最長(zhǎng)回文串問(wèn)題是一個(gè)經(jīng)典的算法題麦箍。

0. 問(wèn)題定義

最長(zhǎng)回文子串問(wèn)題：給定一個(gè)字符串，求它的最長(zhǎng)回文子串長(zhǎng)度纤控。
如果一個(gè)字符串正著讀和反著讀是一樣的，那它就是回文串捌议。下面是一些回文串的實(shí)例：

12321    a    aba    abba    aaaa   tattarrattat（牛津英語(yǔ)詞典中最長(zhǎng)的回文單詞）

1. Brute-force解法

對(duì)于最長(zhǎng)回文子串問(wèn)題哼拔，最簡(jiǎn)單粗暴的辦法是：找到字符串的所有子串，遍歷每一個(gè)子串以驗(yàn)證它們是否為回文串瓣颅。一個(gè)子串由子串的起點(diǎn)和終點(diǎn)確定倦逐，因此對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)度為n的字符串，共有n^{2個(gè)子串宫补。這些子串的平均長(zhǎng)度大約是n/2檬姥，因此這個(gè)解法的時(shí)間復(fù)雜度是O(n}3)。

2. 改進(jìn)的方法

顯然所有的回文串都是對(duì)稱(chēng)的粉怕。長(zhǎng)度為奇數(shù)回文串以最中間字符的位置為對(duì)稱(chēng)軸左右對(duì)稱(chēng)健民，而長(zhǎng)度為偶數(shù)的回文串的對(duì)稱(chēng)軸在中間兩個(gè)字符之間的空隙∑侗矗可否利用這種對(duì)稱(chēng)性來(lái)提高算法效率呢秉犹？答案是肯定的。我們知道整個(gè)字符串中的所有字符稚晚，以及字符間的空隙崇堵，都可能是某個(gè)回文子串的對(duì)稱(chēng)軸位置】脱啵可以遍歷這些位置鸳劳，在每個(gè)位置上同時(shí)向左和向右擴(kuò)展，直到左右兩邊的字符不同也搓，或者達(dá)到邊界赏廓。對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)度為n的字符串，這樣的位置一共有n+n-1=2n-1個(gè)傍妒，在每個(gè)位置上平均大約要進(jìn)行n/4次字符比較幔摸，于是此算法的時(shí)間復(fù)雜度是O(n^2)。

3. Manacher 算法

對(duì)于一個(gè)比較長(zhǎng)的字符串颤练，O(n^2)的時(shí)間復(fù)雜度是難以接受的抚太。Can we do better?
先來(lái)看看解法2存在的缺陷。

1)由于回文串長(zhǎng)度的奇偶性造成了不同性質(zhì)的對(duì)稱(chēng)軸位置昔案，解法2要對(duì)兩種情況分別處理；

2)很多子串被重復(fù)多次訪問(wèn)电媳，造成較差的時(shí)間效率踏揣。

缺陷2）可以通過(guò)這個(gè)直觀的小??體現(xiàn)：

char: a b a b a
  i : 0 1 2 3 4```
當(dāng)i==1，和i==2時(shí)匾乓，左邊的子串a(chǎn)ba分別被遍歷了一次捞稿。
如果我們能改善**解法2**的不足，就很有希望能提高算法的效率。Manacher正是針對(duì)這些問(wèn)題改進(jìn)算法娱局。
**(1) 解決長(zhǎng)度奇偶性帶來(lái)的對(duì)稱(chēng)軸位置問(wèn)題彰亥。**
Manacher算法首先對(duì)字符串做一個(gè)預(yù)處理，在所有的空隙位置(包括首尾)插入同樣的符號(hào)衰齐，要求這個(gè)符號(hào)是不會(huì)在原串中出現(xiàn)的任斋。這樣會(huì)使得所有的串都是奇數(shù)長(zhǎng)度的。以插入#號(hào)為例：
```tex
aba  --->  #a#b#a#
abba --->  #a#b#b#a#

插入的是同樣的符號(hào)耻涛，且符號(hào)不存在于原串废酷，因此子串的回文性不受影響，原來(lái)是回文的串抹缕，插完之后還是回文的澈蟆，原來(lái)不是回文的，依然不會(huì)是回文卓研。
(2)解決重復(fù)訪問(wèn)的問(wèn)題趴俘。
我們把一個(gè)回文串中最左或最右位置的字符與其對(duì)稱(chēng)軸的距離稱(chēng)為回文半徑。Manacher定義了一個(gè)回文半徑數(shù)組RL奏赘，用RL[i]表示以第i個(gè)字符為對(duì)稱(chēng)軸的回文串的回文半徑寥闪。我們一般對(duì)字符串從左往右處理，因此這里定義RL[i]為第i個(gè)字符為對(duì)稱(chēng)軸的回文串的最右一個(gè)字符與字符i的距離志珍。對(duì)于上面插入分隔符之后的兩個(gè)串橙垢，可以得到RL數(shù)組：

char:    # a # b # a #
 RL :    1 2 1 4 1 2 1
RL-1:    0 1 0 3 0 1 0
  i :    0 1 2 3 4 5 6

char:    # a # b # b # a #
 RL :    1 2 1 2 5 2 1 2 1
RL-1:    0 1 0 1 4 1 0 1 0
  i :    0 1 2 3 4 5 6 7 8

上面我們還求了一下RL[i]-1。通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)伦糯，RL[i]-1的值柜某，正是在原本那個(gè)沒(méi)有插入過(guò)分隔符的串中，以位置i為對(duì)稱(chēng)軸的最長(zhǎng)回文串的長(zhǎng)度敛纲。那么只要我們求出了RL數(shù)組喂击，就能得到最長(zhǎng)回文子串的長(zhǎng)度。
于是問(wèn)題變成了淤翔，怎樣高效地求的RL數(shù)組翰绊。基本思路是利用回文串的對(duì)稱(chēng)性，擴(kuò)展回文串旁壮。
我們?cè)僖胍粋€(gè)輔助變量MaxRight监嗜，表示當(dāng)前訪問(wèn)到的所有回文子串，所能觸及的最右一個(gè)字符的位置抡谐。另外還要記錄下MaxRight對(duì)應(yīng)的回文串的對(duì)稱(chēng)軸所在的位置裁奇，記為pos，它們的位置關(guān)系如下麦撵。

1）當(dāng)i在MaxRight的左邊；

情況1)可以用下圖來(lái)刻畫(huà)：

step 1: RL[i] <--- min(RL[2*pos-i], MaxRight-i)
step 2: 以i為中心擴(kuò)展回文串，直到左右兩邊字符不同考婴，或者到達(dá)邊界贩虾。
step 3: 更新MaxRight和pos

2）當(dāng)i在MaxRight的右邊。

def manacher(s):
    #預(yù)處理
    s='#'+'#'.join(s)+'#'

    RL=[0]*len(s)
    MaxRight=0
    pos=0
    MaxLen=0
    for i in range(len(s)):
        if i<MaxRight:
            RL[i]=min(RL[2*pos-i], MaxRight-i)
        else:
            RL[i]=1
        #嘗試擴(kuò)展崇棠，注意處理邊界
        while i-RL[i]>=0 and i+RL[i]<len(s) and s[i-RL[i]]==s[i+RL[i]]:
            RL[i]+=1
        #更新MaxRight,pos
        if RL[i]+i-1>MaxRight:
            MaxRight=RL[i]+i-1
            pos=i
        #更新最長(zhǎng)回文串的長(zhǎng)度
        MaxLen=max(MaxLen, RL[i])
    return MaxLen-1

(4)復(fù)雜度分析
空間復(fù)雜度：插入分隔符形成新串咽袜，占用了線性的空間大小枕稀；RL數(shù)組也占用線性大小的空間询刹，因此空間復(fù)雜度是線性的。
時(shí)間復(fù)雜度：盡管代碼里面有兩層循環(huán)萎坷，通過(guò)amortized analysis我們可以得出凹联，Manacher的時(shí)間復(fù)雜度是線性的。由于內(nèi)層的循環(huán)只對(duì)尚未匹配的部分進(jìn)行哆档，因此對(duì)于每一個(gè)字符而言蔽挠，只會(huì)進(jìn)行一次，因此時(shí)間復(fù)雜度是O(n)瓜浸。

4. 更多關(guān)于回文串的fun facts（主要來(lái)自維基百科）

4.1 人們?cè)谝蛔麨楹諑?kù)蘭尼姆的古城遺跡中澳淑，找到了一個(gè)好玩的拉丁語(yǔ)回文串：sator arepo tenet opera rotas。翻譯成中文大概就是`一個(gè)叫做Arepo的播種者斟叼，他用力地扶（把）著車(chē)輪偶惠。這個(gè)串的每個(gè)單詞首字母剛好組成了第一個(gè)單詞，每個(gè)單詞的第二個(gè)字母剛好組成了第二個(gè)單詞...于是乎朗涩，如果寫(xiě)出醬紫忽孽，你會(huì)發(fā)現(xiàn)上下左右四個(gè)方向讀起來(lái)是一樣的。這個(gè)串被稱(chēng)為 Sator Square.

4.2 本文開(kāi)頭給出的單詞tattarrattat谢床，出現(xiàn)在愛(ài)爾蘭作家詹姆斯·喬伊斯的小說(shuō)《尤利西斯》兄一，是敲門(mén)的意思。吉尼斯紀(jì)錄的最長(zhǎng)回文英文單詞是detartrated识腿，是個(gè)化學(xué)術(shù)語(yǔ)出革。另外，還有些已出版的英文回文小說(shuō)（你們歪果仁真會(huì)玩）渡讼，比如Satire: Veritas骂束，Dr Awkward & Olson in Oslo等耳璧。

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2015.11.9 更新。

可以采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃展箱，列舉回文串的起點(diǎn)或者終點(diǎn)來(lái)解最長(zhǎng)回文串問(wèn)題旨枯，無(wú)需討論串長(zhǎng)度的奇偶性。
看下面的扎瓦代碼混驰，容易理解攀隔。

    public int longestPalindrome(String s) {
     int n=s.length();
     boolean[][] pal=new boolean[n][n];
     //pal[i][j] 表示s[i...j]是否是回文串
     int maxLen=0;
     for (int i=0;i<n;i++){  // i作為終點(diǎn)
         int j=i;    //j作為起點(diǎn)
         while (j>=0){
             if (s.charAt(j)==s.charAt(i)&&(i-j<2||pal[j+1][i-1])){
                 pal[j][i]=true;
                maxLen=Math.max(maxLen, i-j+1);
             }
             j--;
         }
     }
     return maxLen;
    }