概率論是全局觀認(rèn)知的理論
局部的隨機(jī)性與整體的確定性剂邮，在不確定中摇幻，尋找確定的部分。
如果事情是個(gè)確定的事情挥萌，那好辦囚企。如果事情結(jié)果沒有塵埃落定，怎么算瑞眼？阿羅不可能定理說：用鈔票投票才是最好的選擇龙宏。而數(shù)學(xué)中的概率，就是解決這樣的問題的而產(chǎn)生的學(xué)問伤疙。
需要注意的是全局觀银酗，也是有前置條件的。條件概率的使用本質(zhì)是局勢的變化徒像，并且事情的發(fā)展并不是確定的黍特，那么結(jié)果概率也會(huì)不斷地變化。（如果你看過美國真人秀節(jié)目DealOrNoDeal锯蛀，會(huì)有更直觀的理解與感受灭衷。）
隨機(jī)事件的結(jié)果，是不可預(yù)測的旁涤，但是全局觀的結(jié)果確定無疑的翔曲。概率論可以解決隨機(jī)問題的背后原理，就是把局部的隨機(jī)性轉(zhuǎn)變成整體上的確定性劈愚。它能讓我們能對未來的隨機(jī)事情瞳遍，做出數(shù)學(xué)上確定性的判斷。
概率論并不能預(yù)測世界下一秒會(huì)發(fā)生什么菌羽，而是為你刻畫世界的整體確定性掠械。從認(rèn)知思維的角度上說，某一次結(jié)果的隨機(jī)性的認(rèn)知，是低層次的認(rèn)知猾蒂；而概率論是高層次的均唉，確定性的認(rèn)知方法論。
基本概念1: 隨機(jī)
隨機(jī)性與不確定性是不同的肚菠。
隨機(jī)就是不可預(yù)測舔箭。我們說一個(gè)事情是隨機(jī)的，指的是就它發(fā)生的結(jié)果不能被預(yù)測案糙，但是知道或確定其所有可能的結(jié)果（或選項(xiàng)）組成的集合限嫌。而不確定性的概念更廣泛，是說對結(jié)果或選項(xiàng)一無所知时捌。舉個(gè)例子怒医，投籃的結(jié)果是隨機(jī)，但結(jié)果只有兩個(gè)選項(xiàng)：投中或投不中奢讨。今天出門會(huì)有什么事發(fā)生呢稚叹？不知道，這是不確定的拿诸。黑天鵝是不確定性事件扒袖，而灰犀牛是隨機(jī)事件。
只有知道了全部可能的結(jié)果亩码，才能分析它們的概率季率；不知道可能的結(jié)果，就沒法深入研究描沟。概率論知識研究的事件結(jié)果必須是選項(xiàng)可知的飒泻。
如果你可以通過問好的問題，就可以在限定條件下吏廉，將一個(gè)不確定問題轉(zhuǎn)換成隨機(jī)問題泞遗。然后，通過概率去研究這個(gè)問題席覆。
在現(xiàn)實(shí)生活中史辙，我們遇到各種問題基本上是效果隨機(jī)，而不是真隨機(jī)佩伤。還有就是生活中聊倔，還有大量的偽隨機(jī)（結(jié)果的背后是有規(guī)律的。）畦戒。比如方库，石頭剪刀布，高手可以觀察到對手的規(guī)律性障斋。真隨機(jī)可能其存在量子層面上。
隨機(jī)的力量是這個(gè)世界的決定性力量。利用隨機(jī)來戰(zhàn)勝對手的例子：打網(wǎng)球選手的左手垃环，轉(zhuǎn)基因作物旁邊開辟一塊非轉(zhuǎn)基因的作物邀层。
基本概念2: 概率
對于隨機(jī)性這樣一個(gè)模糊的詞，如何度量所謂的隨機(jī)性遂庄？如何從定性的描述到定量的描述寥院？
術(shù)語「概率」是對隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的定量描述。通常涛目，教材中使用「柯爾莫哥洛夫」的定義秸谢。
設(shè) E 為隨機(jī)試驗(yàn)（注意，是試驗(yàn)）霹肝，S是它的樣本空間（也就是隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果）估蹄。對于E的每一事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記作為P(A)沫换，稱為事件A的概率臭蚁。
上面的定義比較抽象，但是請注意讯赏，數(shù)學(xué)通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言來描述現(xiàn)實(shí)的問題垮兑，歸根結(jié)底還是解決現(xiàn)實(shí)問題的。同時(shí)漱挎，也要注意系枪，概率問題的描述十分重要，只有正確的描述隨機(jī)事件磕谅，才能有正確的概率思路私爷。本質(zhì)上，隨機(jī)事件是概率論的一種表達(dá)方式怜庸。只有符合這種表達(dá)方式当犯，我們才能度量其概率。
其表達(dá)方式的套路如下：
對你關(guān)心的事情割疾，設(shè)定一個(gè)條件嚎卫；然后從可能性的角度出發(fā)，對其中一個(gè)可能發(fā)生的結(jié)果進(jìn)行陳述宏榕，這就是隨機(jī)事件描述拓诸。最后，再對其發(fā)生的可能性大小進(jìn)行度量麻昼，這就是事件的概率奠支。
其中有三個(gè)要點(diǎn)：
- 在事件前面一定要設(shè)定一個(gè)條件；
- 從事件發(fā)生的可能性的視角出發(fā)來描述抚芦；有兩種情況：一是倍谜，過去已經(jīng)發(fā)生過了迈螟，但是我不知道；二是尔崔，未來還未發(fā)生答毫。
- 一定要對某一個(gè)發(fā)生結(jié)果的陳述。也就是樣本空間的一個(gè)結(jié)果季春。
概率是隨機(jī)事件在樣本空間的比率洗搂，這個(gè)概率比較好理解。就是該事件發(fā)生的頻率载弄。日常生活中耘拇，我們會(huì)經(jīng)常用頻率值來代替概率值。
空間是一個(gè)比較專業(yè)的數(shù)學(xué)定義宇攻，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)惫叛，也是比較抽象的概念。通常它也是通過集合的方式來定義的尺碰。如果在樣本空間中的事件都不可再分挣棕，我們稱為基本事件。隨機(jī)事件是樣本空間中的一個(gè)子集亲桥。
概率的三個(gè)基本性質(zhì)（簡稱為非負(fù)和為1）：
- 概率是非負(fù)的洛心，且在0和1之間。
- 樣本空間的所有隨機(jī)事件發(fā)生概率加起來為1题篷。
- 某個(gè)隨機(jī)事件不發(fā)生的概率词身，等于1減去這個(gè)事件的概率。
樣本空間的完備性是大家容易忽視的一個(gè)問題：也就是說樣本空間必須包含所有可能的結(jié)果番枚。前面提到的黑天鵝事件是指這件事情不在樣本空間中法严，所以才說它不是隨機(jī)事件的。我們世界的認(rèn)識葫笼，就是對樣本空間完備性的認(rèn)識深啤。
基本概念3:獨(dú)立
獨(dú)立同分布是在概率學(xué)在常說的一個(gè)詞÷沸牵「獨(dú)立」通常是指在同一樣本空間中隨機(jī)事件的相互關(guān)系溯街。這個(gè)前提在概率論中十分重要。它是正確分析和度量概率的一個(gè)基石洋丐。
在同一樣本空間中呈昔，隨機(jī)事件之間沒有關(guān)系，這些隨機(jī)事件稱之為獨(dú)立事件友绝。例如拋一次硬幣堤尾。硬幣的正反面出現(xiàn)的概率一定是0.5。但是有一些常見的誤區(qū)迁客。譬如連續(xù)拋6次郭宝，前5次都是正面辞槐，那么第 6 次是正面的概率是多少？很多人有一種錯(cuò)覺剩蟀，就是第 6 次出現(xiàn)正面的概率會(huì)小催蝗。其實(shí)大家是混淆了隨機(jī)事件的定義切威。
事件的定義是概率計(jì)算的基本條件育特。上面這個(gè)事件可以有兩種不同的事件定義或是事件定義的問法。
- 如果連續(xù)拋 6 次硬幣先朦，全部都是正面的概率是多少缰冤？
- 如果連續(xù)拋 6 次硬幣，前 5 次是正面喳魏，第 6 次出現(xiàn)正面的概率是多少闯狱？
因?yàn)槊恳淮螔佊矌哦际仟?dú)立的事件奶稠，所以第 2 個(gè)問題的答案是 0.5。而第1個(gè)問題的答案是 0.5 的 6 次方（非常小的浮點(diǎn)數(shù)）。
兩個(gè)隨機(jī)事件相互獨(dú)立粗蔚，在概率論中是指：一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生，不會(huì)影響另一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生翔脱。通常這種非獨(dú)立的關(guān)系琢歇，我個(gè)人認(rèn)為是指一些不太明顯的因果關(guān)系或是其它關(guān)系。這里的其它關(guān)系是指人們無法理解的畦攘，不太明確的霸妹，不知道的因果，譬如說知押，吃火鍋叹螟，來一罐王老吉；穿了西裝台盯，會(huì)穿皮鞋罢绽。
現(xiàn)實(shí)中，識別隨機(jī)事件的獨(dú)立性是非常困難的静盅。所以良价，在數(shù)學(xué)上，我們可以理解成獨(dú)立事件是我們描述某些事件的數(shù)學(xué)模型温亲，或是說簡化了計(jì)算棚壁。但是，要注意栈虚，我們一定要仔細(xì)思考兩件事情的發(fā)生是不是獨(dú)立事件袖外。
概率計(jì)算
定義問題比計(jì)算更重要。這是個(gè)研究領(lǐng)域的老生常談的問題魂务。問好的問題曼验。
定義問題本質(zhì)是定義隨機(jī)事件相互關(guān)系的一個(gè)重要概念泌射。只有弄清了隨機(jī)事件的關(guān)系，我們才能正確計(jì)算它們的概率鬓照。
三個(gè)法則：
排列組合法則
排列組合法則適用于結(jié)果有限熔酷，而且每種結(jié)果都是等可能性的情況。計(jì)算方法是：概率就是這個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的次數(shù)除以所有可能的結(jié)果的個(gè)數(shù)豺裆。其中注意拒秘，排列是有先后的順序的。大部分的概率問題都是排列組合問題臭猜。如果不是等概率的事件躺酒，也可用這個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的次數(shù)，除以樣本的總量蔑歌。加法法則
針對多個(gè)隨機(jī)事件羹应。簡單的說，就是多個(gè)隨機(jī)事件的概率加和次屠。加法法則也有限定條件园匹，就是這些隨機(jī)事件不能同時(shí)發(fā)生，要「互斥」劫灶。如果不能互斥裸违，那么使用集合的方式，將交集去除浑此。乘法法則
針對多個(gè)隨機(jī)事件累颂，且是相互獨(dú)立事件。獨(dú)立事件是兩個(gè)隨機(jī)事件沒關(guān)系凛俱；互斥事件是兩個(gè)隨機(jī)事件關(guān)系特別大紊馏，非此即彼。
概率問題的難度在描述隨機(jī)事件蒲犬，如「或」朱监，「同時(shí)」，「有放回」原叮，「無放回」赫编，一字之差，結(jié)果就差之千里奋隶。
「一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生兩次的概率」與「一件事情再次發(fā)生的概率」是完全不同的擂送。用數(shù)學(xué)表示是P(A1)*P(A2)與P(A2|A1)的表述不同。
正確的翻譯現(xiàn)實(shí)問題唯欣，是概率計(jì)算最復(fù)雜嘹吨，也最難的地方。
小結(jié)一下
就如同計(jì)算機(jī)語言中的類型一樣境氢，都是先定義是什么蟀拷，在此基礎(chǔ)上定義它的操作符碰纬。
