姓名：林明聰；學(xué)號(hào)：21021210897；學(xué)院：電子工程學(xué)院
【嵌牛導(dǎo)讀】用自相關(guān)描述信號(hào)自身的相關(guān)性黍瞧，用互相關(guān)描述信號(hào)間的相關(guān)性。
【嵌牛鼻子】信號(hào)自相關(guān)原杂，信號(hào)互相關(guān)
【嵌牛提問】如何用數(shù)學(xué)公式描述信號(hào)的相關(guān)性印颤？
轉(zhuǎn)載自https://blog.csdn.net/mrdonghe/article/details/105822950
自相關(guān)（Autocorrelation），也叫序列相關(guān)穿肄，是一個(gè)信號(hào)與其自身在不同時(shí)間點(diǎn)的互相關(guān)年局。非正式地來說，自相關(guān)是對(duì)同一信號(hào)在不同時(shí)間的兩次觀察被碗，通過對(duì)比來評(píng)判兩者的相似程度某宪。自相關(guān)函數(shù)就是信號(hào)x(t)和它的時(shí)移信號(hào)x(t-τ)的乘積平均值。它是時(shí)移變量τ的函數(shù)锐朴。
這是從書上抄來的話兴喂，到底是什么意思呢？
說人話焚志！好吧衣迷，讓我來編一個(gè)有關(guān)潛伏的故事：
話說余則成要到火車站去交換情報(bào)，他需要在火車靠站的短短幾分鐘內(nèi)找到這位情報(bào)員并完成交換工作酱酬，在熙熙攘攘的火車站里壶谒，除非事先知道情報(bào)員所在的車廂，否則根本來不及膳沽。任務(wù)的前一天汗菜，他收到了含有情報(bào)員所在車廂的密電，密電如下：
這是什么鬼挑社？
這是一段隨機(jī)信號(hào)陨界，但在其中隱藏了一個(gè)正弦，你能看得出來嗎痛阻？
余則成同志的智商是比較高的菌瘪，也是上過大學(xué)的，他的眼睛在雜亂無章的隨機(jī)曲線上來回快速掃描阱当，運(yùn)用自己所有的知識(shí)俏扩，希望能找出那個(gè)正弦來糜工。半個(gè)小時(shí)后……終于，
他什么也沒發(fā)現(xiàn)录淡。
余則成想了一個(gè)笨辦法捌木，他讓翠平把曲線照貓畫虎地描出一小段來，然后拿著翠平的畫樣在整個(gè)曲線上一點(diǎn)一點(diǎn)地進(jìn)行對(duì)比赁咙。
怎么對(duì)比呢钮莲？無非是“加、減彼水、乘崔拥、除”之類。但因?yàn)椤凹臃锔病p”屬于同量級(jí)的變化链瓦，用肉眼就能大概地完成，而“除”則具有縮小功能盯桦。所以慈俯，為放大曲線中的差異，顯然“乘法”大概是比較好的選擇拥峦。
然后怎么辦呢贴膘？總不能用“有點(diǎn)像”、“很像”略号、“很不像”這樣的詞來評(píng)價(jià)吧刑峡。他將整個(gè)比較過程分為四個(gè)步驟：
第一步：將“畫樣”與原信號(hào)中的開始端對(duì)齊，逐點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)地相乘玄柠，得到一小段新曲線突梦；
第二步：將新曲線上各個(gè)點(diǎn)的值進(jìn)行算術(shù)平均，得到一個(gè)均值羽利；
第三步：將得到的均值描繪在最終曲線圖中宫患；
第四步：將“畫樣”向后挪動(dòng)一點(diǎn)（“步距”），重復(fù)上述過程这弧，直至“畫樣”移動(dòng)到曲線末端娃闲。
這個(gè)工作很繁瑣，但好在不太難匾浪，余則成教會(huì)翠平后就忙著應(yīng)付陸橋山去了畜吊，等晚上回到家，看到的結(jié)果雖然不是太滿意户矢，但最終的曲線中還是表現(xiàn)出了很強(qiáng)的規(guī)律性，他拿尺子量了所有“鋸齒”的間距殉疼，取了個(gè)平均值梯浪，得到了Δt≈0.2s捌年，取倒數(shù)便是5Hz。第二天挂洛，余則成順利地在5號(hào)車廂與情報(bào)員完成了交接礼预。
好吧，我承認(rèn)虏劲，這個(gè)故事編的不太認(rèn)真托酸，不過戲劇性本來也不是我們這里討論的重點(diǎn)哈。
我們只是想通過這個(gè)小栗子來說明柒巫，“自相關(guān)”這種數(shù)據(jù)處理方法励堡，可以發(fā)現(xiàn)隱藏在雜亂信號(hào)中的有用信息。這個(gè)能力是相當(dāng)重要的堡掏，因?yàn)楣こ虒?shí)際中的信號(hào)应结，不可避免地要受到各種干擾，嚴(yán)重的時(shí)候會(huì)完全淹沒真正有用的數(shù)據(jù)泉唁。自相關(guān)能找出重復(fù)信息（被噪聲掩蓋的周期信號(hào)）鹅龄，或識(shí)別隱含在信號(hào)諧波頻率中消失的基頻，它常用于時(shí)域信號(hào)的分析亭畜。
用數(shù)學(xué)的語言表述扮休，則是：自相關(guān)函數(shù)是信號(hào)在時(shí)域中特性的平均度量，它用來描述信號(hào)在一個(gè)時(shí)刻的取值與另一時(shí)刻取值的依賴關(guān)系拴鸵。
另外玷坠，上面的這個(gè)例子也僅是故事性的，并不滿足數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性宝踪。實(shí)際上侨糟，數(shù)學(xué)上是這樣定義的：
這個(gè)公式中，τ是進(jìn)行“比較”時(shí)移動(dòng)的“步距”瘩燥。而整個(gè)公式的意思是“將x(t)進(jìn)行時(shí)移秕重，得到x(t+τ)，然后將其與x(t)在整個(gè)范圍內(nèi)逐點(diǎn)進(jìn)行相乘厉膀，得到一條新曲線溶耘，這條曲線下方所圍成的面積就是一個(gè)R值。改變τ的取值服鹅，再來一次凳兵，……，如此不斷重復(fù)企软，R的一系列值將成為R(τ)曲線庐扫，這就是自相關(guān)曲線”。
自相關(guān)函數(shù)就是信號(hào)x(t)和它的時(shí)移信號(hào)x(t+τ)乘積的平均值，它是時(shí)移變量τ的函數(shù)形庭。
如果能明確地看出原始數(shù)據(jù)有周期性铅辞，那么就不必在整個(gè)數(shù)軸范圍（-∞~+∞）內(nèi)進(jìn)行移動(dòng)比較了，只需要移動(dòng)一個(gè)周期（T）即可：
明白了自相關(guān)萨醒，互相關(guān)也就好懂了斟珊。其實(shí)，大多數(shù)教材都是先講互相關(guān)的富纸。因?yàn)槎诓龋^相關(guān)性，從字面的意思就是指兩組數(shù)據(jù)晓褪，把它們相互比較堵漱，看看有沒有關(guān)聯(lián)。自相關(guān)是自己和自己比辞州，互相關(guān)呢怔锌，自然就是兩個(gè)不同信號(hào)之間相互比：
基本定義介紹完了，我們來看看变过，自相關(guān)函數(shù)有什么特點(diǎn)埃元。
假設(shè)有一個(gè)余弦信號(hào)：
它的自相關(guān)函數(shù)是什么呢？根據(jù)定義媚狰，有：
可以看到岛杀，自相關(guān)函數(shù)仍為余弦，且頻率不變崭孤。如果信號(hào)是由兩個(gè)頻率與初相角不同的頻率分量組成类嗤，同樣可以證明，余弦信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)還是是一個(gè)余弦函數(shù)辨宠。它保留了原信號(hào)的頻率成分遗锣，其頻率不變，幅值等于原幅值平方的一半嗤形，即等于該頻率分量的平均功率精偿，但丟失了相角的信息。
自相關(guān)函數(shù)具有如下主要性質(zhì)：
(1). 自相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)赋兵，
笔咽，其圖形對(duì)稱于縱軸。因此霹期，不論時(shí)移方向是導(dǎo)前還是滯后（τ為正或負(fù)）叶组，函數(shù)值不變；
(2). 當(dāng)τ＝0時(shí)历造，自相關(guān)函數(shù)具有最大值甩十，且等于信號(hào)的均方值船庇；
(3). 周期信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)仍為同頻率的周期信號(hào)；
(4). 若隨機(jī)信號(hào)不含周期成分枣氧，當(dāng)τ趨于無窮大時(shí)溢十，自相關(guān)函數(shù)趨于信號(hào)平均值的平方。
典型應(yīng)用：
(1). 檢測(cè)信號(hào)回聲（反射）达吞。若在寬帶信號(hào)中存在著帶時(shí)間延遲τ0的回聲，那么該信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)將在τ=τ0處也達(dá)到峰值（另一峰值在τ=0處）荒典，這樣可根據(jù)τ0確定反射體的位置酪劫。
(2). 檢測(cè)淹沒在隨機(jī)噪聲中的周期信號(hào)。由于周期信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)仍是周期性的寺董，而隨機(jī)噪聲信號(hào)隨著延遲增加覆糟，它的自相關(guān)函數(shù)將減到零。因此在一定延遲時(shí)間后遮咖，被干擾信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)中就只保留了周期信號(hào)的信息滩字，而排除了隨機(jī)信號(hào)的干擾。
另外御吞，相關(guān)函數(shù)的計(jì)算與卷積的計(jì)算有點(diǎn)關(guān)系麦箍。
從定義式中可以看到，互相關(guān)函數(shù)和卷積運(yùn)算類似陶珠，也是兩個(gè)序列滑動(dòng)相乘挟裂，但是區(qū)別在于：互相關(guān)的兩個(gè)序列都不翻轉(zhuǎn)，直接滑動(dòng)相乘揍诽，求和诀蓉；卷積的其中一個(gè)序列需要先翻轉(zhuǎn)，然后滑動(dòng)相乘暑脆，求和渠啤。所以，x(t)和y(t)做相關(guān)等于x(t)與y(-t)做卷積添吗。
