約瑟夫·傅立葉（Joseph Fourier）——法國數(shù)學(xué)家总寒、物理學(xué)家扶歪，1807年提出傅立葉變換。
? ? ? ? 傅立葉變換是最早研究與應(yīng)用的酉變換摄闸；60年代出現(xiàn)快速傅立葉變換善镰；傅立葉變換域也稱為頻域。
基本數(shù)學(xué)概念
? ? ? ? 調(diào)諧信號（歐拉公式）：
? ? ? ? 傅立葉積分：
傅立葉變換的定義
一維連續(xù)
? ? ? ? f(x)為連續(xù)可積函數(shù)炫欺，其傅立葉變換定義為：
其反變換為：
通常f(x)的傅立葉變換為復(fù)數(shù)，可有通用表示式為：熏兄，
品洛、
分別稱為傅立葉變換
的實部和虛部。
? ? ? ? 可進(jìn)一步寫為指數(shù)形式：
其中：稱之為
的幅度譜摩桶、振幅譜或傅立葉譜桥状；
稱之為
的相位譜、相位角硝清。
一維離散
? ? ? ? 一維離散傅立葉變換公式為：
逆變換為：
逆變換的另一種表達(dá)形式：
二維連續(xù)
? ? ? ? 二維傅立葉變換由一維傅立葉變換推廣而來：
逆變換：
幅度譜：
相位譜：
二維離散
? ? ? ? 對于二維傅立葉變換，其離散形式為：
逆變換為：
幅頻譜芦拿、相位譜：
二維離散傅立葉變換的性質(zhì)
? ? ? ? 1）線性性質(zhì)（加法定理）：
? ? ? ? 2）比例性質(zhì)（相似性定理）：
比例性質(zhì)表明：信號在時域中壓縮（k>1，變化速度加快）等效于在頻域擴(kuò)展（頻帶加寬）防嗡；反之亦然变汪。
? ? ? ? 3）可分離性：
二維DFT可分離為兩次一維DFT。
? ? ? ? 4）空間位移（位移定理）：
空間位移特性表明：信號在時域中沿時間軸平移一個常數(shù)時蚁趁，等效于頻譜函數(shù)的相位譜改變裙盾，而幅度譜不變。
? ? ? ? 5）頻率位移：
函數(shù)的頻率位移相當(dāng)于傅立葉變換的坐標(biāo)原點平移他嫡，而幅度譜和相位譜不變番官。
? ? ? ? 6）周期性：
離散傅立葉變換DFT和它的逆變換是以N為周期的函數(shù)。
? ? ? ? 7）共軛對稱性：若f(x,y)為實函數(shù)钢属，F(xiàn)(u,v)為其傅立葉變換徘熔，則
圖像的傅立葉變換結(jié)果是以原點為中心的共軛對稱函數(shù)。
? ? ? ? 8）旋轉(zhuǎn)不變性：
旋轉(zhuǎn)特性描述：如果f(x,y)旋轉(zhuǎn)了一個角度α淆党，那么f(x,y)旋轉(zhuǎn)后圖像的傅立葉變換也旋轉(zhuǎn)了相同的角度α酷师。
結(jié)論：對圖像的旋轉(zhuǎn)變換和傅立葉變換的順序是可交換的讶凉。
? ? ? ? 9）平均值：
離散函數(shù)的均值等于該函數(shù)傅立葉變換在(0,0)點的值。
? ? ? ? 10）卷積定理：空域中的卷積等價于頻域中的相乘山孔。
? ? ? ? 11）相關(guān)定理：空域中f(x,y)與g(x,y)的相關(guān)等價于頻域中F(u,v)的共軛與G(u,v)相乘懂讯。
互相關(guān)：
自相關(guān)：
? ? ? ? 12）拉普拉斯函數(shù)：
其傅立葉變換為：
這個定理將在圖像的邊界提取中用到。
二維離散傅立葉變換的顯示與計算
離散傅立葉變換的顯示
? ? ? ? 按照標(biāo)準(zhǔn)的傅立葉變換公式台颠，其幅度譜的強(qiáng)度分布具有下列特性：
? ? ? ? 在光學(xué)傅立葉變換中褐望，人們已習(xí)慣于變化領(lǐng)域中的低譜部分位于中央。使頻域的頻譜分布中間低串前、周圍高瘫里，有利于對頻譜的解釋和進(jìn)行各種計算與分析。
為了達(dá)到上述要求——圖像中心化荡碾，借助于傅立葉變換的周期性與頻率位移性質(zhì)减宣，對頻域進(jìn)行換位：
? ? ? ? 使頻域的中心位移：
? ? ? ? 相當(dāng)于對原始圖像f(x,y)乘以，再進(jìn)行傅立葉變換：
? ? ? ? 對應(yīng)于的反變換不等于f(x,y)：
? ? ? ? 二維傅立葉變換域分布特性：
離散傅立葉變換的幅度與相位
? ? ? ? 圖像信號的傅立葉變換包含幅度與相位兩部分玩荠；幅度譜具有較明顯的信號結(jié)構(gòu)特征和易于解釋漆腌；實驗證明，幅度本身只包含有圖像本身含有的周期結(jié)構(gòu)阶冈，并不表示其在何處闷尿；相位譜類似隨機(jī)圖案，一般難以進(jìn)行解釋女坑；物體在空間的移動填具，相當(dāng)于頻域的相位移動，相位譜具有同樣重要的意義匆骗。
? ? ? ? 單憑幅度或相位信息劳景，均不足以恢復(fù)原圖像。?
離散傅立葉變換的計算
快速傅立葉變換（FFT）原理
基本思想
? ? ? ? 快速傅立葉變換的基本思想就是分解-征服碉就，即將大的問題分解成諸多小問題盟广，再一一解決這些小問題，從而最終解決大問題瓮钥。
? ? ? ? 1）將變換公式分解為奇數(shù)項和偶數(shù)項之和筋量。令：
DFT可表為：
令：N=2M
由于：
可得到：
進(jìn)一步分析：
還可以得到：
逆向FFT算法
? ? ? ? 算法思想：用正向變換計算逆向變換。
? ? ? ? 設(shè)碉熄，可有：
即：對F(u)取共軛桨武，利用正向FFT進(jìn)行變換計算，其結(jié)果取共軛后再乘以N锈津，即可得到f(x)呀酸。
二維快速傅立葉變換
? ? ? ? 利用傅立葉變換的分離性質(zhì)，對二維FFT進(jìn)行2次的一維FFT變換：
