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在求解機(jī)器學(xué)習(xí)算法的模型參數(shù)，即無約束優(yōu)化問題時(shí)爪膊，梯度下降（Gradient Descent）是最常采用的方法之一砸王，另一種常用的方法是最小二乘法谦铃。這里就對(duì)梯度下降法做一個(gè)完整的總結(jié)。

1. 梯度

在微積分里面瘪菌，對(duì)多元函數(shù)的參數(shù)求?偏導(dǎo)數(shù)师妙，把求得的各個(gè)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)以向量的形式寫出來屹培，就是梯度惫谤。比如函數(shù)f(x,y), 分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)數(shù)，求得的梯度向量就是(?f/?x,??f/?y)T,簡(jiǎn)稱grad f(x,y)或者▽f(x,y)若专。對(duì)于在點(diǎn)(x0,y0)的具體梯度向量就是(?f/?x0,??f/?y0)T.或者▽f(x0,y0)调衰，如果是3個(gè)參數(shù)的向量梯度嚎莉，就是(?f/?x,??f/?y沛豌，?f/?z)T,以此類推。

那么這個(gè)梯度向量求出來有什么意義呢跳芳？他的意義從幾何意義上講竹勉，就是函數(shù)變化增加最快的地方次乓。具體來說，對(duì)于函數(shù)f(x,y),在點(diǎn)(x0,y0)城看，沿著梯度向量的方向就是(?f/?x0,??f/?y0)T的方向是f(x,y)增加最快的地方析命。或者說完域，沿著梯度向量的方向瘩将，更加容易找到函數(shù)的最大值姿现。反過來說，沿著梯度向量相反的方向异旧，也就是 -(?f/?x0,??f/?y0)T的方向吮蛹，梯度減少最快潮针，也就是更加容易找到函數(shù)的最小值倚喂。

2. 梯度下降與梯度上升

　　　　在機(jī)器學(xué)習(xí)算法中，在最小化損失函數(shù)時(shí)带兜，可以通過梯度下降法來一步步的迭代求解刚照，得到最小化的損失函數(shù)喧兄，和模型參數(shù)值吠冤。反過來拯辙，如果我們需要求解損失函數(shù)的最大值，這時(shí)就需要用梯度上升法來迭代了诉濒。

　　　　梯度下降法和梯度上升法是可以互相轉(zhuǎn)化的未荒。比如我們需要求解損失函數(shù)f(θ)的最小值片排，這時(shí)我們需要用梯度下降法來迭代求解率寡。但是實(shí)際上倚搬，我們可以反過來求解損失函數(shù) -f(θ)的最大值潭枣，這時(shí)梯度上升法就派上用場(chǎng)了盆犁。

　　　　下面來詳細(xì)總結(jié)下梯度下降法谐岁。????????

3. 梯度下降法算法詳解

3.1 梯度下降的直觀解釋

　　　　首先來看看梯度下降的一個(gè)直觀的解釋榛臼。比如我們?cè)谝蛔笊缴系哪程幬恢门嫔疲捎谖覀儾恢涝趺聪律浇鸬螅谑菦Q定走一步算一步议薪，也就是在每走到一個(gè)位置的時(shí)候斯议，求解當(dāng)前位置的梯度哼御，沿著梯度的負(fù)方向恋昼，也就是當(dāng)前最陡峭的位置向下走一步，然后繼續(xù)求解當(dāng)前位置梯度衷笋，向這一步所在位置沿著最陡峭最易下山的位置走一步。這樣一步步的走下去吝秕，一直走到覺得我們已經(jīng)到了山腳空幻。當(dāng)然這樣走下去烁峭，有可能我們不能走到山腳，而是到了某一個(gè)局部的山峰低處秕铛。

　　　　從上面的解釋可以看出约郁，梯度下降不一定能夠找到全局的最優(yōu)解，有可能是一個(gè)局部最優(yōu)解但两。當(dāng)然鬓梅，如果損失函數(shù)是凸函數(shù)，梯度下降法得到的解就一定是全局最優(yōu)解谨湘。

3.2?梯度下降的相關(guān)概念

　　　　在詳細(xì)了解梯度下降的算法之前芥丧，我們先看看相關(guān)的一些概念。

　　　　1. 步長(zhǎng)（Learning rate）：步長(zhǎng)決定了在梯度下降迭代的過程中坊罢，每一步沿梯度負(fù)方向前進(jìn)的長(zhǎng)度续担。用上面下山的例子，步長(zhǎng)就是在當(dāng)前這一步所在位置沿著最陡峭最易下山的位置走的那一步的長(zhǎng)度活孩。

2.特征（feature）：指的是樣本中輸入部分物遇，比如2個(gè)單特征的樣本（x(0),y(0)）,（x(1),y(1)）（x(0),y(0)）,（x(1),y(1)）,則第一個(gè)樣本特征為x(0)x(0)，第一個(gè)樣本輸出為y(0)y(0)憾儒。

3. 假設(shè)函數(shù)（hypothesis function）：在監(jiān)督學(xué)習(xí)中挎挖，為了擬合輸入樣本，而使用的假設(shè)函數(shù)航夺，記為hθ(x)hθ(x)蕉朵。比如對(duì)于單個(gè)特征的m個(gè)樣本（x(i),y(i)）(i=1,2,...m)（x(i),y(i)）(i=1,2,...m),可以采用擬合函數(shù)如下：?hθ(x)=θ0+θ1xhθ(x)=θ0+θ1x。

4. 損失函數(shù)（loss function）：為了評(píng)估模型擬合的好壞阳掐，通常用損失函數(shù)來度量擬合的程度始衅。損失函數(shù)極小化，意味著擬合程度最好缭保，對(duì)應(yīng)的模型參數(shù)即為最優(yōu)參數(shù)汛闸。在線性回歸中，損失函數(shù)通常為樣本輸出和假設(shè)函數(shù)的差取平方艺骂。比如對(duì)于m個(gè)樣本（xi,yi）(i=1,2,...m)（xi,yi）(i=1,2,...m),采用線性回歸诸老，損失函數(shù)為：

J(θ0,θ1)=∑i=1m(hθ(xi)?yi)2J(θ0,θ1)=∑i=1m(hθ(xi)?yi)2

其中xixi表示第i個(gè)樣本特征，yiyi表示第i個(gè)樣本對(duì)應(yīng)的輸出钳恕，hθ(xi)hθ(xi)為假設(shè)函數(shù)别伏。

3.3?梯度下降的詳細(xì)算法

　　　　梯度下降法的算法可以有代數(shù)法和矩陣法（也稱向量法）兩種表示，如果對(duì)矩陣分析不熟悉忧额，則代數(shù)法更加容易理解厘肮。不過矩陣法更加的簡(jiǎn)潔，且由于使用了矩陣睦番，實(shí)現(xiàn)邏輯更加的一目了然类茂。這里先介紹代數(shù)法，后介紹矩陣法托嚣。

3.3.1?梯度下降法的代數(shù)方式描述

　　　　1. 先決條件： 確認(rèn)優(yōu)化模型的假設(shè)函數(shù)和損失函數(shù)巩检。

比如對(duì)于線性回歸，假設(shè)函數(shù)表示為hθ(x1,x2,...xn)=θ0+θ1x1+...+θnxnhθ(x1,x2,...xn)=θ0+θ1x1+...+θnxn, 其中θiθi?(i = 0,1,2... n)為模型參數(shù)示启，xixi?(i = 0,1,2... n)為每個(gè)樣本的n個(gè)特征值兢哭。這個(gè)表示可以簡(jiǎn)化，我們?cè)黾右粋€(gè)特征x0=1x0=1?丑搔，這樣hθ(x0,x1,...xn)=∑i=0nθixihθ(x0,x1,...xn)=∑i=0nθixi厦瓢。

　　　　同樣是線性回歸提揍，對(duì)應(yīng)于上面的假設(shè)函數(shù)，損失函數(shù)為：

J(θ0,θ1...,θn)=12m∑j=0m(hθ(x(j)0,x(j)1,...x(j)n)?yj)2J(θ0,θ1...,θn)=12m∑j=0m(hθ(x0(j),x1(j),...xn(j))?yj)2

2. 算法相關(guān)參數(shù)初始化：主要是初始化θ0,θ1...,θnθ0,θ1...,θn,算法終止距離εε以及步長(zhǎng)αα煮仇。在沒有任何先驗(yàn)知識(shí)的時(shí)候劳跃，我喜歡將所有的θθ初始化為0， 將步長(zhǎng)初始化為1浙垫。在調(diào)優(yōu)的時(shí)候再 優(yōu)化刨仑。

　　　　3. 算法過程：

1）確定當(dāng)前位置的損失函數(shù)的梯度，對(duì)于θiθi,其梯度表達(dá)式如下：

??θiJ(θ0,θ1...,θn)??θiJ(θ0,θ1...,θn)

2）用步長(zhǎng)乘以損失函數(shù)的梯度夹姥，得到當(dāng)前位置下降的距離杉武，即α??θiJ(θ0,θ1...,θn)α??θiJ(θ0,θ1...,θn)對(duì)應(yīng)于前面登山例子中的某一步。

3）確定是否所有的θiθi,梯度下降的距離都小于εε辙售，如果小于εε則算法終止轻抱，當(dāng)前所有的θiθi(i=0,1,...n)即為最終結(jié)果。否則進(jìn)入步驟4.

4）更新所有的θθ旦部，對(duì)于θiθi祈搜，其更新表達(dá)式如下。更新完畢后繼續(xù)轉(zhuǎn)入步驟1.

θi=θi?α??θiJ(θ0,θ1...,θn)θi=θi?α??θiJ(θ0,θ1...,θn)

下面用線性回歸的例子來具體描述梯度下降士八。假設(shè)我們的樣本是(x(0)1,x(0)2,...x(0)n,y0),(x(1)1,x(1)2,...x(1)n,y1),...(x(m)1,x(m)2,...x(m)n,ym)(x1(0),x2(0),...xn(0),y0),(x1(1),x2(1),...xn(1),y1),...(x1(m),x2(m),...xn(m),ym),損失函數(shù)如前面先決條件所述：

J(θ0,θ1...,θn)=12m∑j=0m(hθ(x(j)0,x(j)1,...x(j)n)?yj)2J(θ0,θ1...,θn)=12m∑j=0m(hθ(x0(j),x1(j),...xn(j))?yj)2容燕。

則在算法過程步驟1中對(duì)于θiθi?的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算如下：

??θiJ(θ0,θ1...,θn)=1m∑j=0m(hθ(x(j)0,x(j)1,...x(j)n)?yj)x(j)i??θiJ(θ0,θ1...,θn)=1m∑j=0m(hθ(x0(j),x1(j),...xn(j))?yj)xi(j)

由于樣本中沒有x0x0上式中令所有的xj0x0j為1.

步驟4中θiθi的更新表達(dá)式如下：

θi=θi?α1m∑j=0m(hθ(x(j)0,x(j)1,...xjn)?yj)x(j)iθi=θi?α1m∑j=0m(hθ(x0(j),x1(j),...xnj)?yj)xi(j)

從這個(gè)例子可以看出當(dāng)前點(diǎn)的梯度方向是由所有的樣本決定的，加1m1m?是為了好理解婚度。由于步長(zhǎng)也為常數(shù)蘸秘，他們的乘機(jī)也為常數(shù)，所以這里α1mα1m可以用一個(gè)常數(shù)表示蝗茁。

　　　　在下面第4節(jié)會(huì)詳細(xì)講到的梯度下降法的變種醋虏，他們主要的區(qū)別就是對(duì)樣本的采用方法不同。這里我們采用的是用所有樣本评甜。

3.3.2 梯度下降法的矩陣方式描述

　　　　這一部分主要講解梯度下降法的矩陣方式表述灰粮，相對(duì)于3.3.1的代數(shù)法，要求有一定的矩陣分析的基礎(chǔ)知識(shí)忍坷，尤其是矩陣求導(dǎo)的知識(shí)。

1. 先決條件： 和3.3.1類似熔脂， 需要確認(rèn)優(yōu)化模型的假設(shè)函數(shù)和損失函數(shù)佩研。對(duì)于線性回歸，假設(shè)函數(shù)hθ(x1,x2,...xn)=θ0+θ1x1+...+θnxnhθ(x1,x2,...xn)=θ0+θ1x1+...+θnxn的矩陣表達(dá)方式為：

hθ(x)=Xθhθ(x)=Xθ?霞揉，其中旬薯， 假設(shè)函數(shù)hθ(X)hθ(X)為mx1的向量,θθ為(n+1)x1的向量，里面有n個(gè)代數(shù)法的模型參數(shù)适秩。XX為mx(n+1)維的矩陣绊序。m代表樣本的個(gè)數(shù)硕舆，n+1代表樣本的特征數(shù)。

損失函數(shù)的表達(dá)式為：J(θ)=12(Xθ?Y)T(Xθ?Y)J(θ)=12(Xθ?Y)T(Xθ?Y), 其中YY是樣本的輸出向量骤公，維度為mx1.

2.?算法相關(guān)參數(shù)初始化:?θθ向量可以初始化為默認(rèn)值抚官，或者調(diào)優(yōu)后的值。算法終止距離εε阶捆，步長(zhǎng)αα和3.3.1比沒有變化凌节。

　　　　3.?算法過程：

1）確定當(dāng)前位置的損失函數(shù)的梯度，對(duì)于θθ向量,其梯度表達(dá)式如下：

??θJ(θ)??θJ(θ)

2）用步長(zhǎng)乘以損失函數(shù)的梯度洒试，得到當(dāng)前位置下降的距離倍奢，即α??θJ(θ)α??θJ(θ)對(duì)應(yīng)于前面登山例子中的某一步。

3）確定θθ向量里面的每個(gè)值,梯度下降的距離都小于εε垒棋，如果小于εε則算法終止卒煞，當(dāng)前θθ向量即為最終結(jié)果。否則進(jìn)入步驟4.

4）更新θθ向量叼架，其更新表達(dá)式如下跷坝。更新完畢后繼續(xù)轉(zhuǎn)入步驟1.

θ=θ?α??θJ(θ)θ=θ?α??θJ(θ)

　　　　還是用線性回歸的例子來描述具體的算法過程。

損失函數(shù)對(duì)于θθ向量的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算如下：

??θJ(θ)=XT(Xθ?Y)??θJ(θ)=XT(Xθ?Y)

步驟4中θθ向量的更新表達(dá)式如下：θ=θ?αXT(Xθ?Y)θ=θ?αXT(Xθ?Y)

　　　　對(duì)于3.3.1的代數(shù)法碉碉，可以看到矩陣法要簡(jiǎn)潔很多柴钻。這里面用到了矩陣求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t，和兩個(gè)矩陣求導(dǎo)的公式垢粮。

公式1：??X(XXT)=2X??X(XXT)=2X

公式2：??θ(Xθ)=XT??θ(Xθ)=XT

　　　　如果需要熟悉矩陣求導(dǎo)建議參考張賢達(dá)的《矩陣分析與應(yīng)用》一書贴届。

3.4?梯度下降的算法調(diào)優(yōu)

　　　　在使用梯度下降時(shí)，需要進(jìn)行調(diào)優(yōu)蜡吧。哪些地方需要調(diào)優(yōu)呢毫蚓？

　　　　1. 算法的步長(zhǎng)選擇。在前面的算法描述中昔善，我提到取步長(zhǎng)為1元潘，但是實(shí)際上取值取決于數(shù)據(jù)樣本，可以多取一些值君仆，從大到小翩概，分別運(yùn)行算法，看看迭代效果返咱，如果損失函數(shù)在變小钥庇，說明取值有效，否則要增大步長(zhǎng)咖摹。前面說了评姨。步長(zhǎng)太大，會(huì)導(dǎo)致迭代過快萤晴，甚至有可能錯(cuò)過最優(yōu)解吐句。步長(zhǎng)太小胁后，迭代速度太慢，很長(zhǎng)時(shí)間算法都不能結(jié)束嗦枢。所以算法的步長(zhǎng)需要多次運(yùn)行后才能得到一個(gè)較為優(yōu)的值攀芯。

　　　　2. 算法參數(shù)的初始值選擇。?初始值不同净宵，獲得的最小值也有可能不同敲才，因此梯度下降求得的只是局部最小值；當(dāng)然如果損失函數(shù)是凸函數(shù)則一定是最優(yōu)解择葡。由于有局部最優(yōu)解的風(fēng)險(xiǎn)紧武，需要多次用不同初始值運(yùn)行算法，關(guān)鍵損失函數(shù)的最小值敏储，選擇損失函數(shù)最小化的初值阻星。

3.歸一化。由于樣本不同特征的取值范圍不一樣已添，可能導(dǎo)致迭代很慢妥箕，為了減少特征取值的影響，可以對(duì)特征數(shù)據(jù)歸一化更舞，也就是對(duì)于每個(gè)特征x畦幢，求出它的期望xˉˉˉxˉ和標(biāo)準(zhǔn)差std(x)，然后轉(zhuǎn)化為：

x?xˉˉˉstd(x)x?xˉstd(x)

　　　　這樣特征的新期望為0缆蝉，新方差為1宇葱，迭代次數(shù)可以大大加快。

4. 梯度下降法大家族（BGD刊头，SGD黍瞧，MBGD）

4.1 批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）

　　　　批量梯度下降法，是梯度下降法最常用的形式原杂，具體做法也就是在更新參數(shù)時(shí)使用所有的樣本來進(jìn)行更新印颤，這個(gè)方法對(duì)應(yīng)于前面3.3.1的線性回歸的梯度下降算法，也就是說3.3.1的梯度下降算法就是批量梯度下降法穿肄。

θi=θi?α∑j=0m(hθ(x(j)0,x(j)1,...x(j)n)?yj)x(j)iθi=θi?α∑j=0m(hθ(x0(j),x1(j),...xn(j))?yj)xi(j)

　　　　由于我們有m個(gè)樣本年局，這里求梯度的時(shí)候就用了所有m個(gè)樣本的梯度數(shù)據(jù)。

4.2?隨機(jī)梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）

　　　　隨機(jī)梯度下降法被碗，其實(shí)和批量梯度下降法原理類似某宪，區(qū)別在與求梯度時(shí)沒有用所有的m個(gè)樣本的數(shù)據(jù)，而是僅僅選取一個(gè)樣本j來求梯度锐朴。對(duì)應(yīng)的更新公式是：

θi=θi?α(hθ(x(j)0,x(j)1,...x(j)n)?yj)x(j)iθi=θi?α(hθ(x0(j),x1(j),...xn(j))?yj)xi(j)

　　　　隨機(jī)梯度下降法，和4.1的批量梯度下降法是兩個(gè)極端蔼囊，一個(gè)采用所有數(shù)據(jù)來梯度下降焚志，一個(gè)用一個(gè)樣本來梯度下降衣迷。自然各自的優(yōu)缺點(diǎn)都非常突出。對(duì)于訓(xùn)練速度來說酱酬，隨機(jī)梯度下降法由于每次僅僅采用一個(gè)樣本來迭代壶谒，訓(xùn)練速度很快，而批量梯度下降法在樣本量很大的時(shí)候膳沽，訓(xùn)練速度不能讓人滿意汗菜。對(duì)于準(zhǔn)確度來說，隨機(jī)梯度下降法用于僅僅用一個(gè)樣本決定梯度方向挑社，導(dǎo)致解很有可能不是最優(yōu)陨界。對(duì)于收斂速度來說，由于隨機(jī)梯度下降法一次迭代一個(gè)樣本痛阻，導(dǎo)致迭代方向變化很大菌瘪，不能很快的收斂到局部最優(yōu)解。

　　　　那么阱当，有沒有一個(gè)中庸的辦法能夠結(jié)合兩種方法的優(yōu)點(diǎn)呢俏扩？有！這就是4.3的小批量梯度下降法弊添。

4.3?小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent）

　　小批量梯度下降法是批量梯度下降法和隨機(jī)梯度下降法的折衷录淡，也就是對(duì)于m個(gè)樣本，我們采用x個(gè)樣子來迭代油坝，1

θi=θi?α∑j=tt+x?1(hθ(x(j)0,x(j)1,...x(j)n)?yj)x(j)iθi=θi?α∑j=tt+x?1(hθ(x0(j),x1(j),...xn(j))?yj)xi(j)

5. 梯度下降法和其他無約束優(yōu)化算法的比較

　　　　在機(jī)器學(xué)習(xí)中的無約束優(yōu)化算法嫉戚，除了梯度下降以外，還有前面提到的最小二乘法免钻，此外還有牛頓法和擬牛頓法彼水。

　　　　梯度下降法和最小二乘法相比，梯度下降法需要選擇步長(zhǎng)极舔，而最小二乘法不需要凤覆。梯度下降法是迭代求解，最小二乘法是計(jì)算解析解拆魏。如果樣本量不算很大盯桦，且存在解析解，最小二乘法比起梯度下降法要有優(yōu)勢(shì)渤刃，計(jì)算速度很快拥峦。但是如果樣本量很大，用最小二乘法由于需要求一個(gè)超級(jí)大的逆矩陣卖子，這時(shí)就很難或者很慢才能求解解析解了略号，使用迭代的梯度下降法比較有優(yōu)勢(shì)。

　　　　梯度下降法和牛頓法/擬牛頓法相比，兩者都是迭代求解玄柠，不過梯度下降法是梯度求解突梦，而牛頓法/擬牛頓法是用二階的海森矩陣的逆矩陣或偽逆矩陣求解。相對(duì)而言羽利，使用牛頓法/擬牛頓法收斂更快宫患。但是每次迭代的時(shí)間比梯度下降法長(zhǎng)。