第30課奇異值分解

奇異值分解：簡(jiǎn)稱 $SVD$ 堂氯，是矩陣最終和最好的分解蔑担，分解的因子是正交矩陣，對(duì)角矩陣咽白，正交矩陣啤握，任意矩陣都有這種奇異值分解

對(duì)稱正定矩陣性質(zhì)，由于對(duì)稱晶框，它們的特征向量是正交的
$\begin{eqnarray} A=Q\Lambda Q^T \tag{1}\\ A=S\Lambda S^{-1} \tag{2} \end{eqnarray}$
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=S" alt="S" mathimg="1">不正交排抬，所以不研究這種情況

$(1)$ 式分解是怎么來的？該分解說明什么三妈？

在行空間中找個(gè)典型向量 $\vec {v_1}$ 畜埋，然后變換到列空間的某向量 $\vec{u_1}$ ，所以 $u_1=Av_1$

行空間中的一個(gè)向量變換到列空間的某處畴蒲，要找到行空間的一組正交基悠鞍，變換到列空間一組正交基

首先在行空間找到一組正交基，通過格接姆-施密特正交法
$A\begin{bmatrix}v_1&v_2&\dots&v_r\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}u_1&u_2&\dots&u_r\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\sigma_1&&&\\&\sigma_2&&\\&&\ddots&\\&&&\sigma_r\end{bmatrix}$

$A=\begin{bmatrix}4&4\\-3&3\end{bmatrix}$

$v$ 與 $u$ 標(biāo)準(zhǔn)正交， $\sigma$ 為縮放因子咖祭，是需要求的

如果零空間存在掩宜，找出一組基
$目標(biāo)\begin{cases}Av_1=\sigma_1u_1\\Av_2=\sigma_2u_2\end{cases} \\ \begin{eqnarray} Av=u\varepsilon \to A=u\varepsilon v^{-1}=u\varepsilon v^T \tag{3} \end{eqnarray}\\ \underbrace{B=A^TA}_{對(duì)稱且正定}= \overbrace{v\underbrace{\varepsilon^T}_{對(duì)角陣}u^T}^{A^T} \overbrace{u\underbrace{\varepsilon}_{對(duì)角陣} v^T}^{A} = v\varepsilon^2v^T = \underbrace{v}_{特征向量} \underbrace{\begin{bmatrix}\sigma_1^2&&\\&\ddots&\\&&\sigma_r^2\end{bmatrix}}_{特征值} \underbrace{v^T}_{特征向量} = Q\Lambda Q^T \\ \to A^TA = Q\Lambda Q^T\\ v是B的特征向量$
如何找出 $u$ ？
$\begin{eqnarray} C=AA^T=u\varepsilon v^Tv\varepsilon^Tu^T = u\varepsilon^2u^T= \underbrace{u}_{特征向量} \underbrace{\begin{bmatrix}\sigma_1^2&&\\&\ddots&\\&&\sigma_r^2\end{bmatrix}}_{特征值} \underbrace{u^T}_{特征向量} \tag{4} \end{eqnarray}\\ u是C的特征向量$

$A^TA = \begin{bmatrix}4&-3\\4&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4&4\\-3&3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}25&7\\7&25\end{bmatrix} = B$
$B$ 的特征向量：
$v_1=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, v_2=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} 單位化 \to \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$

$Bv_1=\lambda_1v_1 \to \begin{bmatrix}25&7\\7&25\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} = \lambda_1\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}25+7=32\\7+25=32\end{bmatrix} = 32\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} \to \lambda_1=32\\ Bv_2=\lambda_2v_2 \to \begin{bmatrix}25&7\\7&25\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}= \lambda_2\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}25-7=18\\7-25=-18\end{bmatrix} = 18\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} \to \lambda_2=18$

$A=u\varepsilon v^T = \underbrace{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}_{u} {\underbrace{\begin{bmatrix}\sqrt{32}&0\\0&\sqrt{18}\end{bmatrix}}_{\varepsilon}}^2 \underbrace{ \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} }_{v^T}$

$AA^T=\begin{bmatrix}4&4\\-3&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4&-3\\4&3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}32&0\\0&18\end{bmatrix} = C$

因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=AB" alt="AB" mathimg="1">與 $BA$ 的特征值相同 , $C$ 的特征值特征 $\lambda_1=32,\lambda_2=18$
$代入(4)式得 \to \begin{bmatrix}32&0\\0&18\end{bmatrix} = u\begin{bmatrix}32&0\\0&18\end{bmatrix}u^T$

例2

待補(bǔ)么翰。牺汤。。

以上2個(gè)例子總結(jié)：

在線性代數(shù) 的4 個(gè)子空間中選出合適的基浩嫌，

$v_1到v_r$ 檐迟，是行空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基(維數(shù)是秩 $r$ )

$u_1到u_r$ ，是列空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基(維數(shù)是秩 $r$ )

然后用 $v_{r+1}到v_n$ 码耐，它們是零空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基(維數(shù) $n-r$ )

$u_{r+1}到u_m$ 追迟，它們是 $A^T$ 零空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基(維數(shù)m-r)

然后需要用到特征值，因?yàn)檫@些基使得矩陣 $A$ 對(duì)角化骚腥，并且 $Av_i=\sigma_iu_i$ 敦间，當(dāng)我們選擇基的時(shí)候，向量 $v$ 之間沒有耦合的束铭， $u$ 中也沒有耦合的廓块， $A$ 乘以每個(gè) $v$ 對(duì)應(yīng)一個(gè) $u$ 的方向，因此契沫，它們是這四個(gè)基本子空間的合適的基

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請(qǐng)聯(lián)系作者

人面猴
序言：七十年代末带猴，一起剝皮案震驚了整個(gè)濱河市，隨后出現(xiàn)的幾起案子懈万，更是在濱河造成了極大的恐慌浓利，老刑警劉巖，帶你破解...
沈念sama閱讀 218,525評(píng)論 6贊 507
死咒
序言：濱河連續(xù)發(fā)生了三起死亡事件钞速，死亡現(xiàn)場(chǎng)離奇詭異，居然都是意外死亡嫡秕，警方通過查閱死者的電腦和手機(jī)渴语，發(fā)現(xiàn)死者居然都...
沈念sama閱讀 93,203評(píng)論 3贊 395
救了他兩次的神仙讓他今天三更去死
文/潘曉璐我一進(jìn)店門，熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來昆咽，“玉大人驾凶，你說我怎么就攤上這事≈佬铮” “怎么了调违？”我有些...
開封第一講書人閱讀 164,862評(píng)論 0贊 354
道士緝兇錄：失蹤的賣姜人
文/不壞的土叔我叫張陵，是天一觀的道長(zhǎng)泻轰。經(jīng)常有香客問我技肩，道長(zhǎng)，這世上最難降的妖魔是什么浮声？我笑而不...
開封第一講書人閱讀 58,728評(píng)論 1贊 294
?港島之戀（遺憾婚禮）
正文為了忘掉前任虚婿，我火速辦了婚禮旋奢，結(jié)果婚禮上，老公的妹妹穿的比我還像新娘然痊。我一直安慰自己至朗，他們只是感情好，可當(dāng)我...
茶點(diǎn)故事閱讀 67,743評(píng)論 6贊 392
惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來的
文/花漫我一把揭開白布剧浸。她就那樣靜靜地躺著锹引，像睡著了一般。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪唆香。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上嫌变，一...
開封第一講書人閱讀 51,590評(píng)論 1贊 305
城市分裂傳說
那天，我揣著相機(jī)與錄音袋马，去河邊找鬼初澎。笑死，一個(gè)胖子當(dāng)著我的面吹牛虑凛，可吹牛的內(nèi)容都是我干的碑宴。我是一名探鬼主播，決...
沈念sama閱讀 40,330評(píng)論 3贊 418
雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開眼桑谍，長(zhǎng)吁一口氣：“原來是場(chǎng)噩夢(mèng)啊……” “哼延柠！你這毒婦竟也來了？” 一聲冷哼從身側(cè)響起锣披，我...
開封第一講書人閱讀 39,244評(píng)論 0贊 276
萬榮殺人案實(shí)錄
序言：老撾萬榮一對(duì)情侶失蹤贞间，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎，沒想到半個(gè)月后雹仿，有當(dāng)?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體增热，經(jīng)...
沈念sama閱讀 45,693評(píng)論 1贊 314
?護(hù)林員之死
正文獨(dú)居荒郊野嶺守林人離奇死亡，尸身上長(zhǎng)有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
茶點(diǎn)故事閱讀 37,885評(píng)論 3贊 336
?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年胧辽，在試婚紗的時(shí)候發(fā)現(xiàn)自己被綠了峻仇。大學(xué)時(shí)的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片。...
茶點(diǎn)故事閱讀 40,001評(píng)論 1贊 348
活死人
序言：一個(gè)原本活蹦亂跳的男人離奇死亡邑商，死狀恐怖摄咆，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出，到底是詐尸還是另有隱情人断，我是刑警寧澤吭从，帶...
沈念sama閱讀 35,723評(píng)論 5贊 346
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布，位于F島的核電站恶迈，受9級(jí)特大地震影響涩金，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏。R本人自食惡果不足惜，卻給世界環(huán)境...
茶點(diǎn)故事閱讀 41,343評(píng)論 3贊 330
男人毒藥：我在死后第九天來索命
文/蒙蒙一鸭廷、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望枣抱。院中可真熱鬧，春花似錦辆床、人聲如沸佳晶。這莊子的主人今日做“春日...
開封第一講書人閱讀 31,919評(píng)論 0贊 22
一樁弒父案讼载，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽轿秧。三九已至，卻和暖如春咨堤，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間菇篡，已是汗流浹背。一陣腳步聲響...
開封第一講書人閱讀 33,042評(píng)論 1贊 270
情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國(guó)打工一喘，沒想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留驱还，地道東北人。一個(gè)月前我還...
沈念sama閱讀 48,191評(píng)論 3贊 370
代替公主和親
正文我出身青樓凸克，卻偏偏與公主長(zhǎng)得像议蟆，于是被迫代替她去往敵國(guó)和親。傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子萎战，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 44,955評(píng)論 2贊 355

第30課 奇異值分解

推薦閱讀更多精彩內(nèi)容

第30課奇異值分解