時(shí)間：2018-09-07 作者：魏文應(yīng)
一、二維隨機(jī)變量
我們?cè)凇陡戒汢：機(jī)器學(xué)習(xí)基礎(chǔ)之最大似然估計(jì)》講過什么是 隨機(jī)變量柿祈。我們的向量是這么寫的：
這個(gè)就是二維向量，有兩個(gè)變量。放在概率論里悲幅，叫做 二維隨機(jī)變量 。
二站蝠、聯(lián)合分布函數(shù)
聯(lián)合分布是相對(duì)于兩個(gè)以上（包括兩個(gè)）變量的概率分析來說的汰具。比如二維隨機(jī)變量，它的 聯(lián)合分布函數(shù) 就是：
我們說過菱魔，無論什么事情留荔，都可以用數(shù)字符號(hào)代表這件事情。如果給五個(gè)人依次編號(hào) {1澜倦， 2聚蝶， 3， 4藻治， 5}碘勉，那么變量 的取值就是 {1, 2, 3, 4, 5} 中的任意一個(gè)。同時(shí)假定有4只貓桩卵，編號(hào){1验靡， 2， 3雏节， 4}胜嗓，那么變量
的取值就是{1， 2钩乍， 3辞州，4} 中的任意一個(gè)。那么
是人編號(hào)小于等于 3 的概率寥粹，
是貓編號(hào)小于等于 2 的概率变过。那么：
表示的就是，事件同時(shí)滿足上面兩個(gè)條件的概率排作。
三牵啦、聯(lián)合分布律
分布律反映的是概率分布情況，聯(lián)合分布律反映的就是有多個(gè)變量時(shí)的概率分布情況：
上式就是有兩個(gè)變量的 聯(lián)合分布律妄痪。反映了兩件事同時(shí)發(fā)生的概率哈雏。有時(shí)我們可能會(huì)感到疑惑，聯(lián)合分布函數(shù)也是可以看做是兩件事同時(shí)發(fā)生的概率，聯(lián)合分布律也是反映兩件事同時(shí)發(fā)生的概率裳瘪。其實(shí)土浸，不同的是，一個(gè)是 小于等于號(hào)彭羹，一個(gè)是
等號(hào)黄伊。
-
：表示的是單個(gè)小事件。
-
：多個(gè)小事件組成的大事件派殷。
四还最、聯(lián)合概率密度
我們說，人口密度越大毡惜，這個(gè)地區(qū)的人口越多拓轻。同樣的，概率密度越大经伙，說明這個(gè)區(qū)域的發(fā)生某件事的概率越大扶叉。聯(lián)合概率是多個(gè)事件同時(shí)發(fā)生時(shí)的概率。我們說分布函數(shù)是帕膜，把那些事件枣氧，指定一個(gè)數(shù) ，把所有編號(hào)小于
的事件的概率都加起來垮刹。聯(lián)合概率分布也是一樣的达吞，只是它的變量變多了而已。比如危纫，二維隨機(jī)變量
的分布函數(shù)是
宗挥，下面就是聯(lián)合分布函數(shù)：
既然用了積分种蝶，那么 和
要求變量是連續(xù)的，而不是離散的瞒大。上式中的
就是二維隨機(jī)變量
和
的 聯(lián)合概率密度 螃征。
五、邊緣分布
我們說透敌，聯(lián)合概率分布盯滚，我們關(guān)心的是兩個(gè)變量同時(shí)發(fā)生的概率分布情況。如果我們只關(guān)心一個(gè)變量呢酗电？比如 我們只關(guān)心
的情況魄藕，不關(guān)心
的情況，那么可以這么寫：
這就是關(guān)于 的 邊緣分布函數(shù) 撵术。也就是下面這么計(jì)算：
是關(guān)于
的 邊緣分布函數(shù) 背率。
邊緣分布律
我們說，邊緣分布就是不管其他變量，我們只關(guān)心一個(gè)變量寝姿。下面計(jì)算的是當(dāng) 時(shí)的概率：
這個(gè)就是 邊緣分布律交排。如果我們只關(guān)心
，
的邊緣分布律如下：
邊緣概率密度
對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量 饵筑，
的邊緣分布函數(shù)可以寫成：
所以關(guān)于 的 邊緣概率密度 如下：
這個(gè)很好理解埃篓，一個(gè)變量時(shí)，概率密度是 根资，現(xiàn)在有了
以后架专，而且概率密度用
來表示，當(dāng)我們
確定一個(gè)具體值時(shí)玄帕，我們要把所有當(dāng)
時(shí)的情況加起來胶征，也就是
。關(guān)于
的 邊緣概率密度 如下：
