? ? ? 眼看著又要開始上班童社，上學(xué)期買的《數(shù)學(xué)簡史》再看一遍戳表，外國人寫的書里很少涉及到古代中國的數(shù)學(xué)歷史鄙煤，非常少耻煤，少得可憐具壮。在第一章里提到新石器時代的早期圖案時提到中國的掛毯上能找到美麗的實例。學(xué)科的歷史發(fā)展不僅僅關(guān)注本國的發(fā)展更要放眼世界從時間的發(fā)展歷程中去了解哈蝇。要想證明在任何時間在某一領(lǐng)域領(lǐng)先于其他國家需要有文獻記錄棺妓，光靠傳說是不行的。中國有炮赦，在第二章“古代東方”最后有一些介紹怜跑，不著急，先關(guān)注第一章吠勘。
一
? ? 人類最初有數(shù)和形的觀念要追溯到舊石器時代.在那幾百萬年的時間里,人們以小的群體聚集在一起,生活在和動物相差不多的情形之下,主要精力是用最原始的方法在任何可能的地方采集食物他們?yōu)榇颢C和捕魚造出了器具,發(fā)展了語言彼此交流,并且在舊石器時代后期創(chuàng)造了各種藝術(shù)形式,諸如雕像和繪畫,來豐富自己的生活.在法國和西班牙的洞穴里,大約15000年前的繪畫很可能帶有儀典的意義,但無疑表現(xiàn)了當時的人們對圖形的非凡了解;用數(shù)學(xué)的語言來說,就是表現(xiàn)了對空間中物體的二維映像的了解性芬。
（數(shù)與形由來已久，在舊石器時代就已經(jīng)產(chǎn)生剧防，在我們的數(shù)學(xué)課堂里面可以向?qū)W生介紹并附上圖片更加植锉。）
? ? 不過,直到從僅僅食物采集轉(zhuǎn)化到真正從事糧食生產(chǎn),從打獵捕魚真正進入到農(nóng)業(yè),人們對于數(shù)量和空間關(guān)系的了解才有了相當?shù)倪M步這種根本的改變,是一次人們對大自然的態(tài)度由被動變主動的革命,從此歷史進入了新石器時代。
（舊石器時代—新石器時代峭拘，數(shù)學(xué)有了本質(zhì)的變化汽煮，從現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念上去關(guān)注“數(shù)量關(guān)系”和“空間關(guān)系”兩個維度）
? ? 人類歷史上這一偉大事件大約發(fā)生在10000年以前,當時覆蓋在歐洲和亞洲的冰層開始融化,大地出現(xiàn)了森林和沙漠,人們尋找食物的游牧流浪也慢慢地結(jié)束了.大部分漁民和獵人被原始的農(nóng)民所取代,只要土地還夠肥沃,農(nóng)民就會停留在固定的地方人們
開始建造更為長久的住所,不久為了應(yīng)對氣候變化和敵人劫掠又產(chǎn)生了鄉(xiāng)村∨锼簦考古已經(jīng)發(fā)掘出許多這種新石器時代的定居所,出土
文物顯示出最初的手工業(yè)如制陶暇赤、木工和紡織是怎樣逐漸發(fā)展起來的.村民們用谷倉儲存余糧,就能夠?qū)Ω抖旌屠щy的時期。當
時的人們已經(jīng)會烤面包宵凌、釀啤酒,在新石器時代后期還會熔鑄黃銅鞋囊、青銅器具新發(fā)明出現(xiàn)了,特別是制陶的轉(zhuǎn)盤和車輪;船和住
所也改善了。不過所有這些非凡的創(chuàng)新只是發(fā)生在局部的地方,很少流傳到別的地方去瞎惫。例如美洲印第安人在白人剛到美洲時還并不了解車輪的技巧溜腐。雖然如此,與舊石器時代比起來,技術(shù)進步的節(jié)奏是大大地加快了译株。
（停留，建造房屋及相關(guān)用品挺益；有了交易促進了語言的發(fā)展及交際）
? ? ? 鄉(xiāng)村之間有著可觀的貿(mào)易往來,范圍之廣可以使相隔數(shù)百里的地方發(fā)生聯(lián)系.人們發(fā)現(xiàn)了熔化和制造的手藝,最初用黃銅,接著就有青銅的器具和兵械.這些強烈刺激了貿(mào)易活動,推動了語言的進一步形成,當然這些語言里的字表現(xiàn)的還是很具體的東西,抽象的內(nèi)容很少,但是已經(jīng)有些簡單的數(shù)字和圖形關(guān)系的詞匯了歉糜。許多大洋洲人、美洲人和非洲人的部落在與白人最初接觸的時期還
過著這樣的生活,有些部落現(xiàn)在仍舊生活在這樣的情形下.只要我們拋棄某些先入為主的偏見,就有可能去研究他們的生活習慣和
表達方式,從而在某種程度上了解他們望众。
二
? ? 數(shù)詞—如亞當斯密( Adam Smith)所說,可以表達某些“人類心智所能形成的最抽象的觀念——是慢慢地被使用起來的匪补。它們開始出現(xiàn)時是定性的而不是定量的,不過是一、二和多之間的區(qū)別烂翰。斐濟古語中十條船稱作"bola”,+個椰子稱作“koro”夯缺，一千個
子稱作“ saloro”數(shù)的概念的古代定性的起源,還能在某些語言中，如希臘語或凱爾特語( Celtic)中的一些特殊的雙字詞中看到蛛絲馬跡.當數(shù)的概念延伸后,后面的數(shù)首先由加法形成3是2加1,4是2加2,5是2加3甘耿。
? ? 這里還有一些來自澳大利亞人的例子
在默里河( Murray River)地區(qū):1=enea,2= petcheval,3=petcheval-enea, 4=petcheval-petcheval
在卡米拉羅易( Kamilaroi)地區(qū):1=mal踊兜，2=buan,.3= guliba，4=bulan bulan, 5=bulan guliba, 6= guliba guliba
? ? 手工品貿(mào)易的發(fā)展刺激了數(shù)的概念的具體化,數(shù)排列起來并組合成大的單位,人們常用的是一只手或兩只手的手指,貿(mào)易上這
是自然的方式佳恬。首先以五為進位基數(shù),后來以十為進位基數(shù),再加上加法或減法來完成計數(shù),如此12是10+2,9是10-1.有的時候手指和腳趾總共的數(shù)目20,也會被選為進位基數(shù)捏境。在易勒斯(W.C.Eels)所調(diào)查過的原始美洲人的307種計數(shù)法中,146種是十進位的,106種是五進位的或五和十進位的、二十進位的或五和二十進位的毁葱。墨西哥的瑪雅人和歐洲的凱爾特人用的就是最典型的二十進位系統(tǒng)垫言。
? ? ? 人們又用相同的重復(fù)計數(shù):木棍上的刻痕、繩子上的繩結(jié)头谜、把鵝卵石或貝殼五個擺成一堆這些做法很像舊時客店老板所用
的計數(shù)棍.從這樣計數(shù)到引進特殊的符號代表5,10,20等,只有一步之遙,而且我們發(fā)現(xiàn)在文字歷史開始時期,也就是在所謂文明的
黎明期,人們的確已經(jīng)使用符號了骏掀。
（刻痕計數(shù)比較普遍鸠澈，材質(zhì)一般為木頭或者獸骨柱告，優(yōu)點是易保存，缺點不宜攜帶笑陈，但是保存下來的足以證明本民族的悠久歷史文化）
? ? 使用計數(shù)棍最古老的例子之一可以遠溯于舊石器時代,是1937數(shù)年在摩拉維亞( Moravia)的韋斯托尼采( Vestonice)發(fā)現(xiàn)的,這是一根幼狼的骨頭,7英寸(1英寸=2.54厘米)長,刻著55道深刻痕际度，其中前25道是5道一組.隨后是單獨一道2倍長的刻痕作為這
系列的結(jié)束;然后又從一道2倍長的刻痕開始新的系列的30道刻痕『祝考古還發(fā)現(xiàn)了其他這樣有刻痕的計數(shù)棒乖菱。
? ? ? 于是我們就清楚了雅各布.格林(譯者注: Jakob Grimm,他與弟弟威廉·格林一起創(chuàng)作了《格林童話》,以格林兄弟而聞名)書里
所說并且被人們反復(fù)引用的話,“計數(shù)始于數(shù)手指”的古老說法是錯誤的。用手指計數(shù),也就是一五一十地計數(shù),只是在社會發(fā)展到一定階段才出現(xiàn)的蓬网。一旦到達這種程度,數(shù)就可以用一個基數(shù)表示出來,然后再由此構(gòu)成更大的數(shù)目窒所。于是開始了算術(shù)的原始形式,
14被表示為10+4,有的時候是15-1.當20不被表示為10+10,而是2×10的時候乘法就開始了,這種二重運算被視為加法和乘法之間的一種中間道路,被人們使用了幾千年,特別是在埃及和在印度河流域雅利安之前( pre-Aryan)的摩亨佐一達羅( Mohenjo-Daro)
文化中。除法的開始是當10被表示為“整體的一半”的時候,雖然那時有意識地構(gòu)成分數(shù)還是極其稀少的.例如在北美洲部落,人們
只發(fā)現(xiàn)了很少這種構(gòu)成的實例,并且?guī)缀跞慷际?/2,個別情況有1/3或1/4.一個奇特的現(xiàn)象是,當時人們非常喜愛很大的數(shù)目,這種喜愛或許是由夸大殺死敵人數(shù)量的合乎人情的欲望而刺激出來的;這種傾向的痕跡也出現(xiàn)在《圣經(jīng)》和其他宗教或非宗教的典籍里帆锋。
（這句話很有意思吵取，不管哪個年代的人都有很強烈的虛榮心，那個時代的人們是想通過自身創(chuàng)造的更大的數(shù)來證明自己更強大锯厢；如今的人們創(chuàng)造更大的數(shù)是為了掩蓋自己更虛偽皮官。）
三
? ? ? 以后丈量物體的長度和容積也成為必需,當時量度標準粗放,常常就以人體的某個部分作為標準,于是就出現(xiàn)了像一指脯倒、一腳
一拃這樣的單位。英語中的“ell”（譯者注:相當于45英寸,原字是臂肘意)捺氢、“fathom”(譯者注:約6英尺(1英尺=0.3048米)或8英尺長,原文是指兩臂伸直時兩手指尖之間的距離)藻丢、“cubit（譯者注:原文是指從肘至中指末端的長度)就顯示人們的這種習慣，建造房子時,如印第安的農(nóng)民或中歐高架房的居民,會用直尺擺在地上保持房子蓋直拐角成直角,英語里“ straight(直)”是與 stretch
(伸展)”有關(guān)系的,表示把繩子拉開摄乒；由"line(線)”到"linen(細麻布)則反映出編織的手藝和幾何學(xué)起源之間的關(guān)系.這是測量
需求進化的一種方式悠反。
（度量需要標準，而人的身體中的部分器官是最方便的工具缺狠。我覺得還因為大多數(shù)人身材差不多问慎，才選用手、腳來作為標準去度量挤茄。）
? ? ? 新石器時代的人們對于幾何圖形也逐漸產(chǎn)生了敏銳的感覺如叼。陶器的燒制和著色、燈芯草的編織穷劈、籃筐和衣料的編織以及后來金屬的制造都促使人們?nèi)チ私馄矫媾c空間的關(guān)系笼恰。舞蹈動作一定也起了相當?shù)淖饔茫率鲿r代的裝飾很樂于表現(xiàn)和諧歇终、對稱和相似數(shù)的關(guān)系也會出現(xiàn)在這種圖形中,就像某些史前圖形中就顯示了三角形的數(shù)字,還有的顯示了“神圣的”數(shù)字社证。
? ? ? 圖1-4是陶器、編織物或籃筐上出現(xiàn)的一些有趣的幾何圖形圖1的設(shè)計見于波西尼亞( Bosnia)新石器時代陶器和美索不達米亞( Mesopotamian)烏爾(Ur)時期的藝術(shù)品⊙圖2的裝飾圖案出自古埃及王朝統(tǒng)治前(約公元前4000前3500年)的埃及陶器评凝。圖3顯示的圖形是初期鐵器時代(中歐,約公元前1000—前500年)原南斯拉夫的盧布爾雅那( Ljubljana)附近的高架房居民所用的追葡。圖4的圖形中方形里填三角形,三角形里填圓形,是匈牙利肖普朗( Sopron)附近的墓葬出土的甕上的花紋,它顯示了構(gòu)造三角形數(shù)的努力,在后期的畢達哥拉斯數(shù)學(xué)中有著重要的作用.
（三角形數(shù)和其它形數(shù)都是有其歷史淵源的，正因為這些數(shù)背后的原因才能夠吸引無數(shù)的人喜歡上數(shù)學(xué)并開始研究它奕短。）
? ? ? 這類圖形在歷史上一直很流行宜肉。在米諾斯(Minoan)和早期希臘的雙瓶、后拜占庭和阿拉伯的鑲嵌細工翎碑、波斯和中國的掛毯上都能找到美麗的實例谬返。最初的早期圖形可能含有宗教或魔法的意義,后來其中的美學(xué)形象逐漸成為主流。在石器時代的宗教里我們可以體會到人們面對自然界日杈、面對社會結(jié)構(gòu)以及面對個人經(jīng)歷的初步嘗試,宗教儀式里大量充斥著我們現(xiàn)在認為是魔幻的內(nèi)容,而且這種魔幻的元素與當時數(shù)和形以及雕刻遣铝、音樂和繪畫中的觀念結(jié)合在一起.有的數(shù)(例如3,4,7)和有的圖形(如五角星和萬十字)被看作是有魔力的,有些學(xué)者甚至認為數(shù)學(xué)的這一方面正是數(shù)學(xué)發(fā)展中的決定因素,雖然數(shù)學(xué)的社會根源到當今時代已經(jīng)變得模糊不清,但在人類歷史的早期時代卻是相當明顯的.“近代的”數(shù)字學(xué)是來自新石器時代甚或舊石器時代巫術(shù)或神秘儀式的一件遺物。
四
? ? 即使在社會結(jié)構(gòu)離我們的科技文明很遙遠的部落中,也能發(fā)現(xiàn)人們在時間的計算上,與日莉擒、月酿炸、星辰運動的知識密切相關(guān)農(nóng)
業(yè)和商業(yè)發(fā)達一些以后,這一知識就增加了更多科學(xué)的成色。人類歷史很早的時候就開始使用陰歷,將植物生長的變化形式與月亮盈虧的變化聯(lián)系在一起.原始的人們也注意到冬至和夏至,還有黎明時昴宿星的升起.最早期文明的人類會利用他們遙遠的史前時代的天文學(xué)知識,還有的民族以星座作為航行的指南涨冀。從這種天文學(xué)人們得到了球填硕、角方向和圓的一些知識,甚至還有更加復(fù)雜圖形的知識。
（現(xiàn)在講究創(chuàng)新蝇裤，比如stem課程廷支，我覺得從數(shù)學(xué)發(fā)展的過程中可以去挖掘频鉴。因為數(shù)學(xué)發(fā)展的過程中離不開多學(xué)科的相輔相成，交錯影響恋拍。說到stem垛孔，再看到這里，國外的stem還是符合數(shù)學(xué)的本質(zhì)的施敢≈芗觯可是不去研究而只是為了一個名聲簡直就是嘩眾取寵。有些課程不是拿來就可以教的僵娃，需要有沉淀概作，需要研究，需要找到與自身相結(jié)合起來的點默怨，也就是自身實際情況讯榕，孩子的實際情況。）
? ? 近年來,人們更加注意史前石頭遺跡可能具有的天文和歷法意義匙睹，諸如英國大約公元前200年的巨石陣如果遺跡具有天文歷法意義,馬上就產(chǎn)生了一個問題這種天文的因此也就是數(shù)學(xué)的知識是怎樣從某一中心傳播過來的愚屁。這個中心也許是美索不達米亞(亦稱“兩河流域”)(彌漫說),或者具有本地生成的起源(這種觀點近來得到很多支持).美洲的文明發(fā)展似乎就獨立于歐洲文明和非洲文明,至少關(guān)聯(lián)很小。
五
? ? ? 以上數(shù)學(xué)開端的簡短展示表明,一種科學(xué)的歷史發(fā)展不一定會經(jīng)歷過我們現(xiàn)在在書本中所劃分的那些階段.人類所知道的一些最古老的幾何形狀比如繩結(jié)和圖案,只是在近年來才受到充分的科學(xué)關(guān)注痕檬。另一方面,數(shù)學(xué)的一些比較基礎(chǔ)的部分,例如圖表法
或初等統(tǒng)計學(xué),只開始于相對現(xiàn)代的時期霎槐。正如施派澤(A. Speiser)刻薄而略帶夸張的評論:
? ? 初等數(shù)學(xué)已經(jīng)有著顯著的日益冗長的趨向,這似乎是它所固有的,其實初等數(shù)學(xué)可能開始得很晚,因為開創(chuàng)性的數(shù)學(xué)家只偏愛去注意那些有趣而優(yōu)美的問題.
六
? ? ? 在此也許正該提到三個古老的數(shù)學(xué)文明,它們是米諾斯一邁錫尼( inoans-Mycenaeans)文明、瑪雅文明和印加文明,這些文明本身不乏精彩,卻對數(shù)學(xué)以后的發(fā)展少有影響梦谜。它們的科學(xué)不能算“初期的”科學(xué),而是屬于下一章要談到的古代東方科學(xué)丘跌。
? ? ? 人們在克里特島( Crete)和希臘大陸的米諾斯-邁錫尼文明的廢墟里發(fā)現(xiàn)了公務(wù)中使用的數(shù)學(xué)符號,這些符號出現(xiàn)在稱為A
類線形文字和B類線形文字的手跡里,屬于大約公元前1800—前1200年的時期數(shù)字表示和埃及一樣(當然符號不同)使用加的方
式,1,10.100,100各有特殊符號.另外還有簡單分數(shù)的符號,不全是單位分數(shù)。因為書寫者不曾烘烤他們書寫的泥板,保留下的只有
城市最后發(fā)生大火時受到烘烤的部分,我們對于這一文明的數(shù)學(xué)為知識程度的認識是不全的,它也許可以和埃及的數(shù)學(xué)相媲美.至
少我們知道荷馬( Homer)筆下的英雄中有能在泥板上做算術(shù)的抄寫員唁桩。
（偶然事件闭树，得以保存到現(xiàn)在靠著一把火）
? ? ? 中美洲的瑪雅文明,主要建立在現(xiàn)在的尤卡坦( Yucatan)和危地馬拉,持續(xù)了1500年之久,在大約公元200–900年的所謂經(jīng)典
時期達到高峰.瑪雅的算術(shù)主要解讀于非手寫的石刻遺跡、法典和西班牙的史籍.與他們的天文學(xué),特別是他們的歷法系統(tǒng)緊密相
關(guān)的是二十進位制(至今依然),用點表示從1到4,橫杠表示5到15的數(shù)目.對于更大的數(shù),他們使用以20為基的位置制,20的冪也用與20相同的符號也就是單位符號表示.用于歷法時則有一些修改這種位置體系需要表示0的符號,常常是一種貝殼或半睜眼符號.這一系統(tǒng)及其與歷法的聯(lián)系還流傳到中美洲的其他民族.大家認為在墨西哥城發(fā)現(xiàn)的著名阿茲特克(Aztecs）時期日歷石就是在11世紀末傳到這個地方的朵夏。
? ? 印加從13世紀中葉開始在南美的安第斯山脈中部和以西的地方建起了廣大的帝國,首都是庫斯科( Cuzco).帝國龐大的社會
制度在管理蔼啦、手工業(yè)和工程方面很強勢,在交流和信息上不使用書寫文字,使用一種結(jié)繩文字.結(jié)繩中最基本的是彩色棉或毛的一根主繩,與主繩相結(jié)的繩子上又結(jié)有成組的繩結(jié),各組間有一定距離榆纽。每組結(jié)的數(shù)目是1–9個,比如說,4個結(jié)的一組后面是2個結(jié)的
一組,然后是8個結(jié)的一組,就表示428.因此說這是一個位置系統(tǒng)仰猖，其中0表示為兩結(jié)間一段較大的距離。繩子的不同顏色表示不同物體:羊奈籽、士兵等;繩子的位置以及繩子所聯(lián)結(jié)的繩子,對于會“讀”結(jié)繩文字的記錄人來說,可能就是一段非常復(fù)雜的統(tǒng)計故事饥侵。
（結(jié)繩計數(shù)：1、結(jié)的位置很重要衣屏；2躏升、顏色不同表示的事物也不一樣；3狼忱、每一個結(jié)繩背后都有一個統(tǒng)計故事膨疏，現(xiàn)代人很難理解它們背后的故事一睁。
我們的數(shù)學(xué)課堂需要把這些有趣的故事講給學(xué)生們聽。不要總講知識佃却，說些道理者吁，可以改變形式，比如講點故事也是挺好的嘛饲帅。）
? ? ? 結(jié)繩文字里可能會有數(shù)百根結(jié)在一起的繩子,目前發(fā)現(xiàn)最大的一件垂有1800根繩子,可能表示的是軍人或工人的團隊.人們
只發(fā)現(xiàn)了400來件結(jié)繩,都是出土于墓葬,因為西班牙人曾將其視為邪惡而加以銷毀复凳。
? ? 這種結(jié)繩文字告訴我們,沒有書寫技藝也能具有發(fā)達的社會文明.巨石陣那樣的文化是否可能擁有現(xiàn)在已經(jīng)永遠失傳的類似
交流和存儲信息的方法?這些繩結(jié)得以保存是因為掩埋在沿太平洋的沙漠地區(qū),那些埋在不太干燥地區(qū)的就都丟失了。
