【線(xiàn)性代數(shù)學(xué)習(xí)筆記（二）】矩陣乘法的幾何意義

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1. 基的變換

1.1. 矩陣映射法則——基的變換

1.2. 基變換的一個(gè)實(shí)例——旋轉(zhuǎn)矩陣

2. 點(diǎn)積——向新基的投影

矩陣函數(shù)是一個(gè)向量空間向另一個(gè)向量空間的映射

例（一）

$A= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \quad x= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \quad y= \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}$

$Ax=y$

則為從 $\mathbb{R}^2 \Rightarrow \mathbb{R}^2$

例（二）

$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}$

則為從 $\mathbb{R}^2 \Rightarrow \mathbb{R}^3$

1. 基的變換

1.1. 矩陣映射法則——基的變換

在 $\mathbb{R}^2$ 的向量空間中惫撰，它的自然基（笛卡爾坐標(biāo)系）為：

$\vec i=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\quad \vec j=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

令 $A=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

自然基下向量 $a=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}=1 \vec i+1 \vec j$

則 $Aa=b$ 根據(jù)矩陣乘法

$Aa= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} =b$

為了看起來(lái)更清晰夺欲，我們令

$\vec c_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \vec c_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$

則 $A=[\vec c_1 \quad \vec c_2]$ ，因此 $Aa=b$ 可以表示成以下形式：

$a = 1 \vec i + \vec j \quad \begin{matrix} A \\ \rightarrow \end{matrix} \quad b = 1 \vec c_1 + 1 \vec c_2$

從上面很容易能看出靶衍，這個(gè)矩陣的乘法規(guī)則就是：保持系數(shù)不變带欢，但是自然基被矩陣列向量給替換了

從幾何上感受一下

再將向量用自然基表示

整體來(lái)說(shuō)漩绵，就是基改變泉粉，導(dǎo)致向量的坐標(biāo)發(fā)生變化：

1.2. 基變換的一個(gè)實(shí)例——旋轉(zhuǎn)矩陣

通過(guò)旋轉(zhuǎn)矩陣 $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$ 膨俐，可以讓 $\mathbb{R}^2$ 中的x旋轉(zhuǎn) $\theta$ 角得到y(tǒng)

來(lái)理解一下旋轉(zhuǎn)矩陣是怎么做到的

單位圓中，與x軸夾角為 $\theta$ 的向量表示如下：

則

再看看另一個(gè)正交向量的旋轉(zhuǎn)

根據(jù)三角公式有

$\begin{cases} -\sin\theta = \cos(\frac \pi2 + \theta) \\ \cos\theta = \sin(\frac \pi2 + \theta) \end{cases}$

則向量 $\begin{bmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \end{bmatrix}$ 表示的是有y軸夾角為 $\theta$ 的向量归薛，則

結(jié)合之前對(duì)映射法則的講解，就可以理解旋轉(zhuǎn)矩陣了：

旋轉(zhuǎn)矩陣的原理，就是通過(guò)旋轉(zhuǎn)基來(lái)實(shí)現(xiàn)的

2. 點(diǎn)積——向新基的投影

還是使用上面用到的例子

$A=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \quad a=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

令 $\vec c_1 = [1 \quad -1 ]$ 主籍， $\vec c_2 = [1 \quad 1 ]$ 习贫，則 $A=\begin{bmatrix} - \vec c_1 - \\ - \vec c_2 - \end{bmatrix}$

則

$Aa= \begin{bmatrix} - \vec c_1 - \\ - \vec c_2 - \end{bmatrix} [\vec a] = \begin{bmatrix} \vec c_1 \vec a \\ \vec c_2 \vec a \end{bmatrix}$

而我們知道，兩個(gè)向量之間的點(diǎn)積運(yùn)算規(guī)則為：

$\vec a · \vec b = |\vec a|·|\vec b|·\cos<\vec a,\vec b>$

即千元， $\vec a$ 的長(zhǎng)度與 $\vec b$ 在 $\vec a$ 上的投影長(zhǎng)度的乘積

從幾何上感受一下

因此苫昌，從點(diǎn)積的角度來(lái)理解矩陣乘法的幾何意義為（這里只討論矩陣左乘，即為 $Ax$ 形式的矩陣乘法）：

將 $m\times n$ 的矩陣A看作是 $m$ 個(gè) $n$ 維行向量幸海，這就是新的基祟身，然后將一個(gè)在自然基下的 $n$ 維向量 $x$ 向這個(gè)新基“投影”（分別向新基的 $m$ 個(gè)基向量“投影”，注意這里的“投影”與我們通常所說(shuō)的投影有些不同：投影后還要將兩者的長(zhǎng)度相乘）物独，得到這個(gè)向量在新基張成的向量空間的新坐標(biāo) $y$

參考資料：

(1) 微信公眾號(hào)·馬同學(xué)高等數(shù)學(xué)《圖解線(xiàn)性代數(shù)》

(2) 馬同學(xué)《如何理解矩陣乘法袜硫？》

最后編輯于：2019.06.19 12:43:24

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