計算機組成原理之計算篇

一铝量、章節(jié)導學

章節(jié)導學

二、進制運算的基礎(chǔ)

1. 進制概述

1.1 進制的定義

進位制是一種記數(shù)方式茬末，亦稱進位計數(shù)法或位值計數(shù)法
有限種數(shù)字符號來表示無限的數(shù)值
使用的數(shù)字符號的數(shù)目稱為這種進位制的基數(shù)或底數(shù)

1.2 常見的進制

n=10 [0-9] 稱為十進制

計算機喜歡二進制厂榛，但是二進制表達太長了
使用大進制位可以解決這個問題
八進制、十六進制滿足2的n次方的要求

1024=0x400=0o2000=0b1000000000

2. 二進制運算的基礎(chǔ)

正整數(shù)N丽惭，基數(shù)為r
$N=d_{n-1}d_{n-2}...d_1d_0=d_{n-1}r^{n-1}+d_{n-2}r^{n-2}+...+d_1r+d_0$
例1
$N=1024 \quad N=1*10^3+2*10^1+4$
例2
$N=10000000000 \quad ?? = 1*2^{10}$

2.1 （整數(shù)）二進制轉(zhuǎn)換十進制：按權(quán)展開法

$N=d_{n-1}d_{n-2}...d_1d_0=d_{n-1}r^{n-1}+d_{n-2}r^{n-2}+...+d_1r+d_0$
例1
$N=(01100101)=1*2^6+1*2^5+1*2^2+1=101$
例2
$N=(11101101)=1*2^7+1*2^6+1*2^5+1*2^3+1*2^2+1=237$

2.2 （整數(shù)）十進制轉(zhuǎn)換二進制：重復相除法

重復相除法

例1

image.png

2.3 （小數(shù)）二進制轉(zhuǎn)換十進制：按權(quán)展開法

$N=0.d_{-1}d_{-2}...d_{-n}=d_{-1}r^{-1}+d_{-2}r^{-2}+...+d_{-n}r^{-n}$

例1
$N=0.11001=1*2^{-1}+1*2^{-2}+1*2^{-5}=0.78125=\frac{25}{32}$
例2
$N=0.01011=1*2^{-2}+1*2^{-4}+1*2^{-5}=0.34375=\frac{11}{32}$

2.4（小數(shù)）十進制轉(zhuǎn)換二進制：重復相乘法

重復相乘法

例1

重復相乘法

三击奶、有符號數(shù)與無符號數(shù)

問：怎么判斷他是數(shù)字位還是符號位呢？
答：使用0表示正數(shù)责掏，使用1表示負數(shù)

1. 原碼表示法

1.1 原碼表示法

使用0表示正數(shù)柜砾、1表示負數(shù)
規(guī)定符號位位于數(shù)值第一位
表達簡單明了，是人類最容易理解的表示法

1.2 原碼表示法的問題

0有兩種表示方法：00换衬、10
原碼進行運算非常復雜痰驱，特別是兩個操作數(shù)符號不同的時候

判斷兩個操作數(shù)絕對值大小
使用絕對值大的數(shù)減去絕對值小的數(shù)
對于符號值，以絕對值大的為準

1.3 希望的改進

希望找到不同符號操作數(shù)更加簡單的運算方法
希望找到使用正數(shù)代替負數(shù)的方法
使用加法操作代替減法操作瞳浦，從而消除減法

四担映、二進制的補碼表示法

1. 補碼的定義

$x=\left\{ \begin{array}{rcl} x && {2^n>x\geq0}\\ 2^{n+1}+x && {0>x\geq-2^n}\\ \end{array} \right.$

例子1： $n=4$ ， $x=13$ 叫潦，計算x的二進制原碼和補碼

原碼： $x=0,1101$ 蝇完，補碼： $x=0,1101$

例子2： $x=-13$ ，計算 $x$ 的二進制原碼和補碼

原碼： $x=1,1101$ 诅挑，補碼： $2^{??+1} + ?? = 2^{4+1} ? 13 = 100000 ? 1101 = 10011$
補碼： $x=1,0011$

例子3：例子3： $x=-7$ 四敞，計算 $x$ 的二進制原碼和補碼

原碼： $x=1,0111$ 泛源，補碼： $2^{??+1} + ?? = 2^{4+1} ? 7 = 100000 ? 0111 = 11001$
補碼： $x=1,1001$

例子4： $x=-1$ 拔妥，計算 $x$ 的二進制原碼和補碼

原碼： $x=1,0001$ ，補碼： $2^{??+1} + ?? = 2^{4+1} ? 1 = 100000 ? 0001 = 11111$
補碼： $x=1,1111$

五达箍、二進制的反碼表示法

1. 引進補碼的目的

減法運算復雜没龙，希望找到使用正數(shù)替代負數(shù)的方法
使用加法代替減法操作，從而消除減法
在計算補碼的過程中缎玫，還是使用了減法Ｓ蚕恕！
反碼的目的是找出原碼和補碼之間的規(guī)律赃磨，消除轉(zhuǎn)換過程中的減法

2. 反碼的定義

$x=\left\{ \begin{array}{rcl} x && {2^n>x\geq0}\\ (2^{n+1}-1)+x && {0>x\geq-2^n}\\ \end{array} \right.$

例子1： $x=-13$ 筝家，計算 $x$ 的二進制原碼和反碼

原碼： $x=1,1101$ ，反碼： $(2^{??+1}-1) + ?? = (2^{4+1}?1)-13 = 011111? 1101 = 10010$
反碼： $x=1,0010$

例子2：例子3： $x=-7$ 邻辉，計算 $x$ 的二進制原碼和反碼

原碼： $x=1,0111$ 溪王，反碼： $(2^{??+1}-1) + ?? = (2^{4+1}-1) ? 7 = 011111? 0111 = 11000$
反碼： $x=1,1000$

反碼

負數(shù)的反碼等于原碼除符號位外按位取反
負數(shù)的補碼等于反碼+1

例子1： $x=-7$ 腮鞍，計算x的二進制原碼和反碼和補碼

原碼： $x=1,0111$ 反碼： $x=1,1000$ 補碼： $x=1,1001$

例子2： $x=-9$ 潮售，計算x的二進制原碼和反碼和補碼

原碼： $x=1,1001$ 反碼： $x=1,0110$ 補碼： $x=1,0111$

原碼苦银，反碼渺尘，補碼

六潮酒、小數(shù)的補碼

$x=\left\{ \begin{array}{rcl} x && {1>x\geq0}\\ 2+x && {0>x\geq-1}\\ \end{array} \right.$

例子1： $x=\frac{9}{16}$ 托修，計算 $x$ 的二進制原碼和反碼和補碼

原碼： $x=0,0.1001$ 反碼： $x= 0,0.1001$ 補碼： $x= 0,0.1001$

例子2： $x=-\frac{11}{32}$ 敲董，計算 $x$ 的二進制原碼和反碼和補碼

原碼： $x=1,0.01011$ 反碼： $x=1,1.10100$ 補碼： $x=1,1.10101$

七瓦糕、定點數(shù)與浮點數(shù)

1. 定點數(shù)的表示方法

小數(shù)點固定在某個位置的數(shù)稱之為定點數(shù)

定點數(shù)

非純整數(shù)或純小數(shù)

2. 浮點數(shù)的表示方法

2.1 為什么使用浮點數(shù)

計算機處理的很大程度上不是純小數(shù)或純整數(shù)
數(shù)據(jù)范圍很大种远，定點數(shù)難以表達

2.2 浮點數(shù)的表示方法

浮點數(shù)的表示格式

$123450000000 = 1.2345 × 10^{11}$
1.2345：尾數(shù)
10：基數(shù) 11：階碼

$N= S \times r^j$
S：尾數(shù) r：基數(shù) j：階碼

浮點數(shù)

尾數(shù)規(guī)定使用純小數(shù)

$11.0101 = 0.110101 × 2^{10}$
$11.0101 = 0.0110101 × 2^{11}$

浮點數(shù)

浮點數(shù)的表示范圍

假設(shè)階碼數(shù)值取 $m$ 位蜜徽，尾數(shù)數(shù)值取 $n$ 位
$N=S \times r^j$

階碼能夠表示的最大值： $2^m-1$ 祝懂，考慮符號位： $[-(2^m-1),2^m-1]$

尾數(shù)能夠表示的最大值： $1-2^{-n}$
尾數(shù)能夠表示的最小值： $2^{-n}$
尾數(shù)表示范圍： $[2^{-n},1-2^{-n}]$ ，考慮符號位： $[-(1-2^{-n}),-(2^{-n})][2^{-n},1-2^{-n}]$

階碼表示范圍： $[-(2^m-1),2^m-1]$
尾數(shù)表示范圍： $[-(1-2^{-n}),-(2^{-n})][2^{-n},1-2^{-n}]$

image.png

單精度與雙精度浮點數(shù)

單精度浮點數(shù)：使用4字節(jié)拘鞋、32位來表達浮點數(shù)(float)
雙精度浮點數(shù)：使用8字節(jié)嫂易、64位來表達浮點數(shù)(double)

2.3 浮點數(shù)的規(guī)格化

尾數(shù)規(guī)定使用純小數(shù)
尾數(shù)最高位必須是1

正確： $11.0101 = 0.110101 × 2^{10}$
錯誤： $11.0101 = 0.0110101 × 2^{11}$
錯誤： $11.0101 = 0.00110101 × 2^{100}$
錯誤： $11.0101 = 1.10101 × 2^1$

例子1：設(shè)浮點數(shù)字長為16位，階碼為5位掐禁，尾數(shù)為11位怜械，將十進制數(shù) $\frac{13}{128}$ 表示為二進制浮點數(shù)。

原碼=反碼=補碼： $x = 0.0001101000$
浮點數(shù)規(guī)格化： $x = 0. 1101000 * 2^{?11}$
尾數(shù)為 $1101000000$ 傅事，尾數(shù)符為 $0$ 缕允，階符為 $1$ ，階碼為 $0011$

表示方法

例子2：設(shè)浮點數(shù)字長為16位蹭越，階碼為5位障本，尾數(shù)為11位，將十進制數(shù)?54表示為二進制浮點數(shù)响鹃。

原碼： $x = 1,110110$
浮點數(shù)規(guī)格化： $x = ?0. 110110 ? 2^{110}$
尾數(shù)為 $1101100000$ 驾霜，尾數(shù)符為 $1$ ，階符為 $0$ 买置，階碼為 $0110$
尾數(shù)反碼 $0010011111$ 粪糙，尾數(shù)補碼 $0010100000$

表示方法

3. 定點數(shù)與浮點數(shù)的對比

當定點數(shù)與浮點數(shù)位數(shù)相同時，浮點數(shù)表示的范圍更大
當浮點數(shù)尾數(shù)為規(guī)格化數(shù)時忿项，浮點數(shù)的精度更高
浮點數(shù)運算包含階碼和尾數(shù)蓉冈，浮點數(shù)的運算更為復雜
浮點數(shù)在數(shù)的表示范圍、精度轩触、溢出處理寞酿、編程等方面均優(yōu)于定點數(shù)
浮點數(shù)在數(shù)的運算規(guī)則、運算速度脱柱、硬件成本方面不如定點數(shù)

八伐弹、定點數(shù)的加減法運算

數(shù)值位與符號位一同運算，并將符號位產(chǎn)生的進位自然丟掉
溢出判斷榨为，單符號位表示變雙符號位惨好，雙符號位產(chǎn)生的進位丟棄椅邓，結(jié)果的雙符號位不同則表示溢出

1. 整數(shù)加法

$A[補] + B[補] = [A+B][ 補] (??????2^{??+1})$

例子1：A=-110010， B=001101昧狮，求A+B

$A[補] = 1,001110$
$B[補] = B[原] = 0,001101$
$A[補] + B[補] = (A + B)[補] =1,011011$
$A + B = ?100101$

例子3：A=-10010000景馁， B=-01010000，求A+B

$A[補] = 1,01110000$
$B[補] = 1,10110000$
$A[補] + B[補] = (A + B)[補] =1,00100000$
$A + B =-11100000$

2. 小數(shù)加法

$A[補] + B[補] = [A+B][ 補] (mod2)$

例子2：A=-0.1010010逗鸣， B=0.0110100合住，求A+B

$A[補] = 1,1.0101110$
$B[補] = B[原] = 0,0.0110100$
$A 補 + B 補 = (A + B)[補]=1,1.1100010$
$A + B = -0.0011110$

例子4：A=-10010000， B=-11010000撒璧，求A+B

$A[補] = 1, 01110000$
$B[補] = 1, 00110000$
$A[補] + B[補] = (A + B)[補] = 0,10100000$
$A + B = 10100000$
發(fā)生了溢出

3. 判斷溢出

3.1 雙符號位判斷法

單符號位表示變成雙符號位：0=>00,1=>11
雙符號位產(chǎn)生的進位丟棄
結(jié)果的雙符號位不同則表示溢出

例子4：A=-10010000透葛， B=-11010000，求A+B

$A[補] = 11, 01110000$
$B[補] = 11, 00110000$
$A[補] + B[補] = (A + B)[補] = 10,10100000$
雙符號位不同卿樱，表示溢出

例子3：A=-10010000僚害， B=-01010000，求A+B

$A[補] = 11,01110000$
$B[補] = 11,10110000$
$A[補] + B[補] = (A + B)[補] =11,00100000$
雙符號位相同繁调，沒有溢出

4. 整數(shù)減法

$A[補] ? B[補] = ?? + (???)[補](??????2^{??+1})$

-B[補]等于B[補]連同符號位按位取反萨蚕，末位加一
B[補] = 1,0010101，(?B)[補] = 0,1101011

例子5：A=11001000蹄胰， B=-00110100岳遥，求A-B

$A[補] = A[原] = 0,11001000$
$B[補] = 1,11001100$
$(?B)[補] = 0,00110100$
$A[補] ? B[補] = A + (?B) [補]$
$A + (?B) 補 = 0,11111100$
$A ? B = 111111100$

5. 小數(shù)減法

$A[補] ? B[補] = ?? + (???)[補](??????2)$

九、讀點書的加減法運算

$x=S_x\times r^{j_x}$
$y=S_y\times r^{j_y}$

對階
尾數(shù)求和
尾數(shù)規(guī)格化
舍入
溢出判斷

$x=0.1101 \times 2^{01}$
$y=(-0.1010) \times 2^{11}$

1. 對階

対階的目的是使得兩個浮點數(shù)階碼一致裕寨，使得尾數(shù)可以進行運算

浮點數(shù)尾數(shù)運算簡單
浮點數(shù)位數(shù)實際小數(shù)位與階碼有關(guān)
階碼按小階看齊大階的原則

對階

$x=0.001101 \times 2^{11}$
$y=(-0.1010) \times 2^{11}$

對階

2. 尾數(shù)求和

使用補碼進行運算
減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算：A - B = A + (-B)

$x[原]=00.0011 \quad x[補]=00.0011$
$y[原]=00.1010 \quad y[補]=11.0110$

$S=(x+y)[補]=11.1001$

尾數(shù)求和

3. 尾數(shù)規(guī)格化

對補碼進行規(guī)格化需要判斷兩種情況：S>0和S<0（符號位與最高位不一致）
$S[補]=00.1xxxxxx(?? > 0)$
$S[補] = 11.0xxxxxx(?? < 0)$
如果不滿足此格式浩蓉，需要進行左移，同時階碼相應變化宾袜，以滿足規(guī)格化

$S=(x+y)[補]=11.1001$
$S=(x+y)[補]=11.(1)0010$ （左移）

尾數(shù)規(guī)格化

$S=(x+y)[補]=11.0010$
$S=(x+y)[原]=-0.1110$
$(x+y)[原]=-0.1110 \times 2^{10}$

4. 尾數(shù)規(guī)格化(右移)

一般情況下都是左移
雙符號位不一致下需要右移(定點運算的溢出情況)
右移的話則需要進行舍入操作

4.1 舍入

“0舍1入”法（二進制的四舍五入）

$S[補] = 10.10110111 \quad S[補] = 11.01011011(1)$

舍入

可能溢出

$S[補] = 01.11111111 \quad S[補] = 00.10000000(1)$

兩次右規(guī)

4.2 溢出判斷

定點運算雙符號位不一致為溢出
浮點運算尾數(shù)雙符號位不一致不算溢出（因為尾數(shù)雙符號位可以進行右規(guī)）
浮點運算主要通過階碼的雙符號位判斷是否溢出（如果規(guī)格化后捻艳，階碼雙符號位不一致，則認為是溢出）

例子： $x = 0.11010011 × 2^{1101}庆猫，?? = 0.11101110 × 2^{1100}$ 认轨，假設(shè)階碼4位，尾數(shù)8位阅悍，計算x + y

對階

尾數(shù)求和

尾數(shù)求和

判斷溢出

$x+y[原]=x+y[補]=0.10100101 \times 2^{1110}$

5. 浮點數(shù)加減法運算

image.png

九好渠、浮點數(shù)的乘除法運算

1. 浮點數(shù)乘法

浮點數(shù)乘法

2. 浮點數(shù)除法

浮點數(shù)除法

image.png

例子： $?? = 0.11010011 × 2^{1101}昨稼，?? = 0.11101110 × 2^{0001}$ 节视，假設(shè)階碼4位，尾數(shù)8位假栓，計算x * y

$x \times y = (S_x \times S_y) \times r^{(j_x+j_y)}\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad = (0.11010011 × 0.11101110) × ??^{1101+0001}\\ \qquad \qquad \qquad \quad = 0.11000100(保留八位) × ??^{1110}$

十寻行、鞏固習題

1.除了十進制以外，這個世界上常見的還有什么進制匾荆？

二進制拌蜘、八進制杆烁、十二進制、二十進制简卧、六十進制兔魂。

2.二進制一般使用什么方法轉(zhuǎn)換成十進制？

整數(shù)：按權(quán)展開法举娩。

3.十進制一般使用什么方法轉(zhuǎn)換成二進制析校？

整數(shù)：重復相除法，小數(shù)：重復相乘法铜涉。\

4.計算機直接使用原碼計算有什么缺點智玻？

0有兩種表示方法，減法運算復雜芙代。

5.請計算12吊奢、124、1023纹烹、-1页滚、-127的二進制原碼。

12(0,00001100)铺呵、124(0,01111100)逻谦、1023(0,1111111111)、-1(1,00000001)陪蜻、-127(1,01111111)邦马。

6.計算機的補碼解決了什么問題？

相比原碼的運算過程（特別是減法）宴卖，補碼對于計算機而言運算更加簡單滋将。

7.請計算12、124症昏、1023随闽、-1、-127的補碼肝谭，并將其使用32位定點表示法和32位浮點表示法(1位符號位掘宪、8位階碼、23位數(shù)值位)表示出來攘烛。

8.你是否可以使用代碼實現(xiàn)一個通用的計算器魏滚，可以將二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)，把十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)坟漱。

9.計算機為了判斷運算溢出使用了什么方法鼠次？

雙符號位判斷法。當雙符號位不一致表示溢出。

10.什么是溢出腥寇？什么是上溢成翩？什么是下溢？

溢出即計算機無法表示數(shù)值赦役。上溢是指數(shù)值絕對值大于表示范圍麻敌，下溢是指計算機無法提供有效精度表示數(shù)值。

11.對于64位浮點型(double)掂摔，一般都是采用最高位為符號位庸论，次高11位為指數(shù)位，其次52位為尾數(shù)棒呛，試求出double型所能表達的最大值和最小值聂示。

12.浮點數(shù)相比定點數(shù)，有什么優(yōu)勢簇秒？有什么不足的地方鱼喉。

浮點數(shù)可以表示更大的數(shù)據(jù)范圍，但是運算耗時更長趋观。

13.浮點數(shù)之間做加減法運算需要幾個步驟扛禽？每個步驟都是必須的嗎？為什么皱坛？

浮點數(shù)加減法需要經(jīng)過以下幾個步驟：對階编曼、尾數(shù)求和、尾數(shù)規(guī)格化剩辟、舍入掐场、溢出判斷。對階是為了使得尾數(shù)可以進行運算贩猎，階碼不一致尾數(shù)運算無效熊户，尾數(shù)規(guī)格化、舍入是為了正確存儲結(jié)果吭服，溢出判斷是為了判斷運算過程是否有誤嚷堡，如果溢出將會發(fā)出信號進行溢出處理。

14.x=0.1101^1001, y=0.1011^110艇棕，請計算x+y的值蝌戒，x-y的值。

x+y=0.1110011^{1001沼琉，x-y=0.1011101}1001北苟。

15.x=0.1101^111, y=-0.1111^1101，請計算x+y的值刺桃，x-y的值粹淋。

x+y=-0.1110110011^{1101吸祟，x-y=0.1111001101}1101瑟慈。