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本文通過五個例子，介紹蒙特卡羅方法（Monte Carlo Method）。
一瞪浸、概述
蒙特卡羅方法是一種計算方法穿香。原理是通過大量隨機樣本才写，去了解一個系統(tǒng)驯用，進(jìn)而得到所要計算的值驼鞭。
它非常強大和靈活庶弃，又相當(dāng)簡單易懂衫贬，很容易實現(xiàn)。對于許多問題來說歇攻，它往往是最簡單的計算方法固惯，有時甚至是唯一可行的方法。
它誕生于上個世紀(jì)40年代美國的”曼哈頓計劃”缴守，名字來源于賭城蒙特卡羅葬毫，象征概率。
二屡穗、π的計算
第一個例子是贴捡，如何用蒙特卡羅方法計算圓周率π。
正方形內(nèi)部有一個相切的圓村砂，它們的面積之比是π/4烂斋。
現(xiàn)在，在這個正方形內(nèi)部，隨機產(chǎn)生10000個點（即10000個坐標(biāo)對 (x, y)）汛骂，計算它們與中心點的距離罕模，從而判斷是否落在圓的內(nèi)部。
如果這些點均勻分布帘瞭，那么圓內(nèi)的點應(yīng)該占到所有點的 π/4淑掌，因此將這個比值乘以4，就是π的值蝶念。通過R語言腳本隨機模擬30000個點抛腕，π的估算值與真實值相差0.07%。
三祸轮、積分的計算
上面的方法加以推廣兽埃，就可以計算任意一個積分的值。
比如适袜，計算函數(shù) y = x2 在 [0, 1] 區(qū)間的積分柄错，就是求出下圖紅色部分的面積。
這個函數(shù)在 (1,1) 點的取值為1苦酱，所以整個紅色區(qū)域在一個面積為1的正方形里面售貌。在該正方形內(nèi)部，產(chǎn)生大量隨機點疫萤，可以計算出有多少點落在紅色區(qū)域（判斷條件 y < x2）颂跨。這個比重就是所要求的積分值。
用Matlab模擬100萬個隨機點扯饶，結(jié)果為0.3328恒削。
四、交通堵塞
蒙特卡羅方法不僅可以用于計算尾序，還可以用于模擬系統(tǒng)內(nèi)部的隨機運動钓丰。下面的例子模擬單車道的交通堵塞。
根據(jù) Nagel-Schreckenberg 模型每币，車輛的運動滿足以下規(guī)則携丁。
當(dāng)前速度是 v 。
如果前面沒車兰怠，它在下一秒的速度會提高到 v + 1 梦鉴，直到達(dá)到規(guī)定的最高限速。
如果前面有車揭保，距離為d肥橙，且 d < v，那么它在下一秒的速度會降低到 d – 1 秸侣。
此外快骗，司機還會以概率 p 隨機減速娜庇， 將下一秒的速度降低到 v – 1 塔次。
在一條直線上方篮，隨機產(chǎn)生100個點，代表道路上的100輛車励负，另取概率 p 為 0.3 藕溅。
上圖中，橫軸代表距離（從左到右）继榆，縱軸代表時間（從上到下）巾表，因此每一行就表示下一秒的道路情況。
可以看到略吨，該模型會隨機產(chǎn)生交通擁堵（圖形上黑色聚集的部分）集币。這就證明了，單車道即使沒有任何原因翠忠，也會產(chǎn)生交通堵塞鞠苟。
五、產(chǎn)品厚度
某產(chǎn)品由八個零件堆疊組成秽之。也就是說当娱，這八個零件的厚度總和，等于該產(chǎn)品的厚度考榨。
已知該產(chǎn)品的厚度跨细，必須控制在27mm以內(nèi)，但是每個零件有一定的概率河质，厚度會超出誤差冀惭。請問有多大的概率，產(chǎn)品的厚度會超出27mm掀鹅？
取100000個隨機樣本散休，每個樣本有8個值，對應(yīng)8個零件各自的厚度淫半。計算發(fā)現(xiàn)溃槐，產(chǎn)品的合格率為99.9979%，即百萬分之21的概率科吭，厚度會超出27mm昏滴。
六、證券市場
證券市場有時交易活躍对人，有時交易冷清谣殊。下面是你對市場的預(yù)測。
如果交易冷清牺弄，你會以平均價11元姻几，賣出5萬股。
如果交易活躍，你會以平均價8元蛇捌，賣出10萬股抚恒。
如果交易溫和，你會以平均價10元络拌，賣出7.5萬股俭驮。
已知你的成本在每股5.5元到7.5元之間，平均是6.5元春贸。請問接下來的交易混萝，你的凈利潤會是多少？
取1000個隨機樣本萍恕，每個樣本有兩個數(shù)值：一個是證券的成本（5.5元到7.5元之間的均勻分布）逸嘀，另一個是當(dāng)前市場狀態(tài)（冷清、活躍允粤、溫和崭倘，各有三分之一可能）。
模擬計算得到维哈，平均凈利潤為92, 427美元绳姨。
七，參考鏈接
Introduction To Monte Carlo Methods阔挠，by Alex Woods
Monte Carlo Simulation Tutorial
蒙特卡羅（Monte Carlo）方法簡介飘庄，by 王曉勇
