注：本文是在看了兩篇大牛的博客后睹耐，通過整理供自己學(xué)習(xí)快速排序所做筆記惠窄，分享出來方便大家學(xué)習(xí)设塔。如需進(jìn)一步了解可以查看文中博客鏈接徘禁。
一. 快速排序是什么
快速排序是圖靈獎(jiǎng)得主C. A. R. Hoare（1934--）于1960時(shí)提出來的。
快速排序是對(duì)冒泡排序的一種改進(jìn)千贯。它的基本思想是：通過一趟排序?qū)⒁判虻臄?shù)據(jù)分割成獨(dú)立的兩部分屯仗，其中一部分的所有數(shù)據(jù)都比另外一不部分的所有數(shù)據(jù)都要小，然后再按此方法對(duì)這兩部分?jǐn)?shù)據(jù)分別進(jìn)行快速排序搔谴，整個(gè)排序過程可以遞歸進(jìn)行魁袜，以此達(dá)到整個(gè)數(shù)據(jù)變成有序序列。
整個(gè)排序過程只需要三步：
（1）在數(shù)據(jù)集之中敦第，選擇一個(gè)元素作為"基準(zhǔn)"（pivot）峰弹。
（2）所有小于"基準(zhǔn)"的元素，都移到"基準(zhǔn)"的左邊芜果；所有大于"基準(zhǔn)"的元素鞠呈，都移到"基準(zhǔn)"的右邊。
（3）對(duì)"基準(zhǔn)"左邊和右邊的兩個(gè)子集右钾，不斷重復(fù)第一步和第二步蚁吝，直到所有子集只剩下一個(gè)元素為止旱爆。
二. 快速排序的時(shí)間復(fù)雜度
日本程序員norahiko，寫了一個(gè)排序算法的動(dòng)畫演示窘茁，可以直觀地將快排和其他排序方法的速度進(jìn)行對(duì)比怀伦。
三. 快速排序?yàn)槭裁茨敲纯?/h2>
根據(jù)劉偉鵬的數(shù)學(xué)之美番外篇：快排為什么那樣快一文所述，快排的本質(zhì)上是一種通過問問題來縮小結(jié)果的可能性區(qū)間的策略山林。
下面我們將從最基本的猜數(shù)字和稱小球講起房待，總結(jié)其中蘊(yùn)含的規(guī)律，然后一步步引申到排序問題上去驼抹。
1. 猜數(shù)字
假設(shè)有一個(gè)164之間的數(shù)桑孩，你來猜（你只能問答案是“是”或“否”的問題）。為了保證不論在什么情況下都能以盡量少的次數(shù)猜中框冀，你應(yīng)該采取什么策略呢流椒？很顯然，二分左驾。先是猜是不是位于132之間镣隶，排除掉一半可能性，然后對(duì)區(qū)間繼續(xù)二分诡右。這種策略能夠保證無論數(shù)字怎么跟你捉迷藏安岂，都能在log_2{n}次以內(nèi)猜中。用算法的術(shù)語來說就是它的下界是最好的帆吻。
為什么這種策略具有最優(yōu)下界域那？答案也很簡(jiǎn)單，這個(gè)策略是平衡的猜煮。反之如果策略不是平衡的次员，比如問是不是在110之間，那么一旦發(fā)現(xiàn)不是在110之間的話就會(huì)剩下比N/2更多的可能性需要去考察了王带。
這種策略的本質(zhì)可以概括成“讓未知世界無機(jī)可乘”淑蔚。它是沒有“弱點(diǎn)的”，答案的任何一個(gè)分支都是等概率的愕撰。反之刹衫，一旦某個(gè)分支蘊(yùn)含的可能性更多，當(dāng)情況落到那個(gè)分支上的時(shí)候你就郁悶了搞挣。比如猜數(shù)字游戲最糟糕的策略就是一個(gè)一個(gè)的猜：是1嗎带迟？是2嗎？… 因?yàn)檫@種猜法最差的情況下需要64次才能猜對(duì)囱桨，下界非常糟糕仓犬。二分搜索為什么好，就是因?yàn)樗看味紝⒖赡苄耘懦话氩⑶覠o論如何都能排除一半（它是最糟情況下表現(xiàn)最好的）舍肠。
2. 稱小球
12個(gè)小球搀继，其中有一個(gè)是壞球窘面。有一架天平。需要你用最少的稱次數(shù)來確定哪個(gè)小球是壞的并且它到底是輕還是重律歼。這個(gè)問題是一道流傳已久的智力題民镜。
我們先回顧一下猜數(shù)字游戲啡专。為了保證任何情況下以最少次數(shù)猜中险毁，我們的策略是每次都排除恰好一半的可能性。類比到稱球問題上：壞球可能是12個(gè)球中的任意一個(gè)们童，這就是12種可能性畔况；而其中每種可能性下壞球可能輕也可能重。于是“壞球是哪個(gè)球慧库，是輕是重”這個(gè)問題的答案就有12×2=24種可能性□喂颍現(xiàn)在我們用天平來稱球，就等同于對(duì)這24種可能性發(fā)問齐板，由于天平的輸出結(jié)果有三種“平衡吵瞻、左傾、右傾”甘磨，這就相當(dāng)于我們的問題有三個(gè)答案橡羞，即可以將所有的可能性切成三份，根據(jù)猜數(shù)字游戲的啟發(fā)济舆，我們應(yīng)當(dāng)盡量讓這三個(gè)分支概率均等卿泽，即平均切分所有的可能性為三等份。如此一來的話一次稱量就可以將答案的可能性縮減為原來的1/3滋觉，三次就能縮減為1/27签夭。而總共才有24種可能性，所以理論上是完全可以3次稱出來的椎侠。
如何稱的指導(dǎo)原則有了第租，構(gòu)造一個(gè)稱的策略就不是什么太困難的事情了。首先不妨解釋一下為什么最直觀的稱法不是最優(yōu)的——6我纪、6稱：在6慎宾、6稱的時(shí)候，天平平衡的可能性是0宣羊，也就是說我們得到的信息量為零璧诵。剛才說了，最優(yōu)策略應(yīng)該使得天平三種狀態(tài)的概率均等仇冯，這樣才能三等分答案的所有可能性之宿。
只要記著這樣一個(gè)指導(dǎo)思想——你選擇的稱法必須使得當(dāng)天平平衡的時(shí)候答案剩下的可能性和天平左傾（右傾）的時(shí)候答案剩下的可能性一樣多。實(shí)際上苛坚，這等同于你得選擇一種稱法比被，使得天平輸出三種結(jié)果的概率是均等的色难，因?yàn)樘炱捷敵瞿硞€(gè)結(jié)果的概率就等同于所有支持這個(gè)結(jié)果（左傾、右傾等缀、平衡）的答案可能性的和枷莉，并且答案的每個(gè)可能性都是等概率的。
MacKay在他的書《Information Theory: Inference and Learning Algorithms》（作者開放免費(fèi)電子書）里面4.1節(jié)專門講了這個(gè)稱球問題尺迂，還畫了一張不錯(cuò)的圖：
圖中“1+”是指“1號(hào)小球?yàn)橹亍边@一可能性笤妙。一開始一共有24種可能性。4噪裕、4稱了之后不管哪種情況（分支）蹲盘，剩下來的可能性總是4種。這是一個(gè)完美的三分膳音。然后對(duì)每個(gè)分支構(gòu)造第二次稱法召衔，這里你只要稍加演算就可以發(fā)現(xiàn)，分支1上的第二次稱法祭陷，即“1苍凛、2、6對(duì)3兵志、4醇蝴、5”這種稱法，天平輸出三種結(jié)果的可能性是均等的（嚴(yán)格來說是幾乎均等）毒姨。這就是為什么這個(gè)稱法能夠在最壞的情況下也能表現(xiàn)最好的原因哑蔫，沒有哪個(gè)分支是它的弱點(diǎn)，它必然能將情況縮小到原來的1/3弧呐。
3. 排序（理想情況）
用前面的看問題視角闸迷，排序的本質(zhì)可以這樣來表述：一組未排序的N個(gè)數(shù)字，它們一共有N!種重排俘枫，其中只有一種排列是滿足題意的（譬如從大到小排列）腥沽。換句話說，排序問題的可能性一共有N!種鸠蚪。任何基于比較的排序的基本操作單元都是“比較a和b”今阳，這就相當(dāng)于猜數(shù)字游戲里面的一個(gè)問句，顯然這個(gè)問句的答案只能是“是”或“否”茅信，一個(gè)只有兩種輸出的問題最多只能將可能性空間切成兩半盾舌，根據(jù)上面的思路，最佳切法就是切成1/2和1/2蘸鲸。也就是說妖谴，我們希望在比較了a和b的大小關(guān)系之后，如果發(fā)現(xiàn)a<b的話剩下的排列可能性就變成N!/2，如果發(fā)現(xiàn)a>b也是剩下N!/2種可能性膝舅。由于假設(shè)每種排列的概率是均等的嗡载，所以這也就意味著支持a<b的排列一共有N!/2個(gè)，支持a>b的也是N!/2個(gè)仍稀，換言之洼滚，a<b的概率等于a>b的概率。
我們希望每次在比較a和b的時(shí)候技潘，a<b和a>b的概率是均等的遥巴，這樣我們就能保證無論如何都能將可能性縮小為原來的一半了！最優(yōu)下界崭篡。
一個(gè)直接的推論是挪哄，如果每次都像上面這樣的完美比較吧秕，那么N個(gè)元素的N!種可能排列只需要log_2{N!}就排查玩了琉闪，而log_2{N!}近似于NlogN。這正是快排的復(fù)雜度砸彬。
4. 排序（實(shí)際情況）
我們考慮快排的過程：隨機(jī)選擇一個(gè)元素做“軸元素”颠毙，將所有大于軸元素的移到左邊，其余移到右邊砂碉。根據(jù)這個(gè)過程蛀蜜，快排的第一次比較就是將一個(gè)元素和軸元素比較，這個(gè)時(shí)候顯而易見的是增蹭，“大于”和“小于”的可能性各占一半滴某。這是一次漂亮的比較。
然而滋迈，快排的第二次比較就不那么高明了：我們不妨令軸元素為pivot霎奢，第一次比較結(jié)果是a1<pivot，那么可以證明第二次比較a2也小于pivot的可能性是2/3饼灿！這容易證明：如果a2>pivot的話幕侠，那么a1，a2碍彭，pivot這三個(gè)元素之間的關(guān)系就完全確定了——a1<pivot<a2晤硕，剩下來的元素排列的可能性我們不妨記為P（不需要具體算出來）。而如果a2<pivot呢庇忌？那么a1和a2的關(guān)系就仍然是不確定的舞箍，也就是說，這個(gè)分支里面含有兩種情況：a1<a2<pivot皆疹，以及a2<a1<pivot疏橄。對(duì)于其中任一種情況，剩下的元素排列的可能性都是P墙基，于是這個(gè)分支里面剩下的排列可能性就是2P软族。所以當(dāng)a2<pivot的時(shí)候刷喜，還剩下2/3的可能性需要排查。
再進(jìn)一步立砸，如果第二步比較果真發(fā)現(xiàn)a2<pivot的話掖疮，第三步比較就更不妙了，模仿上面的推理颗祝，a3<pivot的概率將會(huì)是3/4浊闪！
這就是快排也不那么快的原因，因?yàn)樗矝]有做到每次比較都能將剩下的可能性砍掉一半螺戳。
5. 小節(jié)
將排序問題看成和猜數(shù)字一樣搁宾，是通過問問題來縮小/排除（narrow down）結(jié)果的可能性區(qū)間，這樣一來倔幼，就會(huì)發(fā)現(xiàn)盖腿，“最好的問題”就是那些能夠均分所有可能性的問題，因?yàn)槟菢拥脑挷还軉栴}的答案如何损同，都能排除掉k-1/k（k為問題的答案有多少種輸出——猜數(shù)字里面是2翩腐，稱球里面是3）種可能性，而不均衡的問題總會(huì)有一個(gè)或一些答案分支排除掉的可能性要小于k-1/k膏燃。于是策略的下界就被拖累了茂卦。
四. 快速排序的具體實(shí)現(xiàn)
知道了快排的思想與原理，下面我們就用javascript來具體實(shí)現(xiàn)一下快排组哩。
首先等龙，定義一個(gè)quickSort函數(shù)，它的參數(shù)是一個(gè)數(shù)組伶贰。
var quickSort = function(arr) {
};
然后蛛砰，檢查數(shù)組的元素個(gè)數(shù)，如果小于等于1幕袱，就返回暴备。
var quickSort = function(arr) {
if (arr.length <= 1) { return arr; }
};
接著，選擇"基準(zhǔn)"（pivot）们豌，并將其與原數(shù)組分離涯捻，再定義兩個(gè)空數(shù)組，用來存放一左一右的兩個(gè)子集望迎。
var quickSort = function(arr) {
if (arr.length <= 1) { return arr; }
var pivotIndex = Math.floor(arr.length / 2) ;
var pivot = arr.splice(pivotIndex, 1)[0];
var left = [];
var right = [];
};
然后障癌，開始遍歷數(shù)組，小于"基準(zhǔn)"的元素放入左邊的子集辩尊，大于基準(zhǔn)的元素放入右邊的子集涛浙。
var quickSort = function(arr) {
if (arr.length <= 1) { return arr; }
var pivotIndex = Math.floor(arr.length / 2) ;
var pivot = arr.splice(pivotIndex, 1)[0];
var left = [];
var right = [];
for (var i = 0; i < arr.length; i++){
if (arr[i] < pivot) {
left.push(arr[i]);
} else {
right.push(arr[i]);
}
}
};
最后，使用遞歸不斷重復(fù)這個(gè)過程，就可以得到排序后的數(shù)組轿亮。
var quickSort = function(arr) {
if (arr.length <= 1) { return arr; }
var pivotIndex = Math.floor(arr.length / 2);
var pivot = arr.splice(pivotIndex, 1)[0];
var left = [];
var right = [];
for (var i = 0; i < arr.length; i++){
if (arr[i] < pivot) {
left.push(arr[i]);
} else {
right.push(arr[i]);
}
}
return quickSort(left).concat([pivot], quickSort(right));
};
使用的時(shí)候疮薇，直接調(diào)用quickSort()就行了。
參考來源：阮一峰我注、劉未鵬
