來源：《世界哲學》2015年第2期

導言

康德在《純粹理性批判》開篇就談到了算術(shù)與幾何命題的先天綜合特征涨冀，尤其對于幾何學來說矾踱，其綜合基礎(chǔ)是作為純粹直觀形式的空間怀跛。但康德主要依賴單一的幾何學經(jīng)驗出發(fā)研究其本質(zhì)策严，并在相當程度上受限于這種觀察株憾，因此十九世紀射影幾何夜涕、仿射幾何及微分幾何等新型學科的出現(xiàn)犯犁，不僅給數(shù)學家提供了空前豐富的觀念素材，而且對康德的設(shè)想提出了嚴峻挑戰(zhàn)女器。一個直接的矛頭就是指向幾何學對空間直觀性的依賴：所謂的“直觀”真的是幾何學的本質(zhì)要素嗎酸役？

自克萊因（Felix Klein）的埃爾朗根綱領(lǐng)提出20多年后，希爾伯特在19世紀末重新思考了傳統(tǒng)的歐氏幾何及其哲學基礎(chǔ)驾胆，但根本上離開了康德式進路涣澡。他認為，幾何學應該與魏爾施特拉斯的分析學一樣有嚴格的基礎(chǔ)丧诺，但需要盡可能排除質(zhì)料性和直觀性的因素入桂，幾何學的代數(shù)化并不是徹底的方法，空間對象的本質(zhì)不能僅按照種種運動變換來分析驳阎，而要以一種新的方式回到歐幾里德的道路上去抗愁，即用純粹的馁蒂、形式的公理化方法來建立幾何學。這樣一來蜘腌，幾何學乃至整個數(shù)學的意義就發(fā)生了變化沫屡，在最基本的層次上，數(shù)學活動的核心特征不再是從某些直觀中被給予的對象出發(fā)建立體系撮珠，也并非籠統(tǒng)地用一種模式整合各類對象沮脖，而是從一開始就僅存在于某種抽象的關(guān)系之上⌒炯保總之勺届，希爾伯特認為這種純粹的關(guān)系或結(jié)構(gòu)本身才是數(shù)學的真正基礎(chǔ)，而這些思想的明確表述出現(xiàn)在《幾何基礎(chǔ)》的第一版中娶耍。

弗雷格在看完《幾何基礎(chǔ)》之后免姿，立即對這種新的公理化思想提出了自己的批評。在與希爾伯特通信中榕酒，他提出了三項質(zhì)疑：首先是公理化方法的實質(zhì)养泡，其次是定義與公理的界限問題，最后是關(guān)于系統(tǒng)一致性的證明奈应。這三個方面互相關(guān)聯(lián)，且處于層進的關(guān)系中购披，是雙方爭論的焦點杖挣，而公理化思想最終是否有效可行就取決于對這些問題的理解。

一

弗雷格認為刚陡，公理化方法要面對的首要問題就是確定公理本身的性質(zhì)是什么惩妇。按照一種保守的理解，體系的公理是其他命題的源頭筐乳，它們是演繹的起點歌殃，同時也是命題為真的最終保證。為了達到辯護的結(jié)果蝙云，把某些命題論證為真的氓皱，我們就總要從一些基本的前提出發(fā)，而這些前提本身的真理性不能來自于論證或推理勃刨。問題在于波材，作為演繹起點的原始命題一方面必須是“真的”，另一方面必須是“不可證明”的身隐。那么它們的真來自哪里呢廷区？不論是弗雷格還是希爾伯特都用康德的方式回答這個問題，認為幾何學命題的原始真理應當?shù)旎诳臻g直觀上贾铝。[1]在涉及到公理體系的基礎(chǔ)時隙轻，弗雷格同樣認為埠帕，這些公理不能隨便選來，而是應當表明自身的真理性是顯然的玖绿。那么這種“顯然”從哪來呢敛瓷？顯然它只能來自我們對幾何對象的直觀，而這一點實際上包含著更深刻的問題镰矿。

希爾伯特在一定程度上繼承了克萊因的思想琐驴，因為幾何學的統(tǒng)一化、甚至數(shù)學的統(tǒng)一化秤标，都是雙方的目標绝淡。克萊因讓幾何學統(tǒng)一在群論下的觀點也并非是簡單地把幾何代數(shù)化苍姜，而是根本上提出了數(shù)學領(lǐng)域各學科之間統(tǒng)一性和綜合性的思想牢酵，只不過這種思想并非建立在柏林學派對于數(shù)學基礎(chǔ)的嚴格要求之上，而是直接來自數(shù)學實踐衙猪。以克萊因為代表的非公理化進路與希爾伯特倡導的公理化進路有著基本區(qū)別馍乙，但是否公理化只是兩條路線的表面差異，希爾伯特還在更深的層面上洞察到了克萊因的問題垫释。兩位數(shù)學家都承認直觀基礎(chǔ)是必不可少的丝格，但問題在于這是一種什么樣的直觀。在群論觀點下棵譬，空間事物本身的幾何性質(zhì)統(tǒng)一于代數(shù)方法下的基本條件是采取一種運動變換的觀點尋找不變量显蝌。對象僅在認識者方面表現(xiàn)為處于時間直觀中的現(xiàn)象。希爾伯特恰恰在這個意義上反對克萊因订咸，因為那種觀點下的時間直觀是不可避免的引入因素曼尊，但幾何學在本質(zhì)上應當只是關(guān)于事物的空間性，是一種僅僅和位置脏嚷、形態(tài)相關(guān)的存在骆撇，變化和運動在此毫無關(guān)聯(lián)。換言之父叙，空間直觀是幾何學唯一的本質(zhì)神郊，盡管幾何對象的被給予總是需要奠基于時間意識中，但就其自身的構(gòu)形來講趾唱，它們作為理想化的事物（理想的點線面）具有超時間性屿岂，時間直觀不屬于對象本質(zhì)。

《幾何基礎(chǔ)》中的看法甚至更進一步鲸匿，它已經(jīng)離開了對直觀性的關(guān)注而徹底轉(zhuǎn)向純粹形式的東西爷怀。雖然他未否認空間直觀的奠基作用，但強調(diào)幾何學的核心要素或者說公理化方法的實質(zhì)在于純粹形式上的系統(tǒng)統(tǒng)一性带欢。即便是歐氏幾何的公理运授，盡管最初形成是由于對經(jīng)驗事物的直觀與觀念化烤惊，但在新觀點下，甚至這一步也失去了本質(zhì)的地位吁朦。一切具體的東西柒室、帶有經(jīng)驗性質(zhì)料的表述，都不再是關(guān)鍵逗宜。

弗雷格原則上同意希爾伯特對直觀的看法雄右，但反對將之排除出公理的性質(zhì)。弗雷格認為談論純粹形式上的系統(tǒng)統(tǒng)一是空洞的纺讲，而希爾伯特在公理中表述的幾何對象缺乏定義擂仍，或者說它們根本不是什么有意義的東西。在1899年12月27日給希爾伯特的信中熬甚，弗雷格寫道：“‘點’逢渔、‘線’、‘面’的含義都沒有給出乡括，而是被假定為事先知道的東西……我們一開始在歐氏幾何的意義上理解‘點’肃廓，但接下來你又把數(shù)對也叫作‘點’……公理被迫負載了原本應當屬于定義的負擔』迕冢”[2]弗雷格發(fā)現(xiàn)通常的理解在這里完全失效了盲赊，因為一旦用符號去替換它就會發(fā)現(xiàn)這根本不影響公理的表達。[3]如此一來敷扫，公理中的詞項就成了無意義的東西角钩，命題究竟在講什么也就成了個謎。希爾伯特在兩天之后的回信中對此表明了態(tài)度：“我并不假定任何事先知道的東西呻澜，我把我的解釋視作對那些概念的定義……如果人們追求一個‘點’的其他定義，那么……他就在找永遠找不到的東西惨险，因為本來就什么都沒有羹幸。”[4]

二

由此辫愉，弗雷格對希爾伯特的第二點指責——即后者混淆了定義與公理——就與一開始提出的質(zhì)疑結(jié)合起來了栅受，因為假如一個命題中的詞匯沒有得到定義，那么這個命題就沒有表達任何思想恭朗，也不會有真值屏镊，如此一來公理化方法的目標就絲毫不明確。按照弗雷格在那封信中的理解痰腮，我們總是先用定義的方式賦予符號而芥、表達式或語詞以意義，然后再“把定義變成一個自明的命題膀值，讓它可以像公理一樣來使用”棍丐。[5]公理絕對不能是無真值的命題误辑，毋寧說它應當是一切演繹得到的真命題的先決條件。這種缺乏實質(zhì)的公理化根本不能成立歌逢，更不用說拿公理去定義概念了巾钉。

但希爾伯特想的完全是另一回事，他認為詞語的原始含義非但不成為問題秘案，而且含義本身也是非本質(zhì)的東西砰苍，原則上“必定總是可以用‘桌子’、‘椅子’阱高、‘啤酒杯’來代替‘點’赚导、‘直線’和‘平面’”。[6]公理化方法對于幾何學的意義已經(jīng)超越了單純的語義層面而轉(zhuǎn)向一種語形結(jié)構(gòu)自身的邏輯性讨惩，借此實際上改變了幾何學的原初意義辟癌，從空間中的理想對象轉(zhuǎn)向了更抽象更高階的關(guān)系性本身。數(shù)學對象的意義不再是自下而上地從直觀中被統(tǒng)覺的對象過渡到觀念客體荐捻，而是自上而下地直接從一種更普遍的觀點而特殊化黍少，直觀的意義已經(jīng)不再作為保真條件，邏輯性才是唯一的重點处面。正如希爾伯特的助手貝爾奈斯（Paul Bernays）所言：“一個公理體系不再被看作關(guān)于一個主題事物的陳述系統(tǒng)厂置，而是作為一種關(guān)系結(jié)構(gòu)的條件的體系……邏輯的依賴性從其自身出發(fā)得到研究，而在推理中魂角，我們必須僅僅依賴符號的如下性質(zhì)昵济，亦即它們要么得到了明確的假定，要么是邏輯地從假設(shè)與公理中得出來的野揪》梅蓿”[7]

進一步看，希爾伯特似乎完全沒有考慮弗雷格的涵義與指稱理論斯稳，還正面駁斥了弗雷格要求從詞語“定義”出發(fā)規(guī)定公理命題的“思想”的傳統(tǒng)進路海铆。前面已經(jīng)講過，按照弗雷格的想法挣惰，所謂“公理”就必須是通過有良好定義的（well-defined）詞語構(gòu)建起來的真命題卧斟，命題的真取決于對詞語意義和詞間關(guān)系的理解，而現(xiàn)在希爾伯特完全將基礎(chǔ)層面的東西抽空憎茂，那么命題也就不可能有任何真假可言珍语。可是竖幔，希爾伯特雖然反對用更原始的意義來填充公理詞項的內(nèi)容板乙，卻仍然認為詞項可以定義，而且定義恰恰是通過命題的語法關(guān)系來賦予的拳氢。舉例來說亡驰，正如弗雷格也注意到的那樣晓猛，三個點A、B凡辱、C在一條直線上的話戒职，那么所謂“B在A和C之間”其實沒有任何直觀含義的假象，一旦撥去偽裝透乾，這句話完全就可以寫成“B pat A nam C”洪燥，而希爾伯特的順序公理即公理II 1[8]就可以寫成“如果B pat A nam C，那么B pat C nam A”乳乌。這兩個關(guān)聯(lián)詞pat和nam完全不需要與日常含義相比捧韵，它們可以僅僅表達一種抽象甚至空洞的連接關(guān)系。[9]但是這種關(guān)系并非可有可無汉操，因為詞項A再来、B、C的含義已經(jīng)在這種關(guān)系中得到了確定磷瘤，盡管關(guān)聯(lián)詞完全是形式的芒篷，尚未被進一步解釋，但它們指示了詞項及命題的形式本質(zhì)采缚。然而對弗雷格來講针炉，此關(guān)系絕沒有表達任何真理，也不能指望它會對詞項說出些什么扳抽，這種所謂的“公理”并不是偽命題[10]篡帕，因為它本身的指涉部分并沒有涵義與指稱，也沒有留出空位贸呢，而只是徹頭徹尾的偽公理镰烧。希爾伯特所講的“關(guān)系”原本應當是一個多元函數(shù)，其變元是專名對象楞陷，但現(xiàn)在這種偽公理把概念放在其下怔鳖，自身表達出了關(guān)于這種概念的概念，或者說一個第二層次的（second level）概念猜谚。因此這里就出現(xiàn)了兩個基本的問題：首先是數(shù)學公理按其性質(zhì)被迫涉及到二階的情況，它對于一階的概念（即關(guān)系）有所斷言赌渣，因而自身已經(jīng)不是平凡的數(shù)學命題了魏铅。其次，它所表達的真理仍然必須通過對一階的關(guān)系的考察而得到確定坚芜，而這種確定的可能性在希爾伯特的公理中付諸闕如览芳，因為后者據(jù)說要反過來用更高層次的關(guān)系去定義下級概念，那么命題的真值當然是懸而未決的鸿竖。

就此點爭論而言沧竟，兩人的分歧主要在公理與定義二者對真值的關(guān)系上：弗雷格認為只能從基本的定義與真值確定的角度出發(fā)才能談得上有“公理”铸敏，但希爾伯特從一開始就反對把傳統(tǒng)的真理觀套用在公理化方法中，因為經(jīng)典意義上的“公理”和“公理化”視角下的系統(tǒng)觀念是完全不同的悟泵，對公理化方法來講杈笔，比真理觀更重要的是合法性的保證。盡管合法性顯然是傳統(tǒng)真理論的題中之義糕非，但當前的問題是蒙具，數(shù)學意義上的真理是否只需要涉及一個較小的區(qū)域，或者說要求一種不那么強的保證朽肥。這就需要在弗雷格對系統(tǒng)一致性證明的批評中繼續(xù)討論了禁筏。

三

對于第三個問題，也就是希爾伯特要求的命題真與系統(tǒng)一致性的對應關(guān)系衡招，在弗雷格于1899年底寫給希爾伯特的那封信里就已經(jīng)表示篱昔，他“把公理看作不是通過證明得來的真命題……而由公理的真可以推出它們互相之間不矛盾。因此根本不需要進一步的證明”始腾。[11]前面說過州刽，弗雷格認為幾何學公理的真值由最初的空間直觀保證，而希爾伯特雖然在最基本的意義上同意直觀對于幾何學的貢獻窘茁，但涉及到公理的核心特點時怀伦，他恰恰認為直觀并不是第一要義。并非所有從直觀經(jīng)驗中得來的真命題都可以稱為公理山林，也不是說自身的真不需要邏輯證明的命題就是公理房待，而是只有那些處于體系中并成為其他命題的邏輯基礎(chǔ)的原初命題才是公理。

換言之驼抹，這個問題的焦點集中在命題的真值究竟是建立在語義學上還是語法學上桑孩，是單獨的語義先行還是整體的語法結(jié)構(gòu)先行。弗雷格的立場很清楚：公理按其語義構(gòu)造方式來說就是先天為真的框冀，并且立即可以得出體系本身的一致性流椒。希爾伯特則認為，不能像弗雷格那樣去考慮傳統(tǒng)的語義學對于單個命題之真的保證明也，而應當從語法學的角度談論處于系統(tǒng)整體之中的公理意義宣虾。這首先體現(xiàn)在他對數(shù)學系統(tǒng)性的強調(diào)：即這種系統(tǒng)一致性才是命題真值的唯一保證，假如一個命題不能在系統(tǒng)內(nèi)證明為假（即它的否命題得證）温数，而且也不與系統(tǒng)內(nèi)任何命題矛盾绣硝，那它就是“真”的。希爾伯特認為數(shù)學命題不同于一般命題撑刺，前者的意義只有在公理化以后才完全呈現(xiàn)出來鹉胖，原先的直觀也許奠基了公理命題的可理解性，但這是在語義層面看來才是如此，就語法層面而論甫菠，命題中對象本身的意義不需要牽涉形式之外的任何解釋挠铲。公理首先是形式的確定性，其次才談得上命題在各種解釋模型中的真假寂诱，語法的一致性與完備性要先行于語義上的真值和一致性問題拂苹。

從更深的層次來講，對于語義和語法的各執(zhí)一詞實際上反映了弗雷格和希爾伯特對數(shù)學命題之可理解性的兩種截然不同的態(tài)度刹衫。什么叫“理解”數(shù)學命題醋寝？在弗雷格看來，無論什么命題带迟，要對它作出整體的理解或者說使它有意義音羞，都必須對詞項先行作出賦義，沒有賦義就沒有意義仓犬。但希爾伯特認為命題的意義不只有一種理解方式嗅绰，因為命題并不只有一種類型。我們可以說命題具有某種意義搀继，但這并不必然意味著只有一種方式來確定意義窘面，更不要求必須以一種已知的素樸的方式去先行賦義。對命題意義之理解的傳統(tǒng)做法不適用于數(shù)學命題叽躯，因為后者是一種本質(zhì)上只能先存在于體系當中而后才具有意義的特殊事物财边。

進而言之，既然弗雷格一開始就把普通命題與數(shù)學命題等而視之点骑，從既有的真命題出發(fā)建立數(shù)學系統(tǒng)酣难，因此必然不會遇到數(shù)學對象的存在性問題和系統(tǒng)的一致性問題。按弗雷格的想法黑滴，希爾伯特對系統(tǒng)一致性的討論是多此一舉：我們已經(jīng)知道公理是真的了憨募，那一致性還能有什么問題？但希爾伯特反其道而行之袁辈，他的體系中除了公理之“真”以外還附加了數(shù)學對象的“存在”之論斷菜谣，這個觀點揭示了更深刻的哲學分歧，我們或可以稱之為形式主義和數(shù)學柏拉圖主義之間的分歧晚缩。

由于論題所限尾膊，本文無法深入這個話題，但可以說荞彼，十九世紀后半葉許多大數(shù)學家都相信數(shù)學對象與數(shù)學概念都應該以嚴格的方式給出定義冈敛，并分析地建立起整套理論。然而這些人對于數(shù)學的對象究竟是什么東西卿泽，它們是否存在以及如何存在莺债，有著不同看法。希爾伯特作為繼承分析學派精神的人固然也認為數(shù)學概念應當?shù)玫匠浞侄x签夭，數(shù)學應當與對象區(qū)域有明確的關(guān)系齐邦，但這并不必然導致人們需要贊同某種柏拉圖主義〉谧猓克萊因綱領(lǐng)的成功經(jīng)驗告訴我們數(shù)學研究有其獨特的整體視角措拇，在與特定區(qū)域關(guān)聯(lián)時，人們完全可以獨立把握諸區(qū)域的共同本質(zhì)而不用首先關(guān)心每個區(qū)域?qū)ο笞陨硖赜械拇嬖诜绞缴鞅觥Ｒ虼诵问街髁x的研究分離了數(shù)學對象的本體論與數(shù)學研究的方法論丐吓，也否定了傳統(tǒng)上本體論先行的做法，甚至反過來讓數(shù)學方法來決定其對象的存在性質(zhì)趟据∪纾可是一切方法都有兩面性，當希爾伯特反對弗雷格等人從傳統(tǒng)哲學出發(fā)的觀點汹碱，強調(diào)其公理化的革命性特點時粘衬，也意味著數(shù)學形式已經(jīng)遠離數(shù)學知識的產(chǎn)生與認識問題了，高度形式化的數(shù)學真的可以與理解無關(guān)嗎咳促？也許胡塞爾的看法會給提供某些啟發(fā)稚新。
　
四

希爾伯特一方面認為幾何學終究還是關(guān)于空間直觀的邏輯分析，[12]另一方面又始終堅持公理化的優(yōu)點就是保持幾何學的邏輯性和純粹性跪腹，避免一切直觀內(nèi)容的混雜褂删，[13]因此他對公理化幾何與空間直觀的關(guān)系究竟持什么態(tài)度還需要更詳細的說明，可惜他本人沒有給出專題論述冲茸。而對我們來講屯阀，這里更重要的問題或許是：一般而言，幾何與直觀經(jīng)驗的關(guān)系到底是什么噪裕。胡塞爾雖然在公理化問題上支持希爾伯特的觀點蹲盘，[14]但他也看出了公理化幾何與經(jīng)典幾何的本質(zhì)差異，也就是說公理化的洞見并非集中在對幾何關(guān)系的直觀上膳音，而是在特殊的超幾何的關(guān)系上召衔，更關(guān)注普遍的、“范疇的”東西祭陷。[15]即使我們最終總是在談論某種空間性苍凛，這里也仍然存在多義的空間概念，比如直觀的空間并非幾何學的空間兵志，后者作為范疇對象需要一種更原初的被給予物來奠基醇蝴，同時還要說明如何奠基。[16]毫無疑問想罕，幾何學的這種奠基性質(zhì)不僅為現(xiàn)象學所重視悠栓，同時也是弗雷格與希爾伯特都注意到的情形霉涨，只是因為某些原因兩人都沒有繼續(xù)推進這個研究。但反過來講惭适，正因為他們對奠基性問題的分析不夠徹底笙瑟，才導致了彼此在對數(shù)學命題的理解問題上呈現(xiàn)出一種特有的“二律背反”。

簡言之癞志，弗雷格看到了命題具有意義的條件在于對其詞項內(nèi)容的先行賦義往枷，這一點正如胡塞爾在《邏輯研究》第二卷一開始表明的那樣，賦義行為是含義表達的基本條件凄杯。但前者理所當然地認為這種賦義就是語義層面上的關(guān)系错洁，從已知的含義到數(shù)學對象的定義之間有一條直接的道路，是邏輯的戒突、客觀的屯碴。胡塞爾的批評則基于如下思路：已知的、素樸的意義對于建構(gòu)觀念對象的確具有基本的作用膊存，但這種作用是以作為素材的奠基方式實現(xiàn)的窿锉，觀念對象的產(chǎn)生根本上依賴于一種意向性和范疇化的成就，而不是單純的邏輯定義膝舅，賦義活動不能簡化為語義的東西嗡载。而希爾伯特看到了數(shù)學命題的特殊性，即一種系統(tǒng)和語法先行的特征仍稀，但之所以無法說服弗雷格洼滚，是因為前者的強調(diào)在客觀上弱化了意義起源的事實方面，即便數(shù)學對象的意義依賴于系統(tǒng)性技潘，但畢竟仍具有一層和現(xiàn)實連接的關(guān)系遥巴。對于這層關(guān)系的重視恰恰是構(gòu)造數(shù)學對象之可理解性的關(guān)鍵。雖然希爾伯特畢竟承認經(jīng)驗中的點享幽、線铲掐、面是直觀起源，可是他完全把這些直觀起源作為數(shù)學產(chǎn)生的非本質(zhì)要素值桩，當一種偶然的事實處理摆霉。而在現(xiàn)象學看來，這些經(jīng)驗恰恰不是什么權(quán)宜之計或可有可無的東西奔坟，而是極為本質(zhì)性的奠基因素携栋，對幾何學甚至整個數(shù)學的意義分析只能從這個角度出發(fā)。

胡塞爾發(fā)現(xiàn)直觀內(nèi)容的給予和形式科學的建立之間存在著一種基本距離咳秉，這并不是埃爾朗根綱領(lǐng)或公理化思想獨有的婉支，因為現(xiàn)代的數(shù)學采取的新視角無非是一種更徹底更抽象的步驟，而早在這種方法實行之前澜建，古希臘人就從大地測量術(shù)（geo-metria）走到了歐幾里德的科學向挖，這已讓幾何有了最根本的東西蝌以。要說明這點，就必須闡明兩個基本問題：首先是我們?nèi)绾慰赡馨褞缀螌ο蟀盐諡橐环N先天（a priori）的何之、本質(zhì)的東西饼灿，它雖然的確通過更原始的偶然的經(jīng)驗素材構(gòu)成，但其自身具有一種必然且確定的性質(zhì)帝美；其次是為何最初的幾何學是這種結(jié)構(gòu)而不是別的樣子。這兩個問題相當于在追問幾何學在主體意識中的發(fā)生條件晤硕，也就是它的必要條件與充分條件悼潭。簡言之，胡塞爾的思路大致如下：

通過對日常經(jīng)驗中的空間客體作構(gòu)造分析舞箍，我們發(fā)現(xiàn)平時所熟悉的事物從一開始就已經(jīng)包含了一種幾何態(tài)度舰褪。一些大型客體諸如房子、山川疏橄、海洋等等占拍，本質(zhì)上不同于小物體，因為它們都不是直接顯現(xiàn)給我們的東西捎迫，無法在一個場景中得到統(tǒng)覺，而是必須通過一系列連續(xù)的直觀綜合活動組成。這些綜合活動最終得以統(tǒng)一依賴于一種先行的同一性意識账千，也就是將需要綜合的客體觀念本身作為直觀空間中的界限成洗，把在綜合活動中的部分意識現(xiàn)象認定為屬于同一個事物整體。因此直觀的部分空間性本身就包含有對象的觀念性意義（對象作為空間形體）和邏輯意義（部分與整體的關(guān)聯(lián)）彰导，從而它們的整體蛔翅，亦即可經(jīng)驗到的全部空間，才可能被觀念化為一種單一的空間總體位谋。從直觀空間到幾何空間正是觀念化活動的徹底結(jié)果山析，正如希爾伯特所言，此時的直觀部分需要完全讓位于一種只能單純理解但已經(jīng)無法直觀地被給予的內(nèi)容了掏父。我們在部分空間直觀中得到的點笋轨、線、面的概念屬于奠基于經(jīng)驗性直觀上的范疇化活動的結(jié)果赊淑，但這種范疇化或觀念化最初并不具有幾何學意義翩腐。真正的幾何學觀念化（Ideation）是一種更高級的理想化（Idealization）過程，[17]它所確定的是一個比普通觀念更抽象也更精確的本質(zhì)膏燃，而理想化對象就是這種本質(zhì)的化身茂卦。此外，在經(jīng)驗世界中我們所遭遇的部分直觀客體中間還包含著基本對象之間的構(gòu)形關(guān)系（morphological relations）组哩，對這種關(guān)系的理想化屬于另一種類型等龙，它奠定了我們將幾何對象結(jié)合在邏輯關(guān)系中的基礎(chǔ)处渣。兩種理想化合在一起才提供了幾何學公理基本要素。

除了對必要條件的解釋外蛛砰，幾何學發(fā)生的充分條件也需要說明罐栈，即它為何是如此而非別的形態(tài)。但這問題不能只從邏輯的角度回答泥畅，而需借助幾何學發(fā)展的歷史來看荠诬。幾何觀念的每一步發(fā)展都由前一次觀念所奠基，比如從大地測量到三維歐氏幾何再到非歐幾何位仁、拓撲學等等柑贞，任何一次發(fā)展除了對幾何基礎(chǔ)的認識改變之外，還同時受到它所關(guān)注的方向的限制聂抢。就歐氏幾何來講钧嘶，它奠定在對生活世界的第一次理想化之上，因此人類的基本經(jīng)驗使得幾何學必定要以與直觀最接近的方式實現(xiàn)出來琳疏。而在平行公理的疑難有所突破時有决，不同幾何學之間的差異也必定只體現(xiàn)在對這一公理的態(tài)度上。當我們關(guān)注的焦點轉(zhuǎn)移到剛體運動中的不變量或守恒關(guān)系時空盼，仿射幾何书幕、射影幾何以及幾何與抽象代數(shù)的結(jié)合就是順理成章的結(jié)果了。從本質(zhì)學（Eidetik）的觀點看揽趾，幾何學每次有所突破的同時也都蘊含著突破的限度和方向所受到的必然限制按咒，高觀點下擴展幾何學類型時，它們必定呈現(xiàn)為某些特定形態(tài)而不是其他樣子但骨。直到希爾伯特的公理化励七，理想化方法達到了其頂點，因為一切質(zhì)料性的語義內(nèi)容都被抽象掉奔缠，數(shù)學的形式本質(zhì)或結(jié)構(gòu)本質(zhì)成為其唯一特征掠抬，而最終的可理解性也不是傳統(tǒng)意義上的了，特定區(qū)域的數(shù)學需要上升為更高階的理論校哎，新的研究需要具備最高的普遍性两波，它包含了低階理論本身的全部可能性。
　
五

胡塞爾在1900年前后對公理化問題的研究結(jié)果構(gòu)成了他流形論（Mannigfaltigkeitslehre）思想的主干闷哆。雖然關(guān)于數(shù)學哲學的基本問題上他傾向于希爾伯特的進路腰奋，但對于邏輯學和本質(zhì)學的深入思考使得他在整個哲學領(lǐng)域推進并擴展了這種思想。在《邏輯研究》第一卷中抱怔，胡塞爾明確提出了純粹邏輯學的三步計劃：首先是純粹概念的完整理論劣坊，其次要研究概念之間關(guān)系的規(guī)律并發(fā)展成一門系統(tǒng)的理論，而最終的大全形態(tài)是關(guān)于理論的理論屈留，它“探討理論所具有的關(guān)系規(guī)律的本質(zhì)類型”局冰。[18]胡塞爾在十九世紀末意識到幾何中的“流形”（Mannigfaltigkeit）概念對自己的邏輯學與數(shù)學基礎(chǔ)研究也有重大意義测蘑，將其引入現(xiàn)象學和數(shù)學哲學的計劃中，并把關(guān)于一切可能的理論全體所作的分析稱為“流形論”康二。碳胳。他認為，邏輯學及數(shù)學的對象根本上是某種語法形式沫勿，其任務就是考察這些純形式之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系挨约。胡塞爾的“流形論”有兩種基本含義：作為綱領(lǐng)的流形論應當涵蓋所有本體論，刻劃一切可能本質(zhì)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系产雹；而作為某種局部理論形態(tài)的流形論則是考察從對象中直觀到的諸本質(zhì)之間的高階關(guān)系诫惭，這種關(guān)系不僅限定了事態(tài)的所有可能情形，而且也規(guī)定著這些事態(tài)到底是什么洽故，因為它是關(guān)于對象之所是的本質(zhì)學。[19]這兩種含義在希爾伯特的公理化方法中都能找到盗誊，如在幾何學這種局部理論上时甚，新視角并不關(guān)注幾何元素自身的空間屬性，而是關(guān)心一些純形式關(guān)系哈踱，不是從已定義的對象出發(fā)建立關(guān)系荒适，而是用本質(zhì)關(guān)系去規(guī)定對象的區(qū)域與內(nèi)涵。只不過這種規(guī)定并不是直接指出來的开镣，因為對象沒有在指示的（ostensive）意義上得到確定刀诬，毋寧說一開始被確定的就是由無內(nèi)涵概念構(gòu)成的整個類。胡塞爾雖然認為流形論與公理化方法之間有明顯的共同點邪财，但對于哲學家來講陕壹，更重要的是去論證各種數(shù)學觀念形態(tài)之間的生成關(guān)系，這樣才能為新方法找到合理辯護树埠。[20]

在早年的算術(shù)哲學研究中糠馆，胡塞爾就把數(shù)的概念放在代數(shù)學思想的生成背景中看待，他看到算術(shù)的發(fā)展有三個基本的步驟怎憋。一開始的算術(shù)只是一種技術(shù)操作又碌，大家只管擺弄具體的數(shù)字而不去關(guān)心更多的東西。后來通過一種最初的理想化绊袋，人們逐漸有了普遍的數(shù)的觀念毕匀，把自然數(shù)作為一個類，而將具體數(shù)字置于其下癌别，并給出了數(shù)系的一些法則皂岔。到了近代，更一般的算術(shù)又以字母代數(shù)的方法反映了對關(guān)系意義的洞見展姐，從而以諸如a+b=b+a的形式把算式中最本質(zhì)的東西表達出來凤薛，此時無論是具體的數(shù)系還是規(guī)則都不再重要姓建，核心問題是如何用純形式的方法來表示一般對象之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)——這正是抽象代數(shù)的根本思想。胡塞爾從本質(zhì)角度刻劃的算術(shù)觀念史也適用于其他數(shù)學分支乃至整個數(shù)學缤苫，尤其當公理化或流形論思想成為主導路線時速兔，這就更明顯。最初的數(shù)學局限在一種確定的對象性里活玲，這些對象被認為是絕對實在的涣狗、超越于我們之外的東西，這就是數(shù)學柏拉圖主義的立場舒憾。但在所謂的“游戲規(guī)則的數(shù)學”觀點下镀钓，數(shù)學對象被剝?nèi)チ税乩瓐D式的素樸本體論意味。算術(shù)的本質(zhì)是一種有規(guī)則的游戲運算镀迂，就和下棋一樣丁溅，棋盤與棋子的一切物理性質(zhì)和文化意味都不重要，它們唯一的存在方式就是去符合規(guī)則賦予它們的游戲含義探遵。不過正是在這樣的游戲觀點下窟赏，胡塞爾提出了“理論形式”（Theorienform）的觀點，它不是關(guān)于事實對象的理論箱季，而是關(guān)于各種理論可能形態(tài)的元理論涯穷，通過一系列元描述來規(guī)定所要談論的各種理論無論如何都具有的共同本質(zhì)。在《形式邏輯與先驗邏輯》中藏雏，胡塞爾把最初的分析學視為某種初步的流形論拷况，因為它也致力于實數(shù)系的公理化。這種“數(shù)學分析本身掘殴，或者說一種嚴格的流形論”赚瘦，[21]是對運算性質(zhì)的游戲數(shù)學來講更高的觀點，它可以導向一種更全面的流形論或理論形式奏寨，即通過各種公理形式來定義流形的形式。

數(shù)學的游戲觀點與流形觀點互補服爷，它們從分別對數(shù)學對象的性質(zhì)和數(shù)學活動自身的性質(zhì)作了說明。流形思想表明數(shù)學研究作為理想化與直觀活動的結(jié)合是如何一步步發(fā)展起來的仍源，它在人的心智和意向性當中如何生根發(fā)芽；[22]而游戲思想的確立使得胡塞爾對于數(shù)學對象的存在意義作出了和希爾伯特類似的斷言——這里需要立即補充的是逗爹，胡塞爾雖然認為數(shù)學公理只要不矛盾，推出的東西就是存在的掘而，但這種東西也僅僅在公理體系中或流形論的觀點下才“存在”，[23]我們既不能把這種特定的存在概念外推向一般觀念對象如顏色袍睡、空間或靈魂、上帝等等斑胜，也不能認為這種存在的意義不需要來源或構(gòu)造就直接可以理解。存在意義的確有其發(fā)生過程止潘，其在當下的隱而不顯就是意義構(gòu)成物的積淀狀態(tài)（sedimentation）掺炭，它總是已經(jīng)存在于新觀念的語言之中，即便這些語言已經(jīng)不再指稱原來東西了凭戴。意義的沉淀與復活表現(xiàn)在幾何學領(lǐng)域涧狮，“就是用語言表達出來的幾何學構(gòu)成物的自明性的改變∶捶颍”[24]這種積淀證明了我們的觀念科學或自然科學與本原的生活世界有基本的關(guān)聯(lián)：理想化的過程總是在不斷消除其與生活世界的聯(lián)系者冤，一方面用普遍的理想化的結(jié)構(gòu)統(tǒng)治我們的經(jīng)驗世界內(nèi)諸事物，另一方面始終聲稱絕對的魏割、本質(zhì)的存在只是那個高度抽象的結(jié)構(gòu)譬嚣；可是钢颂，普遍的結(jié)構(gòu)與流形論的思想本身都有其意向性基礎(chǔ)钞它，在理想化的進程中，原始意義沒有也不可能被徹底抹消殊鞭，我們越是貼近事情本身的發(fā)展過程遭垛，就越是能看到，為何在排除直觀性與經(jīng)驗性以后我們還能理解那種理想化的科學對象操灿。因此锯仪，胡塞爾所選擇的路線雖然更偏向希爾伯特，甚至在許多地方與哥廷根學派高度一致趾盐，但對幾何學意義的現(xiàn)象學考察也確證了弗雷格當初的質(zhì)疑很有道理庶喜，后者洞察到了公理化方法背后的哲學疑難。
　
[1] Gottlob Frege, Philosophicaland Mathematical Correspondence. Basil Blackwell,Oxford, 1980. p.37.

[2] Ibid. p.35.

[3] 在1914年的手稿里他也詳細地說明了這一點救鲤，參見弗雷格久窟，《弗雷格哲學論著選輯》，王路譯本缠，北京：商務印書館斥扛，2006，第313-315頁丹锹。

[4] Gottlob Frege, Philosophicaland Mathematical Correspondence. p.39.

[5] Ibid.p.36.

[6] Stewart Shapiro, “Categories, Structures, and the Frege-HilbertControversy”, in Logicism, Intuitionism,and Formalism, ed. by Stem Lindstr?m et al., Springer,Dordrecht, 2009, p.437.

[7] Ibid.

[8] 它的原始表述參見希爾伯特稀颁，《幾何基礎(chǔ)》芬失，江澤涵，朱鼎勛譯匾灶，北京：科學出版社棱烂，1987，第3頁粘昨。

[9] 弗雷格垢啼，《弗雷格哲學論著選輯》，王路譯张肾，北京：商務印書館吞瞪，2006，第314頁惯疙。

[10] 關(guān)于Frege意義上的命題與偽命題之異同的一個清晰說明霉颠，參見GottlobFrege, On the Foundations of Geometry andFormal Theories of Arithmetic, Yale University Press, London, 1971,pp.xxxiv-xxxvi.

[11] Gottlob Frege, Philosophicaland Mathematical Correspondence. p.37. 弗雷格似乎從未改變這種觀點蒿偎，見弗雷格诉位，《弗雷格哲學論著選輯》苍糠，王路譯啤誊，北京：商務印書館蚊锹，2006，第252頁乏矾。

[12] Ibid.p.106.

[13] Rene Jagnow, “Edmund Husserl on the Applicability of FormalGeometry”, in Intuition and the AxiomaticMethod, ed. by Emily Carson and Renate Huber. Springer,Dordrecht, 2006. p.67.

[14] Edmund Husserl, Philosophie derArithmetik, Husserliana Band XII, Martinus Nijhoff, Den Haag, 1970,S.444-451.

[15] Edmund Husserl, EarlyWritings in the Philosophy of Logic and Mathematics, Collected Works,Volume V, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1994, p.486.

[16] 本文因篇幅所限不能深入這個論題凄硼。

[17] 胡塞爾摊沉，《邏輯研究》（第二卷第一部分）痒给，倪梁康譯苍柏，上海：上海譯文出版社试吁，2006年，第276頁烛恤。

[18] 胡塞爾缚柏，《邏輯研究（第一卷）》币喧，倪梁康譯粱锐，上海：上海譯文出版社扛邑，1994年蔬崩，第211-219頁沥阳。

[19] 胡塞爾有時也擴展“流形”的內(nèi)涵自点，將之應用于在流變中保持統(tǒng)一的質(zhì)料對象上。

[20] Edmund Husserl, Formale undTranszendentale Logik, Husserliana Band XVII, Martinus Nijhoff, 1974, S.82-85. 關(guān)于兩人之間對形式系統(tǒng)完備性概念的論述比較溅潜，參見Stefania Centrone, Logic andPhilosophy of Mathematics in the Early Husserl, Springer, Dordrecht, 2010,pp. 176-179. 需要注意的是滚澜，胡塞爾本人并不同意將幾何學變成純形式的語法學或形式本體論设捐，因為幾何對象的內(nèi)涵是空間對象萝招，因此其科學只能是一種質(zhì)料本體論存捺。

[21] Edmund Husserl, Formale undTranszendentale Logik. S.104.

[22] 需要指出召噩，哥德爾也認為胡塞爾的這個觀點就是數(shù)學中的實踐經(jīng)驗所表明的情況具滴。參見王浩构韵，《邏輯之旅》，邢滔滔等譯凶朗，杭州：浙江大學出版社2009年版棚愤，第七章及以下宛畦。

[23] 關(guān)于胡塞爾對數(shù)學對象存在問題的流形論理解次和，參見Edmund Husserl, Philosophieder Arithmetik. S. 430-444.

[24]胡塞爾踏施，《歐洲科學危機與超越論的現(xiàn)象學》，第437頁抓督。