為什么0.1+0.2=0.30000000000000004

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問題

在計(jì)算機(jī)的世界里，可能有很多常人無法理解的事情劣挫。比如 0.1 + 0.2 = ？东帅。來压固，告訴我你的答案。

有的朋友看到這就迫不及待的說靠闭，這么簡單的問題帐我，很明顯等于 0.3 啊，小學(xué)生都會(huì)算的好伐阎毅。你這是在侮辱我的智商焚刚？

好吧，我來告訴你一個(gè)打臉的事實(shí)扇调，0.1 + 0.2 還真不等于 0.3 。先別急著反駁我抢肛。

打開你的任意一個(gè)瀏覽器（我用chrome做演示）狼钮，F(xiàn)12打開console控制臺(tái)，輸入 console.log(0.1 + 0.2) 捡絮。如果你操作正確的話熬芜，你會(huì)看到以下的結(jié)果。

file

是不是感覺匪夷所思福稳，what涎拉？為什么結(jié)果是0.30000000000000004，這是神魔鬼的圆？難道鼓拧，我這么多年學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，老師教的都是錯(cuò)的越妈？

別著急季俩。其實(shí)，你的老師教的沒錯(cuò)梅掠，在我們的世界中酌住，0.1 + 0.2 確實(shí)是等于 0.3 的店归。但是，在計(jì)算機(jī)中酪我，可就不是這么一回事了消痛。待我娓娓道來。

因?yàn)槎伎蓿覀冊谟?jì)算數(shù)學(xué)問題的時(shí)候秩伞，用的是十進(jìn)制，計(jì)算出來結(jié)果是0.3沒問題质涛。但是稠歉，在計(jì)算機(jī)中用的是二進(jìn)制，都是由0和1來組成汇陆。這就不得不提一下怒炸，十進(jìn)制轉(zhuǎn)換二進(jìn)制了。

二進(jìn)制轉(zhuǎn)換

十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換二進(jìn)制的步驟：(以10.25為例)

1.先轉(zhuǎn)換整數(shù)部分毡代，除2直到商為0阅羹，倒數(shù)取余。

10/2 ... 商5...余數(shù)0 
5/2   ...商2...余數(shù)1
2/2   ...商1...余數(shù)0
1/2   ...商0...余數(shù)1

倒數(shù)取余教寂，就是1010

2.再轉(zhuǎn)換小數(shù)部分捏鱼，乘2取整，直到小數(shù)部分為0.

0.25*2 ... 0.50 ...整數(shù)0

0.50*2 ... 1.0   ...整數(shù)1

小數(shù)部分為0酪耕，結(jié)束导梆，即為01

因此10.25(10)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制，結(jié)果就是 1010.01(2)

聰明的你迂烁，類比以上方法看尼，應(yīng)該可以動(dòng)手去算一下十進(jìn)制0.1轉(zhuǎn)成二進(jìn)制是多少了。

0.1*2 ... 0.2 ...整數(shù)0
0.2*2 ... 0.4   ...整數(shù)0
0.4*2 ... 0.8 ...整數(shù)0
0.8*2 ... 1.6   ...整數(shù)1
0.6*2 ... 1.2 ...整數(shù)1
0.2*2 ... 0.4   ...整數(shù)0

等等盟步，怎么感覺進(jìn)入死循環(huán)了藏斩，小數(shù)部分乘以2，一直乘不到小數(shù)部分為0

就像十進(jìn)制中1/3却盘，結(jié)果是0.3(3...)這樣的問題一樣狰域，0.1轉(zhuǎn)成二進(jìn)制時(shí)也會(huì)存在精度問題，我們需要進(jìn)行取舍黄橘。

我們看一下0.1在計(jì)算機(jī)中是怎么存儲(chǔ)的兆览。對此，需要了解一下浮點(diǎn)數(shù)的概念旬陡。

浮點(diǎn)數(shù)

浮點(diǎn)數(shù)拓颓，顧名思義，小數(shù)點(diǎn)是浮動(dòng)的數(shù)描孟。千萬不要以為浮點(diǎn)數(shù)就是小數(shù)驶睦。因?yàn)榕樽螅趈s中是沒有整數(shù)和小數(shù)的概念的，其實(shí)整數(shù)也是以浮點(diǎn)數(shù)的形式表示的场航，只是小數(shù)部分為0而已缠导。

浮點(diǎn)數(shù)簡單理解，就是類似于我們十進(jìn)制中的科學(xué)計(jì)數(shù)法溉痢。在計(jì)算機(jī)中一般遵循IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)僻造。格式如下：

(-1)^S * M * 2^E
1. S表示符號位，當(dāng)S=0時(shí)孩饼，為正數(shù)髓削；當(dāng)S=1時(shí)，為負(fù)數(shù)镀娶。
2. M表示有效數(shù)字（尾數(shù)）立膛，大于等于1，小于2梯码。
3. E為指數(shù)（也叫階碼）宝泵。

因此，上邊的10.25(二進(jìn)制1010.01)按照此格式表示即為 1.01001 * 2^3

對于32位浮點(diǎn)數(shù)來說轩娶，符號位占一位儿奶，指數(shù)位占8位，尾數(shù)占23位
對于64位浮點(diǎn)數(shù)來說鳄抒，符號位占一位闯捎，指數(shù)位占11位，尾數(shù)占52位

IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)

注意：IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定许溅，在保存尾數(shù)M時(shí)隙券，第一位默認(rèn)是1，因此可以被舍去闹司，只存儲(chǔ)后邊的部分。例如沐飘，1.01001保存的時(shí)候游桩，只保存01001，等到用的時(shí)候再把1加上去耐朴。這樣借卧，就可以節(jié)省一個(gè)位的有效數(shù)字。

指數(shù)E在存儲(chǔ)的時(shí)候也有些特殊筛峭。若為32位铐刘，指數(shù)占8位，則可表示的大小范圍為0-255 影晓。如為64位镰吵，指數(shù)占11位檩禾，范圍為0-2047 。但是疤祭，指數(shù)是有正有負(fù)的盼产，因此實(shí)際值需要在此基礎(chǔ)上減去一個(gè)中間數(shù)。對于32位勺馆，中間數(shù)為127戏售，對于64位，中間數(shù)為1023 草穆。

還是以1.01001 * 2^3 為例灌灾，若為32位浮點(diǎn)數(shù)，則需要保存成 3+ 127 = 130悲柱，即二進(jìn)制的10000010锋喜，若為64位浮點(diǎn)數(shù)，則保存成 3+ 1023 = 1026 诗祸，即二進(jìn)制的10000000010跑芳。

計(jì)算步驟

好了。巴拉巴拉了這么多直颅。終于博个，要進(jìn)入我們今天的正題了。

我們看一下 0.1 在計(jì)算機(jī)中是怎么用 IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)存儲(chǔ)的功偿。

十進(jìn)制0.1轉(zhuǎn)為二進(jìn)制為0.0001100110011(0011循環(huán))盆佣，即 1.100110011(0011)*2^-4，因此符號位為0械荷，尾數(shù)1.100110011(0011)共耍，階碼為 -4，實(shí)際存儲(chǔ)為 -4+1023 = 1019 的二進(jìn)制 1111111011

0  01111111011  1001100110011001100110011001100110011001100110011010
S    E指數(shù)             M尾數(shù)

十進(jìn)制0.2轉(zhuǎn)為二進(jìn)制為0.001100110011(0011循環(huán))吨瞎，即 1.100110011(0011)*2^-3 痹兜，存儲(chǔ)時(shí)，符號位為0颤诀，尾數(shù) 1.100110011(0011)字旭，階碼為-3，實(shí)際存儲(chǔ)為 -3+1023 = 1020 的二進(jìn)制 1111111100崖叫。

0  01111111100  1001100110011001100110011001100110011001100110011010
S     E指數(shù)          M尾數(shù)

接下來遗淳，計(jì)算 0.1 + 0.2 。

浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行計(jì)算時(shí)心傀，需要對階屈暗。即把兩個(gè)數(shù)的階碼設(shè)置為一樣的值，然后再計(jì)算尾數(shù)部分。其實(shí)對階很好理解养叛，就和我們十進(jìn)制科學(xué)記數(shù)法加法一個(gè)道理种呐，先把指數(shù)部分化成一樣，再計(jì)算尾數(shù)一铅。

另外陕贮，需要注意一下，對階時(shí)需要小階對大階潘飘。因?yàn)榘怪@樣相當(dāng)于，小階指數(shù)乘以倍數(shù)卜录，尾數(shù)部分相對應(yīng)的除以倍數(shù)戈擒，在二進(jìn)制中即右移倍數(shù)位。這樣艰毒，不會(huì)影響到尾數(shù)的高位筐高，只會(huì)移出低位，損失相對較少的精度丑瞧。

因此柑土，0.1的階碼為 -4 , 需要對階為 0.2的階碼 -3 。尾數(shù)部分整體右移一位绊汹。

原來的0.1
0  01111111011  1001100110011001100110011001100110011001100110011010
對階后的0.1
0  01111111100  1100110011001100110011001100110011001100110011001101

然后進(jìn)行尾數(shù)部分相加

   0  01111111100   1100110011001100110011001100110011001100110011001101
+  0  01111111100   1001100110011001100110011001100110011001100110011010
=  0  01111111100  10110011001100110011001100110011001100110011001100111

可以看到稽屏，產(chǎn)生了進(jìn)位。因此西乖，階碼需要 +1狐榔，即為 -2，尾數(shù)部分進(jìn)行低位四舍五入處理获雕。因尾數(shù)最低位為1薄腻，需要進(jìn)位。所以存儲(chǔ)為：

0  1111111101  1011001100110011001100110011001100110011001100110100

最后把二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制届案，

二進(jìn)制為：
1.1011001100110011001100110011001100110011001100110100 * 2^-2
轉(zhuǎn)為十進(jìn)制為：
2^-2 * (1*2^0 + 1*2^-1 + 0 + 1*2^-3 + 1*2^-4 + ...)
最終結(jié)果為：
0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125
因?yàn)榫葐栴}庵楷，只取到：
0.30000000000000004

問題總結(jié)

1.在十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制的過程中，會(huì)產(chǎn)生精度的損失楣颠。

2.二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行對階運(yùn)算時(shí)嫁乘，也會(huì)產(chǎn)生精度的損失。

因此球碉，最終結(jié)果才產(chǎn)生了偏差。

看完的小伙伴仓蛆，現(xiàn)在應(yīng)該能理解睁冬，為什么0.1 + 0.2 ≠ 0.3 這個(gè)問題了吧。