《數(shù)學(xué)之美》

作者是“得到”App專欄《吳軍的谷歌方法論》的主理人吳軍颈将。

我們每個(gè)人都是從小就開始學(xué)數(shù)學(xué)梢夯，但是除了少數(shù)學(xué)霸之外，多數(shù)人說起數(shù)學(xué)晴圾，恐怕都會(huì)覺得太難颂砸、太深?yuàn)W。而且很多時(shí)候死姚，似乎我們的工作也不需要那么多復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)人乓。或許你還會(huì)發(fā)出一個(gè)疑問：我并不以數(shù)學(xué)為生都毒，那我真的需要理解數(shù)學(xué)嗎色罚？

不過有些事實(shí)我們無法回避，這個(gè)世界屬于科學(xué)范疇的各種知識(shí)账劲，它的底層邏輯戳护，幾乎都離不開數(shù)學(xué)。我們現(xiàn)代生活的方方面面瀑焦，無論是現(xiàn)實(shí)的物質(zhì)世界腌且，還是虛擬的網(wǎng)絡(luò)社會(huì)，都建立在一個(gè)用數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)里榛瓮。

《數(shù)學(xué)之美》這本書最大的價(jià)值铺董，是告訴我們，數(shù)學(xué)是以什么方式定義了我們的世界禀晓，數(shù)學(xué)思維的魅力究竟在哪里精续。你可以不懂那么多復(fù)雜的公式，但如果你理解了數(shù)學(xué)背后的思維方式粹懒，有了感知和理解這個(gè)世界的能力重付，就會(huì)進(jìn)入一個(gè)新境界。

這里崎淳，我再簡要介紹一下本書的作者吳軍老師堪夭，他先后供職于谷歌和騰訊，是谷歌中日韓文搜索算法的主要設(shè)計(jì)者拣凹。他在谷歌期間領(lǐng)導(dǎo)參與了很多研發(fā)項(xiàng)目森爽，擅長用數(shù)學(xué)的方法來解決通信、信息領(lǐng)域的實(shí)際問題嚣镜，是著名的自然語言處理專家和搜索專家爬迟。李開復(fù)曾經(jīng)這樣評(píng)價(jià)這本書說，在吳軍的筆下菊匿，數(shù)學(xué)不是我們一般聯(lián)想到的枯燥深?yuàn)W的符號(hào)付呕，而是實(shí)實(shí)在在源于生活的有趣現(xiàn)象和延伸计福。這本書，是送給這個(gè)社會(huì)和年輕人最好的禮物徽职。

好象颖，接下來我就分三個(gè)重點(diǎn)，來給你講講這本書的主要內(nèi)容姆钉。

第一说订，數(shù)學(xué)的用處都有什么？

第二潮瓶，數(shù)學(xué)為什么這么有用陶冷？

第三，為什么說數(shù)學(xué)之美就是簡單之美毯辅？

第一部分

我們先來看看第一個(gè)重點(diǎn)：數(shù)學(xué)的用處都有什么埂伦？

我們現(xiàn)在每天都離不開的手機(jī)和電腦，其實(shí)本質(zhì)上也就是各種計(jì)算機(jī)思恐，要想讓它們輔助我們的生活工作沾谜，就避免不了讓它們處理人類的文字和語言，比如語音文字轉(zhuǎn)換胀莹、語言翻譯等等类早，那你知道計(jì)算機(jī)處理人類的文字、語言背后的原理是什么嗎嗜逻？

其實(shí)在很早以前，人們就已經(jīng)試著用數(shù)學(xué)來解決文字校驗(yàn)的問題了缭召。我們知道栈顷，猶太人信仰猶太教，猶太教的經(jīng)典是《圣經(jīng)》中的《舊約》嵌巷，里面記載著猶太人的歷史萄凤。可是搪哪，《圣經(jīng)》不是由一個(gè)人寫成的靡努，它的寫作過程經(jīng)歷了好幾個(gè)世紀(jì)，所以之后的作者在補(bǔ)充《圣經(jīng)》時(shí)晓折，就會(huì)面臨一個(gè)問題惑朦，那就是怎么在抄寫的過程中不出現(xiàn)錯(cuò)誤？人的馬虎總是難以避免漓概，所以這本應(yīng)該是一個(gè)難題漾月。

但是聰明的猶太人發(fā)明了一種方法。他們?cè)诔瓕憽妒ソ?jīng)》時(shí)胃珍，會(huì)把每一個(gè)希伯來字母對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)字梁肿，這樣蜓陌，每行或者每列文字加起來都對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是這一行或這一列的校驗(yàn)碼吩蔑。這樣一來钮热，抄完之后只要對(duì)比每行每列的校驗(yàn)碼正不正確就行了，如果發(fā)現(xiàn)校驗(yàn)碼有錯(cuò)烛芬，那通過行和列的校驗(yàn)碼隧期，也可以很快地定位到抄錯(cuò)的地方。這背后的原理蛀骇，和我們今天的各種校驗(yàn)也是相同的厌秒。

那人類的自然語言該怎么處理呢？在這個(gè)問題上擅憔，人們?cè)?jīng)走過很多彎路鸵闪。其實(shí)最開始的時(shí)候，科學(xué)家們按照仿生學(xué)的思路暑诸，堅(jiān)持認(rèn)為蚌讼，要讓計(jì)算機(jī)學(xué)會(huì)處理自然語言，就必須像人一樣个榕，先讓它理解自然語言篡石，讓它學(xué)會(huì)語法。但是后來人們發(fā)現(xiàn)西采，語法規(guī)則實(shí)在太多凰萨，根本沒有辦法窮盡。因?yàn)槲覀內(nèi)粘Ｓ玫淖匀徽Z言其實(shí)很復(fù)雜械馆，不同的語境胖眷，不同的上下文，不同的語序霹崎，都會(huì)產(chǎn)生完全不同的語義珊搀。根據(jù)計(jì)算，就算覆蓋我們平時(shí)常用語言的20%尾菇，都要寫幾萬條語法境析，這個(gè)工作量就已經(jīng)是天文數(shù)字了。而且寫到后面派诬，還會(huì)有自相矛盾的語法劳淆，為了區(qū)分，還要注明什么環(huán)境下用什么語法默赂，整個(gè)過程無比繁瑣憔儿。所以讓計(jì)算機(jī)學(xué)習(xí)語法這一條路，在上個(gè)世紀(jì)70年代就走到了盡頭放可。

就在人們一籌莫展的時(shí)候谒臼，數(shù)學(xué)的威力顯示了出來朝刊。數(shù)學(xué)的魅力就在于讓復(fù)雜的問題簡單化。美國著名的計(jì)算機(jī)科學(xué)家賈里尼克領(lǐng)導(dǎo)他的實(shí)驗(yàn)室蜈缤，借助數(shù)學(xué)中的統(tǒng)計(jì)學(xué)工具拾氓，把當(dāng)時(shí)語言識(shí)別的成功率從70%提升到90%，同時(shí)讓語言識(shí)別的規(guī)模底哥，從幾千個(gè)單詞上升到幾萬個(gè)單詞咙鞍，讓語言識(shí)別有了實(shí)際應(yīng)用的可能。聽到這兒你可能很疑惑趾徽，統(tǒng)計(jì)學(xué)和自然語言好像沒什么關(guān)系续滋，它怎么處理自然語言呢？其實(shí)賈里尼克的思路很簡單孵奶，他認(rèn)為疲酌，要判斷一個(gè)句子正不正確，就要看這個(gè)句子出現(xiàn)的可能性的大小了袁，這個(gè)可能性用概率來衡量朗恳。比如，我們假定第一個(gè)句子出現(xiàn)的概率是二分之一载绿，第二個(gè)句子出現(xiàn)的概率是千分之一粥诫，那第一個(gè)句子出現(xiàn)的可能性就比第二個(gè)句子大得多，那么從概率的角度來說崭庸，第一個(gè)句子就更有可能是正確的怀浆。

所以接下來我們需要做的事，就是判斷一個(gè)句子出現(xiàn)的可能性有多大怕享。這時(shí)就需要用到“馬爾科夫假設(shè)”揉稚，這個(gè)假設(shè)是說，假定一個(gè)句子里每個(gè)詞出現(xiàn)的概率熬粗，只和前一個(gè)詞有關(guān)，就好比“漲陀嗑常”這個(gè)詞驻呐，最有可能出現(xiàn)在“股票”這個(gè)詞之后。那么芳来，只要給計(jì)算機(jī)量足夠大的機(jī)讀文本含末，也就是專業(yè)人士說的語料庫，計(jì)算機(jī)就能算出來即舌，在一個(gè)特定詞后面出現(xiàn)某個(gè)詞的概率佣盒。這樣，只要把一句話里所有詞出現(xiàn)的概率相乘顽聂，就是這個(gè)句子出現(xiàn)的概率肥惭。概率最大的句子盯仪，就是最有可能正確的句子。按照這個(gè)思路蜜葱，科學(xué)家們成功地讓計(jì)算機(jī)擁有了處理自然語言的能力全景。

你看，一個(gè)用幾萬條復(fù)雜語法解決不了的問題牵囤，用數(shù)學(xué)工具就輕松地解決了爸黄，而且效果還要好得多。那除了自然語言揭鳞，我們今天用手機(jī)炕贵、用電腦，最常做的一個(gè)動(dòng)作之一就是“搜索”野崇。很多人喜歡點(diǎn)網(wǎng)站上的分類標(biāo)簽称开，看自己特別感興趣的新聞。那計(jì)算機(jī)是怎么給這些新聞分類的呢舞骆？這背后的原理也就是數(shù)學(xué)钥弯。這就是我們最開始舉的那個(gè)例子：余弦定理能幫助新聞網(wǎng)站進(jìn)行新聞分類。

余弦定理大家中學(xué)都學(xué)過督禽，你可能忘了脆霎，我來跟你復(fù)習(xí)一下啊。它是一個(gè)揭示三角形邊角關(guān)系的重要數(shù)學(xué)定理狈惫，使用余弦定理睛蛛，就可以僅憑三角形兩個(gè)邊的向量，計(jì)算出這兩個(gè)邊的夾角胧谈。向量就是有特定長度和方向的量忆肾，可以表示為帶箭頭的線段。

具體該怎么做呢菱肖？一篇新聞里會(huì)有很多詞客冈，像“之乎者也的”這種虛詞，對(duì)判斷新聞的分類沒有太大的意義稳强。而像“股票”“利息”這種實(shí)詞场仲，是判斷新聞分類的重點(diǎn)詞⊥艘撸科學(xué)家精選了一個(gè)詞匯表渠缕，這里面收錄著64000個(gè)詞，每個(gè)詞都對(duì)應(yīng)一個(gè)編號(hào)褒繁。他們先把大量文字?jǐn)?shù)據(jù)輸入計(jì)算機(jī)亦鳞，算出每個(gè)詞出現(xiàn)的次數(shù)。

一般來說，出現(xiàn)次數(shù)越少的詞越有搜索價(jià)值燕差，比如“愛因斯坦”“數(shù)學(xué)之美”遭笋；而出現(xiàn)次數(shù)越多的詞，越?jīng)]有搜索價(jià)值谁不，比如“一個(gè)”“這里”等等坐梯。根據(jù)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，把詞匯表里的64000個(gè)詞都算出各自的權(quán)重刹帕，越特殊的詞權(quán)重越大吵血。然后，再往計(jì)算機(jī)里輸入要分類的新聞偷溺，計(jì)算出這64000個(gè)詞在這篇新聞里的分布蹋辅，如果某些詞沒有在這篇新聞里出現(xiàn)，對(duì)應(yīng)的值就是零挫掏，如果出現(xiàn)侦另，對(duì)應(yīng)的值就是這個(gè)詞的權(quán)重。這樣尉共，這64000個(gè)數(shù)褒傅，就構(gòu)成了一個(gè)64000維的向量，我們就用這個(gè)向量來代表這篇新聞袄友，把它叫做這篇新聞的特征向量殿托。

不同類型的新聞，用詞上有不同的特點(diǎn)剧蚣，比如金融類新聞就經(jīng)常出現(xiàn)“股票”“銀行”這些詞支竹，所以不難判斷，同類新聞的特征向量會(huì)有相似性鸠按。這樣的話礼搁，只要算出不同新聞特征向量之間夾角的大小，就可以判斷出它們是不是同一類新聞目尖。這時(shí)就要用到余弦定理馒吴，來把兩則新聞的特征向量之間的夾角算出來∩科學(xué)家可以人工設(shè)定一個(gè)值饮戳，只要兩個(gè)向量之間的夾角小于這個(gè)值，這兩則新聞就可以判定成同一類新聞测蹲。你看，一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)定理鬼吵，通過科學(xué)家們的巧妙應(yīng)用扣甲，再次舉重若輕地解決了一個(gè)難題。

來給你總結(jié)一下這部分的內(nèi)容×鹜冢科學(xué)家們使用了統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法启泣，用概率的大小判斷一個(gè)句子的正確性，從而讓計(jì)算機(jī)獲得了處理自然語言的能力示辈。而在新聞分類領(lǐng)域里寥茫，科學(xué)家們用到了余弦定理，來判斷新聞的特征向量之間的夾角矾麻，從而讓計(jì)算機(jī)能夠確定新聞的類別纱耻。

那咱們來回答一下這個(gè)部分的問題“數(shù)學(xué)的用處都有什么”。吳軍在書中說技術(shù)分為“道”和“術(shù)”兩種险耀，做事的原理和原則是“道”弄喘，而做事的具體方法就是“術(shù)”。我覺得數(shù)學(xué)真正的作用甩牺，就是讓我們掌握“道”蘑志。因?yàn)閺臍v史的發(fā)展來看，所有的“術(shù)”都會(huì)從獨(dú)門秘籍到普及再到落伍贬派，就像吳軍說的只有掌握了“道”的人才能永遠(yuǎn)游刃有余急但。

第二部分

說完了數(shù)學(xué)的作用，可能有人還是覺得不太服氣：沒錯(cuò)搞乏，數(shù)學(xué)有時(shí)候確實(shí)有用波桩，但是人類也不是離不開數(shù)學(xué)，我不懂?dāng)?shù)學(xué)也可以憑經(jīng)驗(yàn)來認(rèn)識(shí)世界查描，來解決問題突委。有這種觀點(diǎn)的人可能不在少數(shù)，但吳軍在書里告訴我們冬三，很多問題光靠經(jīng)驗(yàn)累積是沒辦法解決的匀油，必須要有數(shù)學(xué)的幫助才能得到答案，這是為什么呢勾笆？第二個(gè)重點(diǎn)我就給你說說：數(shù)學(xué)為什么這么有用敌蚜？

和經(jīng)驗(yàn)相比，數(shù)學(xué)能幫助我們的窝爪，就是能讓我們找到一個(gè)正確的數(shù)學(xué)模型弛车。這有多重要呢？吳軍說蒲每，只有正確的數(shù)學(xué)模型纷跛，才能把一個(gè)大問題的計(jì)算復(fù)雜度降低，讓它變得簡單邀杏。而經(jīng)驗(yàn)給我們的模型贫奠，常常是錯(cuò)的唬血，那由它總結(jié)出來的結(jié)論，也就是錯(cuò)的唤崭。

比如人類從古時(shí)候起拷恨，就想弄清楚天上星星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，因?yàn)槲覀兩硖幍厍蛑闲簧觯怨湃藗冏铋_始很自然地把地球當(dāng)成了宇宙的中心腕侄。其他的星體，不管是太陽芦疏、月亮還是金木水火土這幾大行星冕杠，在古人的眼里都在圍繞地球旋轉(zhuǎn)。這種基本認(rèn)知就是我們今天常說的“地心說”眯分。但是實(shí)際上拌汇，除了月亮以外，其他所有星體實(shí)際上并不是繞著地球轉(zhuǎn)的弊决，所以這些星體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律噪舀，在地球上看來就特別復(fù)雜。如果你讀過《達(dá)芬奇密碼》這本書就知道飘诗，金星大約每四年与倡，會(huì)在天上畫一個(gè)五角星。

這個(gè)軌跡就太復(fù)雜了昆稿，為了給星體找到一個(gè)符合觀測(cè)經(jīng)驗(yàn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律纺座，古代科學(xué)家們找了很多方法，其中溉潭，最有名的來自古羅馬天文學(xué)家托勒密净响。托勒密為了完善地心說，設(shè)計(jì)了一種大圓套小圓的運(yùn)動(dòng)方式喳瓣，極為精確地計(jì)算出了所有行星的運(yùn)動(dòng)軌跡馋贤。不過這個(gè)模型相當(dāng)復(fù)雜，他的這套理論一共用到了40到60個(gè)圓形畏陕，大圓里面套小圓配乓，你想想，就算今天有了計(jì)算機(jī)的幫助惠毁，我們都很難解出40個(gè)套在一起的圓方程犹芹。

你看行星的軌跡運(yùn)行得這么復(fù)雜，就是因?yàn)閿?shù)學(xué)模型找錯(cuò)了的原因鞠绰。托勒密的模型就算再精密腰埂，再符合當(dāng)時(shí)人們的經(jīng)驗(yàn)判斷，也不能說是正確的數(shù)學(xué)模型蜈膨。后來屿笼，波蘭天文學(xué)家哥白尼提出了日心說荒给，德國天文學(xué)家開普勒在他的基礎(chǔ)上，偶然發(fā)現(xiàn)刁卜，原來行星繞太陽轉(zhuǎn)不需要大圓套小圓，一個(gè)橢圓方程就搞定了曙咽。他還通過這個(gè)數(shù)學(xué)模型蛔趴，總結(jié)出了行星圍繞恒星運(yùn)轉(zhuǎn)的開普勒三定律，把星體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律解釋得清清楚楚例朱。

而且這個(gè)正確的數(shù)學(xué)模型孝情，還在后來成功地幫科學(xué)家找到了海王星。當(dāng)時(shí)法國天文學(xué)家布瓦爾發(fā)現(xiàn)洒嗤，天王星的運(yùn)行軌道和橢圓模型算出來的不太一樣箫荡。后來科學(xué)家直接用數(shù)學(xué)工具，計(jì)算出了吸引天王星偏離軌道的海王星渔隶。你看這種未觀測(cè)先發(fā)現(xiàn)的成果羔挡，是不可能光憑日常經(jīng)驗(yàn)得到的。有些由經(jīng)驗(yàn)帶來的先入為主的觀念间唉，還會(huì)嚴(yán)重阻礙人們對(duì)世界本來面目的認(rèn)識(shí)過程绞灼。

其實(shí)，歷史對(duì)人類在這方面的教訓(xùn)真不少呈野，吳軍還說了一個(gè)和我們生活息息相關(guān)的例子低矮。有二十年以上打字經(jīng)歷的朋友可能都知道，原來在電腦上打字可是一個(gè)技術(shù)活兒被冒。當(dāng)時(shí)比較流行的輸入法有五筆輸入法军掂、雙拼輸入法、還有全拼輸入法昨悼，等等蝗锥。可是到了今天幔戏，使用雙拼和五筆輸入法的人越來越少玛追，而使用全拼的人越來越多，這是為什么呢闲延？

這還是要從人們的固有經(jīng)驗(yàn)說起痊剖。人們一開始總以為，最好的漢字輸入法就是最簡單的輸入法垒玲，平均打一個(gè)字敲擊的鍵盤次數(shù)越少陆馁，那這個(gè)輸入法就越好，但歷史又一次證明合愈，這種經(jīng)驗(yàn)上的直覺并不可靠叮贩。比如拼音輸入法中的雙拼和全拼击狮，在雙拼輸入法中，每個(gè)聲母和韻母都只用一個(gè)鍵表示益老，而全拼輸入法則要求打出整個(gè)拼音彪蓬。

比如“ao”這個(gè)韻母，在雙拼中只需要按“k”這個(gè)鍵捺萌，而全拼則需要按“a”和“o”兩個(gè)鍵档冬。所以雙拼敲擊鍵盤的次數(shù)會(huì)天然地比全拼短，看起來更高效一些桃纯。但吳軍說酷誓，雙拼法看似減少了敲擊鍵盤的次數(shù)，但輸入一點(diǎn)也不快态坦。為什么呢盐数？因?yàn)闈h語的聲母韻母加起來一共有50多個(gè)，但是鍵盤上只有26個(gè)字母鍵伞梯，所以很多韻母就需要共享一個(gè)字母鍵玫氢，這就會(huì)導(dǎo)致，打字的人要從更多的候選漢字里找到自己想打的字谜诫；而且雙拼的方法不自然琐旁，比全拼多出來一道拆分聲母和韻母的過程，你需要背下來哪個(gè)韻母是哪個(gè)按鍵猜绣；最后灰殴，很多南方人分不清前后鼻音和卷平舌音，結(jié)果就導(dǎo)致翻了好幾頁都找不到自己想打的字掰邢，其實(shí)原因是一開始就打錯(cuò)了聲母或者韻母牺陶。

這一系列問題都證明，追求更簡單高效的雙拼輸入法辣之，實(shí)際效率并不高掰伸，五筆輸入法也是類似的情況。上世紀(jì)90年代時(shí)怀估，中國出現(xiàn)的輸入法種類一度多達(dá)上千種狮鸭，但這些輸入法大多和雙拼一樣，都把發(fā)力點(diǎn)放在了減少敲擊次數(shù)上多搀，都強(qiáng)調(diào)自己是最快的歧蕉。這個(gè)方向就走偏了，到了現(xiàn)在康铭，人們幾乎全都拋棄了這些輸入法惯退，這一批發(fā)明人可以說是全軍覆沒。

與此同時(shí)从藤，全拼輸入法得到不斷改進(jìn)催跪。所有漢字全拼的平均長度是2.98锁蠕，只要能很好地利用上下文的相關(guān)性，就能把全拼輸入法的平均敲擊次數(shù)控制在3次以內(nèi)懊蒸。那該怎么利用上下文的相關(guān)性呢荣倾？這里又有人繞過彎路。10年前骑丸，人們就是通過不斷增加詞庫逃呼，甚至把一整句唐詩當(dāng)成一個(gè)詞來解決這個(gè)問題。但是統(tǒng)計(jì)下來發(fā)現(xiàn)者娱，幫助不太大。因?yàn)闈h語里短字詞“一音多字”的情況太多苏揣，如果詞庫非常大黄鳍，打出來的候選詞太多，找到自己想要的那個(gè)還是很費(fèi)時(shí)間平匈。吳軍說框沟，增大詞庫，這也是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和直覺的應(yīng)對(duì)方法增炭，就和我們剛剛說的忍燥，“在大圓里套小圓，在小圓里套更小的圓”思路一樣隙姿。

那最好的解決辦法是什么呢梅垄？就是借助語言模型。這和第一個(gè)重點(diǎn)里說的输玷，計(jì)算機(jī)處理自然語言的思路比較像队丝，都是利用統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理，來計(jì)算出一長串拼音轉(zhuǎn)化成文字的最有可能選項(xiàng)欲鹏，方便使用者直接打出一大段文字机久。和之前憑經(jīng)驗(yàn)行動(dòng)的解決方法相比，這就是更好的數(shù)學(xué)模型赔嚎。

總結(jié)下這部分的內(nèi)容膘盖。在這個(gè)重點(diǎn)里，我們討論了“數(shù)學(xué)為什么這么有用”這個(gè)問題尤误，答案是數(shù)學(xué)能幫助我們發(fā)現(xiàn)僅憑經(jīng)驗(yàn)無法發(fā)現(xiàn)的規(guī)律侠畔，找到僅憑經(jīng)驗(yàn)無法總結(jié)出來的辦法。比如發(fā)現(xiàn)行星圍繞恒星運(yùn)轉(zhuǎn)的事實(shí)损晤，比如大幅優(yōu)化全拼輸入法践图，使之成為最好用的輸入法等等〕凉荩可以說沒有數(shù)學(xué)码党，我們不可能擁有今天的世界觀和生活方式德崭。

第三部分

我們說完了數(shù)學(xué)的用處，和數(shù)學(xué)有用的原因揖盘，接下來讓我們一起回歸這本書的標(biāo)題眉厨，來看看吳軍認(rèn)為的“數(shù)學(xué)之美”所以第三個(gè)重點(diǎn)就是，為什么說數(shù)學(xué)之美就是簡單美兽狭？

數(shù)學(xué)公式憾股、數(shù)學(xué)計(jì)算、數(shù)學(xué)推導(dǎo)的過程可能實(shí)際應(yīng)用起來都很復(fù)雜箕慧，這也是為什么數(shù)學(xué)這么難學(xué)的原因服球。但是數(shù)學(xué)應(yīng)用背后所包含的數(shù)學(xué)思想，卻總是簡單的颠焦，這種簡單之美斩熊，就是吳軍一直說的數(shù)學(xué)之美。

計(jì)算機(jī)的原理其實(shí)就是一個(gè)例子伐庭，計(jì)算機(jī)的術(shù)很復(fù)雜粉渠，它一般由大量的精密電路搭建而成，但是計(jì)算機(jī)的道卻很簡單圾另，它本質(zhì)上的邏輯來自簡單的不能再簡單的布爾代數(shù)霸株。布爾代數(shù)的運(yùn)算元素只有0和1兩個(gè)數(shù)字，基本的運(yùn)算也只有三種集乔，第一種是“與”去件，也就是英文AND，第二種“或”扰路，也就是OR箫攀，第三種是“非”，也就是NOT很好理解幼衰。就是這么簡單的布爾代數(shù)靴跛，實(shí)際上就是數(shù)字電路的基礎(chǔ)。所有的數(shù)學(xué)和邏輯運(yùn)算渡嚣，比如加梢睛、減、乘识椰、除绝葡、乘方、開方腹鹉，等等藏畅，全部都能轉(zhuǎn)化成布爾代數(shù)的基本運(yùn)算。正是靠這一點(diǎn)，人們才用以布爾代數(shù)原理為基礎(chǔ)的一個(gè)個(gè)電路愉阎，搭建起了現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)绞蹦。

再比如，我們剛才介紹的幾個(gè)例子榜旦，讓計(jì)算機(jī)處理自然語言幽七，一條路是成千上萬的復(fù)雜語法，另一條路是讓計(jì)算機(jī)算概率溅呢、找規(guī)律澡屡，前者科學(xué)家們努力了幾十年但沒什么收獲，后者輕輕松松就讓計(jì)算機(jī)處理語言文字的能力大幅提高咐旧，數(shù)學(xué)思想再次化繁為簡驶鹉，用簡單的思路解決了復(fù)雜的問題。還有我們每天都要用到的全拼輸入法铣墨，在數(shù)學(xué)的幫助下輸入效率大大提高室埋。而雙拼和五筆輸入法雖然符合人們對(duì)于快速輸入的直觀認(rèn)識(shí)，但是實(shí)際應(yīng)用困難踏兜，效率反而不高，缺乏正確的數(shù)學(xué)方法八秃，最終結(jié)果就是被使用者逐漸拋棄碱妆。用吳軍的話來說，在現(xiàn)實(shí)生活中昔驱，真正能夠通用的工具疹尾，在形式上一定是簡單的。一架普通的照相機(jī)骤肛，不應(yīng)該要求它的使用者必須精通光圈和快門速度的設(shè)置纳本。

“簡單之美”說著容易，但其實(shí)腋颠，連谷歌這樣的大公司都曾經(jīng)犯過“大圓套小圓”的錯(cuò)誤繁成。吳軍說，他剛到谷歌的時(shí)候淑玫，發(fā)現(xiàn)一些早期的算法根本沒有系統(tǒng)的模型和理論基礎(chǔ)印颤，大部分軟件工程師都是靠直覺來解決問題的吻谋。這些錯(cuò)誤的模型，也許碰巧幾次會(huì)有效，就像“地心說”一樣赖欣，不是也用了幾千年嗎，但是錯(cuò)誤的模型一定會(huì)漸漸表現(xiàn)出來負(fù)面影響砌梆。最終不僅會(huì)偏離正確的結(jié)果濒憋，甚至?xí)押唵蔚氖虑楦銖?fù)雜，最終瀕臨崩潰但壮。

2006年后冀泻，谷歌幾乎重寫了所有項(xiàng)目的程序常侣，保證了工程的正確性。但是在其他公司腔长，甚至美國的一些掛著高科技頭銜的二流IT公司袭祟，“大圓套小圓”的情況還是很常見。這就像是一個(gè)人有了錢捞附，穿金戴銀巾乳，但是內(nèi)在的學(xué)問和修養(yǎng)還沒提高。吳軍說他寫這本書鸟召，也是希望讀者可以通過對(duì)IT規(guī)律的認(rèn)識(shí)胆绊，舉一反三地總結(jié)、學(xué)習(xí)和運(yùn)用自己生活中的規(guī)律性欧募，提升自己的境界压状。

這本書就三個(gè)重點(diǎn)來回顧一下

數(shù)學(xué)到底有什么用？在讓計(jì)算機(jī)處理自然語言時(shí)跟继，人們一開始想讓計(jì)算機(jī)學(xué)會(huì)人類的語法种冬，但后來發(fā)現(xiàn)，要寫出來的語法不僅數(shù)量特別多舔糖，而且實(shí)際的識(shí)別率特別低娱两。后來科學(xué)家們?cè)跀?shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)工具的幫助下，讓計(jì)算機(jī)計(jì)算出句子的出現(xiàn)概率金吗，通過概率的大小來判斷正確與否十兢，從而解決了這個(gè)難題。在讓計(jì)算機(jī)進(jìn)行新聞分類時(shí)摇庙，科學(xué)家們也是另辟蹊徑旱物，利用新聞中的特征詞來構(gòu)建向量，再使用余弦定理完成了對(duì)新聞的分類卫袒。數(shù)學(xué)讓我們抓住做事的規(guī)律也就是“道”宵呛。

那數(shù)學(xué)為什么這么有用？其實(shí)夕凝，歸根到底是因?yàn)閿?shù)學(xué)能幫助我們發(fā)現(xiàn)僅憑經(jīng)驗(yàn)無法發(fā)現(xiàn)的規(guī)律烤蜕，找到僅憑經(jīng)驗(yàn)無法總結(jié)出來的辦法。比如我們是在數(shù)學(xué)的幫助下迹冤，才發(fā)現(xiàn)了行星圍繞恒星運(yùn)轉(zhuǎn)的真正規(guī)律讽营。而我們每天使用的全拼輸入法，也都是靠著數(shù)學(xué)的幫助泡徙，才讓輸入效率不斷提高橱鹏。

最后，為什么說數(shù)學(xué)之美就是簡單美？使用數(shù)學(xué)的方法莉兰，“術(shù)”可能比較復(fù)雜挑围，但是“道”卻總是簡單的。不管是計(jì)算機(jī)背后隱含的簡單的布爾代數(shù)原理糖荒，還是使用數(shù)學(xué)來解決各種問題時(shí)體現(xiàn)出的簡單思想杉辙，都向我們展示出數(shù)學(xué)之美就是簡單美。

看過本書之后捶朵，相信你對(duì)數(shù)學(xué)這個(gè)古老的學(xué)科蜘矢，又有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。吳軍在本書第二版的前言里說综看，早期的數(shù)學(xué)遠(yuǎn)不如今天這么神秘品腹，它和生活的聯(lián)系特別緊密。但和任何事物一樣红碑，數(shù)學(xué)也在不斷地演化舞吭，數(shù)學(xué)家們一方面對(duì)自然事實(shí)進(jìn)行總結(jié)和歸納，另一方面又不斷加上抽象思考析珊，最終讓數(shù)學(xué)變得高深起來羡鸥。經(jīng)過幾千年這種抽象演化，大家頭腦里能想象的數(shù)學(xué)好像就只剩下數(shù)字忠寻、符號(hào)惧浴、公式和定理了。

但吳軍通過這本書告訴我們锡溯，通過數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用我們能認(rèn)識(shí)到赶舆，事物表面的樣子并不一定能反映出真實(shí)情況哑姚。很多時(shí)候祭饭，只有在深入了解的基礎(chǔ)上，我們才能獲得對(duì)某件事情的發(fā)言權(quán)叙量。就好比了解了數(shù)學(xué)的應(yīng)用之后倡蝙，才能摒棄“數(shù)學(xué)無用論”的觀念，才能發(fā)現(xiàn)真正的數(shù)學(xué)之美绞佩。

最后寺鸥，我也要專門為計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生或者工程師來介紹一下，為了方便沒有相關(guān)知識(shí)背景的讀者閱讀品山，吳軍給每個(gè)專題都添加上了背景介紹胆建；同時(shí)，在一些專題的最后肘交，他還給出了很多“延伸閱讀”笆载，這部分是專門給專業(yè)的讀者來看的。他提到了如何在最熱門的技術(shù)問題里，比如大數(shù)據(jù)凉驻、深度學(xué)習(xí)腻要、Google的人工智能中找到數(shù)學(xué)的解決方法，相關(guān)專業(yè)的用戶也可以延伸閱讀涝登。