開刷：《信號(hào)與系統(tǒng)》 Lec #11 離散時(shí)間傅里葉變換性質(zhì)

課本是電子工業(yè)出版社出版的奧本海姆《信號(hào)與系統(tǒng)》第二版，劉樹棠譯梅鹦。

視頻課可以在網(wǎng)易公開課看到谬返，搜索MIT的信號(hào)與系統(tǒng)，老師就是課本的作者光涂。

0. 涉及內(nèi)容

p.236 - p.256

1. 一般性質(zhì)

1.1 離散時(shí)間傅里葉變換的周期性

$X(e^{j (\omega + 2 \pi)}) = X(e^{j \omega})$

離散時(shí)間傅里葉變換 $X(e^{j \omega})$ 是一個(gè)以頻率 $\omega$ 為自變量的周期信號(hào)庞萍，周期為 $2 \pi$ 。

1.2 線性性質(zhì)

$ax_1[n]+bx_2[n] \xleftrightarrow{F} aX_1(e^{j \omega})+bX_2(e^{j \omega})$

1.3 時(shí)移與頻移性質(zhì)

時(shí)移性質(zhì)

$x[n-n_0] \xleftrightarrow{F} e^{-j \omega n_0} X(e^{j \omega})$

頻移性質(zhì)

$e^{j \omega _0 n} x[n] \xleftrightarrow{F} X(e^{j (\omega - \omega _0)})$

1.4 共軛與共軛對(duì)稱性

共軛性質(zhì)
$x^*[n] \xleftrightarrow{F} X^*(e^{-j \omega})$
共軛對(duì)稱性
如果 $x[n]$ 為實(shí)函數(shù)忘闻，那么
$X(e^{j\omega}) = X^*(-j \omega)$

$Ev \{ x[n] \} \xleftrightarrow{F} Re \{ X(e^{j \omega}) \}$

$Od \{ x[n] \} \xleftrightarrow{F} j Im \{ X(j \omega) \}$

1.5 差分與累加

差分
$x[n] - x[n-1] \xleftrightarrow{F} (1-e^{-j \omega}) X(e^{j \omega})$
累加
$\sum_{m = -\infty}^{n} x[m] \xleftrightarrow{F} \frac{1}{1-e^{-j \omega}} X(e^{j \omega}) + \pi X(e^{j0}) \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega - 2\pi k)$

1.6 時(shí)間反轉(zhuǎn)

$x[-n] \xleftrightarrow{F} X(e^{-j \omega})$

1.7 時(shí)域擴(kuò)展

由于離散時(shí)間信號(hào)只能在整數(shù)處取值钝计，所以定義時(shí)域擴(kuò)展信號(hào)
$x_{(k)} [n] = \begin{cases} x[n/k], & n為k的整數(shù)倍 \\ 0, & n不是k的整數(shù)倍 \end{cases}$

那么該擴(kuò)展后的信號(hào)的傅里葉變換為
$x_{(k)} [n] \xleftrightarrow{F} X(e^{jk \omega})$

即原始信號(hào)的傅里葉變換在頻域上被壓縮了 $k$ 倍。

1.8 頻域微分

$nx[n] \xleftrightarrow{F} j \frac{\mathrmnwhdqgw X(e^{j \omega})}{\mathrmpfsk1p1 \omega}$

1.9 帕斯瓦爾定理

$\sum_{n = -\infty}^{+\infty} \vert x[n] \vert ^2 = \frac{1}{2 \pi} \int_{2 \pi} \vert X(e^{j \omega}) \vert ^2 \mathrmlnxyeuk \omega$

2. 卷積性質(zhì)

如果
$y[n] = x[n] * h[n]$

那么
$Y(e^{j \omega}) = X(e^{j \omega})H(e^{j \omega})$

3. 相乘性質(zhì)

如果
$y[n] = x_1 [n] x_2 [n]$

那么
$Y(e^{j \omega}) = \frac{1}{2 \pi} \int_{2 \pi} X_1 (e^{j \theta}) X_2(e^{j(\omega - \theta)}) \mathrmqgfg5gd \theta$

即輸出 $y[n]$ 的傅里葉變換等于輸入兩信號(hào)的周期卷積。

4. 對(duì)偶性

對(duì)偶性參考書中p.253的表5.3.

連續(xù)時(shí)間中私恬，傅里葉變換對(duì) $x(t)$ 和 $X(j \omega)$ 對(duì)偶债沮；

離散時(shí)間中，傅里葉級(jí)數(shù)對(duì) $x[n]$ 和 $a_k$ 對(duì)偶本鸣；

此外疫衩，連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)的分析公式 $a_k$ 和離散時(shí)間傅里葉變換的綜合公式 $x[n]$ 對(duì)偶，連續(xù)時(shí)間 $a_k$ 是周期 $T_0$ 上對(duì) $t$ 的積分荣德，離散時(shí)間傅里葉變換 $x[n]$ 的綜合公式是周期 $2\pi$ 上對(duì) $\omega$ 的積分闷煤。

5. 由線性常系數(shù)差分方程表征的系統(tǒng)

對(duì)于LTI系統(tǒng)，可以通過(guò)下面線性常系數(shù)差分方程描述涮瞻，
$\sum_{k = 0}^{N} a_k y[n-k] = \sum_{k=0}^{M} b_k x[n-k]$

系統(tǒng)的頻率響應(yīng)
$H(e^{j \omega}) = \frac{Y(e^{j \omega})}{X(e^{j \omega})} = \frac{\sum_{k=0}^{M} b_k e^{-jk \omega}}{\sum_{k=0}^{N} a_k e^{-jk \omega}}$

最后編輯于：2020.11.16 16:11:08

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