沒有思想的顛覆還談何創(chuàng)新
重新定義指數(shù)
我們在小時候?qū)W習(xí)指數(shù)的時候經(jīng)常會誤解指數(shù)的定義权薯，很多人認(rèn)為姑躲，指數(shù)就是重復(fù)連乘，這對于特殊的情況來說（指數(shù)是非零整數(shù)時）崭闲，是一個不錯的解釋肋联，小學(xué)生也能夠很快理解這個概念。
但是隨著時間的推移刁俭，你見到的事物更多了橄仍，你就會在這個過程中懷疑這種連乘的方法是否是失效了，因為你看到2^1.5之類的東西牍戚，甚至是更奇怪的侮繁，例如0^0，而且是0^0其結(jié)果居然是1如孝，我記得高中時老師對于這個概念一筆帶過宪哩，就說這是它的“定義”，但對我來說我是很難接受這個奇怪的定義的第晰。后來想起這些問題锁孟，感覺這些概念有必要隨著自己見識的增長與時俱進了。
我們最先接觸到的基本數(shù)學(xué)運算是加減乘除茁瘦，“加減”與“乘除”分別屬于數(shù)學(xué)中的第一級和第二級運算品抽，詳情見《對數(shù)可以延長人類壽命？》甜熔。我們想想在很小的時候圆恤，當(dāng)我們學(xué)習(xí)剛開始算術(shù)的時候，老師會教我們通過數(shù)指頭的方法來完成加法的計算（例如5+6=11）腔稀，以及通過重復(fù)加法來實現(xiàn)乘法計算例如（2×3=2+2+2=6）（當(dāng)然有的老師只會教乘法表…）盆昙。不過不管怎么說，這一切看起來似乎都挺自然的焊虏。
但上述方法當(dāng)然也是針對簡單或者說特殊的情況淡喜，當(dāng)包含有負數(shù)或者無理數(shù)的時候呢，這種方法似乎就行不通了诵闭。加減乘除本身并沒有問題拆火，問題在于我們對算法的理解上出現(xiàn)了偏差，我們對這些算法的理解是片面的是部分成立的涂圆，而不具有普適性们镜。
為了使算法的描述具有普適性，不應(yīng)單純地用計數(shù)來實現(xiàn)加法润歉，而是將其看做是在一條直線上點的位置變化模狭。這種位置可以是負的（如-1），可以是在某些數(shù)之間（例如無理數(shù)）踩衩，或者是在其他的維度上（例如虛數(shù)i嚼鹉，詳情請見《虛數(shù)不“虛”》）贩汉。
那么，更加完備的算法思想應(yīng)當(dāng)是：加法是一種“滑移”锚赤，例如：+3就是向右滑移3個單位匹舞。乘法就是縮放，例如：×3就是擴展到原來的3倍线脚。
那么指數(shù)呢?
算法 ? ? ??老思想 ? ? ? ??新思想
加法 ? ??重復(fù)計數(shù) ? ? ? 滑移
乘法 ? ??重復(fù)相加 ? ? ? 尺度縮放
指數(shù)法?重復(fù)相乘 ? ? ? 隨時間的增長
舉一個具體的例子赐稽，對于指數(shù)3^2，可以用以下的步驟進行分析（這可能是個笨辦法浑侥，但對于理解問題有益）：
設(shè)定初始值為1個單位量（指數(shù)前面的因子姊舵，指數(shù)3^2前面的因子為1，指初始值為1個單位數(shù)量寓落，即1·3^2括丁，因為乘以1不影響結(jié)果，所以省略不寫了伶选，但是要知道它的存在）(original)
設(shè)定每增長1個單位時間史飞，量就增長到1個單位時間前的3倍（即指數(shù)的底數(shù)）(growth)
設(shè)定增長時間2個單位時間（即指數(shù)的冪）(duration)
對于以上過程，在數(shù)學(xué)上可以給出通式：
或者
就拿上面的3^2的例子來說仰税，底數(shù)growth=3指的是單位時間數(shù)量增長的倍數(shù)（或稱為增長倍率）构资；而冪duration=2指的是數(shù)量增長的時間；original=1為初始數(shù)量肖卧。
對指數(shù)的這種“增長”的理解不同于乘法的尺度縮放蚯窥，乘法會給你一個非常明確的尺度因子掸鹅，你一眼就可以看出其會將初始數(shù)量縮放到一個什么樣的尺度上去塞帐。但是對于指數(shù)，就沒有一個這樣明顯的縮放因子巍沙，因為它代表的是一種“增長”葵姥，相比于乘法（直接縮放得到結(jié)果），指數(shù)更強調(diào)“過程”句携。這個思想很重要榔幸，因為自然界中大多數(shù)事物都處在一種“無意識的增長”當(dāng)中！
例如矮嫉，細菌并不會計劃著自己一天分裂一次削咆，它只會以其自己的方式進食并增長、分裂蠢笋，而且初值的細菌數(shù)量越多拨齐，其總量的增長速度也就越快，初始數(shù)量就體現(xiàn)在上式的“original”中昨寞，初始值對最終結(jié)果的影響表現(xiàn)為尺度上的縮放瞻惋，即乘法的算法思想厦滤。
為了得到它們增長的最終結(jié)果，我們需要知道它們當(dāng)前的增長倍率以及增長的時間歼狼。所以指數(shù)操作就可以用簡單一句話概括：“以某個初始數(shù)量(original)為起點掏导，以一定的增長倍率(growth)開始增長，等到了設(shè)定的時間(duration)看看增長到了多少(new)”羽峰。
分?jǐn)?shù)冪的解釋
就前面提到的分?jǐn)?shù)冪問題趟咆，可以用新的算法思想進行解釋。例如2^1.5限寞，既然2^1表示初始值為1忍啸，單位時間增長率為2，增長1個單位時間后的值履植；2^2表示初始值為1计雌，單位時間增長率為2，增長2個單位時間后的值玫霎。
那么凿滤，2^1.5當(dāng)然就可以理解為初始值為1，單位時間增長率為2庶近，增長1.5個單位時間后的值了翁脆。如果能將這個概念告訴斯蒂菲爾(Michael Stifel)，或許他將會成為發(fā)現(xiàn)對數(shù)的第一人吧鼻种，因為他正是因為那個時代的人們還無法理解分?jǐn)?shù)冪的概念而放棄了對“對數(shù)概念”的進一步探究反番。
指數(shù)相乘計算
現(xiàn)在考慮一種情況，就是如果兩次增長率相同的增長“無縫連接”叉钥，即一次增長緊接著上一次增長罢缸，例如，以單位數(shù)量為初始值投队，以一定的倍率增長枫疆，先增長2個單位時間，再在此基礎(chǔ)上增長3個單位時間敷鸦，問題就可以用下式表示：
實際上和以單位數(shù)量為初始值息楔，以一定的倍率增長，一共增長5個單位時間所得到結(jié)果是等價的扒披。寫成通式就是：
這就底數(shù)相同（即增長率相同）的指數(shù)的乘法法則值依，即同底指數(shù)相乘等于底數(shù)不變，冪相加碟案。
指數(shù)的開根計算
假設(shè)現(xiàn)在初始值為1個單位數(shù)量愿险，增長率為a，那么增長3個單位時間后的結(jié)果為：a^3蟆淀。
那么拯啦，對于上面的情況澡匪，其中間時刻（1.5個單位時間時）的數(shù)量是a^1.5。
如果重復(fù)兩次1.5個單位時間的增長褒链，并運用上面說過的指數(shù)相乘運算方法唁情，會發(fā)現(xiàn)：
用一句話描述就是“半個周期的增長結(jié)果乘以半個周期的增長結(jié)果等于全周期的增長結(jié)果”。這也意味著半個周期的增長結(jié)果是全周期增長結(jié)果的平方根甫匹。即甸鸟，增長時間減半相當(dāng)于開平方操作。
那么兵迅，如果將時間等分為3份抢韭，并讓3次增長接連發(fā)生，得到的將是：
顯然恍箭，得到結(jié)論是1/3個周期的增長結(jié)果是全周期增長結(jié)果的3次方根刻恭。可以想象得到扯夭，如果將增長時間等分為n等份鳍贾，那么1/n個周期的增長結(jié)果將是全周期增長結(jié)果的n次方根。
負指數(shù)
如果將冪視作時間交洗，那么負的時間直觀上其實就可以理解為“時光倒流”骑科。如果正常情況是以一定增長倍率增大，那么“時光倒流”就指的是以一定的倍率縮小构拳。
上式指的就是：“一個單位時間前的數(shù)量是當(dāng)前數(shù)量的(1/2)”咆爽。其實，在指數(shù)函數(shù)2x的圖像中中任意間隔單位時間的兩個點都滿足上面的比例關(guān)系置森。
0次冪
那么斗埂，當(dāng)冪為0代表什么？先舉個例子暇藏，例如3^0的意義蜜笤。它可以解釋為：初始量為1個單位數(shù)量濒蒋，增長倍率為3盐碱，增長了0個單位時間。也就是說嫉柴，沒有給其增長的機會（時間）僵闯，數(shù)量當(dāng)然保持著原樣碳柱，即為1個單位數(shù)量或直接寫成1。其他情況（除了底數(shù)為0的特殊情況暖混，下面單獨討論）都可以用這樣的方法解釋。
解釋0^x(其中翁授，x≠0)
即指數(shù)的底數(shù)為零的情況拣播。表示的是初始量為1個單位數(shù)量晾咪，增長倍率為0，增長了x個單位時間贮配〉耄可以理解為一旦給其時間增長，就會變成0泪勒。如果無法一下理解就先假設(shè)x=1昼蛀，即0^1，表示的是1個單位時間后會變?yōu)?圆存。那么現(xiàn)在將1個單位時間分為n個等份叼旋，其中n→∞，那么0^1/n為01的n次方根沦辙，當(dāng)然也為0夫植，所以，無論冪1/n多么小或者說無論增長時間多么短油讯，只要冪不為零偷崩，底數(shù)為零的指數(shù)都為零！
最后看看0^0
0的0次方撞羽，這個現(xiàn)在終于可以解釋了阐斜。表示的是初始量為1個單位數(shù)量，增長倍率為0诀紊，增長了0個單位時間谒出。雖然上面說了只要給其增長的時間，它就為零邻奠，但是現(xiàn)在的情況是：并沒有給初始值發(fā)生這種增長的機會笤喳！所以，不管以多少倍率增長其實都無所謂碌宴，任何形式的增長都沒有發(fā)生杀狡，最終結(jié)果就是初始值1個單位數(shù)量或直接寫為1，即0^0=1贰镣。
Reference
[1] Michael Stifel, https://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Stifel
[2]Understanding Exponents (Why does 0^0 = 1?) https://betterexplained.com/articles/understanding-exponents-why-does-00-1/
(Sample picture source：betterexplained.com)
