子環(huán)·理想和商環(huán)
子環(huán)
定義：設(shè))
是一個環(huán),S是R的一個非空自己,若S對R的運(yùn)算也作成一個環(huán),則稱S為R的一個子環(huán),R為S的擴(kuò)環(huán)
類似可定義子整環(huán),子除環(huán),子域
例：
1.對任一環(huán)R,
和R本身是R的子環(huán),稱為R的平凡子環(huán)
2.設(shè))
是整數(shù)環(huán),2Z是全體偶數(shù)的集合,易證2Z是Z的一個子環(huán)
3.設(shè)%7Ca%2Cb%5Cin%20R%5C%7D)
,%3D(c%2Cd)%5CLeftrightarrow%20a%3Dc%2Cb%3Dd)
,定義加法和乘法：%2B(c%2Cd)%3D(a%2Bc%2Cb%2Bd))
,(c%2Cd)%3D(ac%2Cbd))
,則
是環(huán),%7Ca%5Cin%20R%5C%7D)
是的子環(huán)
顯然,S為的一個非空子集,%2C(b%2C0)%5Cin%20S)
,有%2B(b%2C0)%3D(a%2Bb%2C0)%5Cin%20S)
,(b%2C0)%3D(ab%2C0)%5Cin%20S)
,故上的加法和乘法定義了S上的加法和乘法
顯然加法滿足結(jié)合律和交換律,%5Cin%20S)
為S中加法的零元,%5Cin%20S)
,%5Cin%20S)
,使%2B(-a%2C0)%3D(0%2C0))
,故S對加法作成一個交換群
是環(huán),故乘法滿足結(jié)合律、分配律
S為的子集,且對加法和乘法封閉,則也滿足乘法的結(jié)合律关翎、分配律
S為的子環(huán)
判斷
定理：設(shè)是一個環(huán),S是R的一個非空子集,則S是R的子環(huán)的充要條件為：
1.
,有
2.,有
證明：
%E4%BD%9C%E6%88%90%E4%BA%86(R%2C%2B)%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%AD%90%E7%BE%A4)
例：設(shè))
為實(shí)數(shù)域上所有2階方陣對矩陣的加法和乘法所作成的環(huán),設(shè)
,則S是%E2%80%8B)
的一個子環(huán)
對S中任意兩個矩陣
,
,有
是的一個子環(huán)
設(shè)
則T對乘法不封閉,不是的子環(huán)
理想
定義：設(shè)是環(huán),I是R的子環(huán),若
,有
,則稱I為R的理想
對任意環(huán)R,由定義,和R本身都是環(huán)R的理想,稱為平凡理想
例：
1.設(shè)R為整數(shù)環(huán),
,
,則mZ是環(huán)R的理想
2.設(shè)![F[x]?](https://math.jianshu.com/math?formula=F%5Bx%5D%E2%80%8B)
是數(shù)域F上的多項(xiàng)式環(huán),
即S為所有常數(shù)項(xiàng)為零的多項(xiàng)式的集合,由多項(xiàng)式運(yùn)算規(guī)則
%2Cg(x)%5Cin%20S)
,有-g(x)%5Cin%20S)
,![\forall u(x)\in F[x]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cforall%20u(x)%5Cin%20F%5Bx%5D)
,有f(x)%3Df(x)u(x)%5Cin%20S)
,故S是F[x]的理想
3.設(shè)
是%2C%2B%2C%5Ccdot))
的子集,則L是的子環(huán),但不是理想
在環(huán)R中,定義它的子集運(yùn)算：設(shè)S,T是環(huán)R的兩個非空子集
若I,J是環(huán)R的理想,則
,
和
都是R的理想
主理想
設(shè)R是一個環(huán),
,R中一切如下形式的元組成元的集合S：
,其中
,
,
表示對有限個
形式的元求和,則S作成R的理想
,顯然
ay_i%2B(rs)a%2Brat%2B(nr)a)
%2Bsar%2Ba(tr)%2Ba(nr))
顯然
,故S是R的理想,稱S為由元a生成的理想,記作)
由一個元生成的理想稱為主理想,顯然)
是R中包含a的最小理想
當(dāng)
是交換環(huán)時,%3D%5C%7Bra%2Bna%7Cr%5Cin%20R%2Cn%5Cin%20Z%5C%7D)
當(dāng)R是含幺環(huán)時,%3D%5C%7B%5Csum%5Climits_%7Bi%7Dx_iay_i%7Cx_i%2Cy_i%5Cin%20R%5C%7D)
當(dāng)R是含幺交換環(huán)時,%3D%5C%7Bra%7Cr%5Cin%20R%5C%7D)
例：
1.在中,整數(shù)m生成的理想為%3D%5C%7Bkm%7Ck%5Cin%20Z%5C%7D%3DmZ)
2.
是![F[x]](https://math.jianshu.com/math?formula=F%5Bx%5D)
的一個主理想,)
商環(huán)
理想在環(huán)中的作用類似于正規(guī)子群在群中的作用
設(shè)I是環(huán)的一個理想,則)
是)
的一個正規(guī)子群,用I對R作陪集分解,以
表示x所在的陪集,則
令
表示所有陪集的集合,則
對加法運(yùn)算
作成一個交換群
定義中乘法運(yùn)算：
先證這個樣定義的運(yùn)算結(jié)果與代表元的選取無關(guān)
設(shè)
,則
,使
故(y%2Br_2)%3Dxy%2Br_1y%2Bxr_2%2Br_1r_2)
I是理想,
,故
即
所以以上規(guī)定的中的乘法是合理的
%5Coverline%7Bz%7D%3D(%5Coverline%7Bxy%7D)%5Coverline%7Bz%7D%3D%5Coverline%7Bxyz%7D)
%3D%5Coverline%7Bx%7D(%5Coverline%7Byz%7D)%3D%5Coverline%7Bxyz%7D)
故中的乘法適合結(jié)合律
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=R%2FI" alt="R/I" mathimg="1">中的加法和乘法都是用陪集的代表元的相加和相乘規(guī)定的,R中元所適合的運(yùn)算法則可轉(zhuǎn)移到中,故中的加法和乘法也適合左解寝、右分配律,故關(guān)于所定義的加法和乘法作成一個環(huán),稱為R關(guān)于理想I的商環(huán)
定義：設(shè)R是一個環(huán),I是R的一個理想,R作為加群關(guān)于I的商群對乘法所作成的環(huán),稱為R關(guān)于I的商環(huán),或稱為R模I的同余類環(huán),記作
注：一般的同余類環(huán)是整數(shù)的同余類環(huán)的推廣
例：
1.設(shè),%3DnZ)
是由正整數(shù)n生成的主理想,則由商環(huán)：
,構(gòu)造這個商環(huán)時,利用了Z的主理想%3DnZ)
,Z中兩個元a和b在同一個陪集)
顯然,該條件與
等價,故
的元正是整數(shù)模n的同余類
故將稱為R模I的同余類環(huán)
2.設(shè)是數(shù)域F上的多項(xiàng)式環(huán),%3Da_0%2Ba_1x%2Ba_2x%5E2%2B%5Ccdots%2Ba_nx%5En)
,
,![I=(g(x))=\{f(x)g(x)|f(x)\in F[x]\}](https://math.jianshu.com/math?formula=I%3D(g(x))%3D%5C%7Bf(x)g(x)%7Cf(x)%5Cin%20F%5Bx%5D%5C%7D)
為中由多項(xiàng)式)
所生成的理想
則關(guān)于理想I的商環(huán)為
![F[x]/(g(x))=\{r(x)+(g(x))|r(x)\in F[x],r(x)=0或deg\; r(x)\lt n\}](https://math.jianshu.com/math?formula=F%5Bx%5D%2F(g(x))%3D%5C%7Br(x)%2B(g(x))%7Cr(x)%5Cin%20F%5Bx%5D%2Cr(x)%3D0%E6%88%96deg%5C%3B%20r(x)%5Clt%20n%5C%7D)
