $x$ 處的場點的電場( $x$ < $D/2$ )。我們過該點俱饿，做圖示的高斯面歌粥。設(shè)該點電場大小為 $E$ ，則核心方程可能為：

無限大均勻帶電平面拍埠，電荷面密度為 $\sigma$ 失驶，則其電場為

組合帶電體的場強請用疊加原理≡婀海考慮如圖的“組合帶電體”：由一個平面(電荷面密度 $\sigma$ )和一個平板(電荷體密度 $\rho$ )進行平行組合而成嬉探。則P點的場強為( ) ","

所有均勻帶電的球體擦耀，球殼，球面涩堤，以及由它們合成的各種“同心”組合體眷蜓，均叫做“球?qū)ΨQ帶電體”。請畫圖表示這類帶電體的場強特征

某半徑為 $R$ 的均勻帶電實心球體痊远，設(shè)某場點到球心的距離是 $r$ ，場強的大小是 $E$ ∈侠蹋現(xiàn)在做半徑為 $r$ 的虛擬球面(高斯面)碧聪，則該面的電通量 $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}$ 為( )

現(xiàn)在有一個均勻帶電的球殼，總電量為 $Q$ 液茎，球殼的半徑是 $R$ 逞姿，球殼厚度可以忽略。我們想求出該球殼內(nèi)部捆等，距離球心為 $r$ 的 $M$ 處的電場($r 解答：

現(xiàn)在有一個均勻帶電的球殼滞造，總電量為 $Q$ ，球殼的半徑是 $R$ 栋烤，球殼厚度可以忽略谒养。我們想求出該球殼外部，距離球心為 $r$ 的 $N$ 處的電場( $r>R$ )明郭。我們過該點买窟，做半徑為 $r$ 的同心球面作為高斯面。設(shè)該點電場大小為 $E$ 薯定，則核心方程可能為：
(1) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$
(2) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}$
(3) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}$
(4) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr}{\epsilon_{0}R}$
解出電場來始绍，觀察其規(guī)律可能為：(請理解、歸納话侄、記憶)：均勻帶電薄球殼的外部場強亏推，( )等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場。
(5) 能
(6) 不能
進而借助疊加原理思考：有厚度的空心帶電球體年堆，球外的場強吞杭，( )等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場。
(7) 能
(8) 不能变丧。
則正確的是( )

現(xiàn)在有一個均勻帶電的球體篇亭，總電量為 $Q$ ，球的半徑是 $R$ 锄贷。我們想求出該球體外部译蒂，距離球心為 $r$ 的 $N$ 處的電場( $r>R$ )曼月。我們過該點，做半徑為 $r$ 的同心球面作為高斯面柔昼。設(shè)該點電場大小為 $E$ 哑芹，則核心方程可能為：
(1) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$
(2) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}$
(3) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}$
(4) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr}{\epsilon_{0}R}$
解出電場來，觀察其規(guī)律可能為：(請理解捕透、歸納聪姿、記憶)
(5) 均勻帶電球體的外部場強，等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場乙嘀。

(6) 均勻帶電球體的外部場強末购，不等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場。

則正確的是( )

現(xiàn)在有一個均勻帶電的球體虎谢，總電量為 $Q$ 盟榴，球的半徑是 $R$ 。我們想求出該球體內(nèi)部婴噩，距離球心為 $r$ 的 $M$ 處的電場( $r(1)$ E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}} $, with$ Q_{\text{內(nèi)}}=\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}\cdot\frac{4}{3}\pi r^{{3}=Q\cdot(\frac{r}{R})}{3} $(2)$ E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}} $(3)$ E\cdot4\pi r^{2}=\frac{4r{2}}{\epsilon_{0}R^{2}} $(4)$ E\cdot4\pi r^{2}=\frac{4r}{\epsilon_{0}R}$
結(jié)合以上求解過程知擎场，均勻帶電球體內(nèi)部某場點的場強，可等效為( _ )集中到球心時產(chǎn)生的電場几莽。(請理解迅办、歸納、記憶)
(5) 所有電荷章蚣。
(6) 高斯面內(nèi)所有電荷站欺。
則正確的是( )

組合帶電體的場強請用疊加原理。在上面幾道題中纤垂，我們總結(jié)歸納了幾條直觀經(jīng)驗镊绪，具體地：
(1) 均勻帶電的薄球殼，內(nèi)部場強為零洒忧。
(2) 均勻帶電薄球殼的外部場強蝴韭，等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場。
(3) 均勻帶電球體的外部場強熙侍，等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場榄鉴。
(4)均勻帶電球體的內(nèi)部某場點的場強，可等效為高斯面內(nèi)所有電荷集中到球心時產(chǎn)生的電場蛉抓。
結(jié)合以上四點庆尘，考慮如圖的“組合帶電體”：由一個實心帶電球體和一個空心帶電球殼進行同心組合而成。其中巷送，實心球體電量為 $Q_{1}$ 驶忌，球殼電量為 $Q_{2}$ 。應(yīng)用點電荷公式和疊加原理，得帶電體外部場點 $M$ 處的電場大小為：

結(jié)合以上四點付魔，考慮如圖的“組合帶電體”：由一個實心帶電球體和一個空心帶電球殼進行同心組合而成聊品。其中，實心球體電量為 $Q_{1}$ 几苍，球殼電量為 $Q_{2}$ 翻屈。應(yīng)用點電荷公式和疊加原理，得空腔中場點 $P$ 處電場大小為：

如圖的“組合帶電體”：由一個實心帶電球體和一個空心帶電球殼進行同心組合而成妻坝。其中伸眶，實心球體電量為 $Q_{1}$ ，球殼電量為 $Q_{2}$ 刽宪。應(yīng)用點電荷公式和疊加原理厘贼，得球內(nèi)部場點 $N$ 處的場強電場大小為 $E$ 為：

所有無限長、均勻帶電的細(xì)桿圣拄、空心圓筒嘴秸、實心圓柱，以及由它們合成的各種“同軸”組合體售担，均叫做“圓柱型帶電體”。請圖示這類帶電體的場強特征署辉。

某圓柱型帶電體(紅色)依疼，設(shè)某場點到軸線的距離是 $r$ ，場強的大小是 $E$ 〔酿校現(xiàn)在過該場點做一個高度為 $h$ 的虛擬圓柱(藍(lán)色逝淹，高斯面)，則該面的電通量 $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}$ 為：( )

現(xiàn)在有一個無限長桶唐、均勻帶電的細(xì)棒栅葡，電荷線密度為 $\lambda$ 。我們想求出距離軸線(即細(xì)棒的中心線)為 $r$ 的 $M$ 處的電場尤泽。我們過該點欣簇，做高度為 $h$ 的同軸圓柱。設(shè)該點電場大小為 $E$ 坯约，則核心方程可能為：

現(xiàn)在有一個無限長熊咽、均勻帶電、半徑為 $R$ 的圓柱體闹丐，電荷體密度為 $\rho$ 横殴。我們想求出帶電體外部、距離軸線(即圓柱的中心線)為 $r$ 的 $M$ 處的電場( $r>R$ )卿拴。我們過該點衫仑，做高度為 $h$ 的同軸圓柱面梨与。設(shè)該點電場大小為 $E$ ，則核心方程為：

現(xiàn)在有一個無限長惑畴、均勻帶電蛋欣、半徑為 $R$ 的圓柱體，電荷體密度為 $\rho$ 如贷。我們想求出圓柱帶電體內(nèi)部陷虎、距離軸線(即圓柱的中心線)為 $r$ 的 $M$ 處的電場($r 解答：