2.8 量子諧振子梯度算符 ladder operator

https://www.youtube.com/watch?v=gRdCV9p8sAU&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=20

前言

本節(jié)利用諧振子算符，構(gòu)建薛定諤方程，再用梯度算符求解蚯瞧。

1. 諧振子波函數(shù)圖像

- k是彈性常數(shù) $\omega = \sqrt {k/m}$
- 如果定義波函數(shù)起始點(diǎn)是中間綠色的點(diǎn)履磨，且水平方向開(kāi)始延申，那么波函數(shù)（綠色線(xiàn)) 會(huì)如下圖所示(定性)：
  
  image.png
- 如果把提高能量線(xiàn)靠抑，起始點(diǎn)與能量一致，且有斜度開(kāi)始延申，波函數(shù)可能如下圖所示： $\color{red}{這里有點(diǎn)問(wèn)題兔综，起始點(diǎn)向左，同樣是E>V，為什么開(kāi)口向上呢软驰？因?yàn)镋能量就是相當(dāng)于縱坐標(biāo)中的正負(fù)分界線(xiàn)}$
  
  image.png

2. 諧振子薛定諤方程TISE

$\underbrace{({- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac1 2 m \omega^2 x^2})}_{\hat H} \Psi = E \Psi\\ =1/{(2m)}(\hat p^2 + (m\omega x)^2)\\ \because (z^2+b^2) = (ia+b)(-ia+b)\\ Suggest:\ \ \ \ \pm i\hat p + m\omega \hat x$

梯度算符
- 假設(shè) $\hat a_{\pm}$ 作為升階和降階算符如下涧窒，前面的系數(shù)純粹是一種數(shù)學(xué)上的小技巧。
  $\hat a_{\pm} = \frac{1}{\sqrt{2 \hbar m \omega}}(\pm i\hat p + m \omega \hat x)$
那么 $\hat a_- \cdot \hat a_+ =\hat H$ 公式是否成立锭亏？

$\Rightarrow \frac{1}{2 \hbar m \omega} (i\hat p + m\omega \hat x )(-i\hat p + m\omega \hat x)$

$\Rightarrow \underbrace{\frac{1}{2 \hbar m \omega}(\hat p^2 + m^2 \omega^2 \hat x^2}_{\frac 1 {\hbar \omega }\hat H} - im\omega \underbrace{(\hat x \hat p - \hat p \hat x)}_{[\hat x,\ \hat p]})$

其中 $[\hat x,\ \hat p]$ 就是commutator 轉(zhuǎn)化器 對(duì)易子

2. 對(duì)易子和梯度算符

$[\hat A,\ \hat B] = \hat A \hat B - \hat B \hat A$

$[\hat x,\ \hat p]\psi = (\hat x \hat p - \hat p \hat x )\psi$

$\hat x (\hat p \psi) - \hat p (\hat x \psi) = x (-i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial x})-(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}(x \psi))$
對(duì)右邊括號(hào)內(nèi)進(jìn)一步求導(dǎo)：
$\Rightarrow -i \hbar (x \frac{\partial}{\partial x} - \psi - x\frac{\partial}{\partial x}) = i \hbar \psi$

$\Rightarrow \underbrace{[\hat x,\ \hat p]=i \hbar}$
帶入 $\hat a_- \cdot \hat a_+ =\underbrace{\frac{1}{2 \hbar m \omega}(\hat p^2 + m^2 \omega^2 \hat x^2}_{\frac 1 {\hbar \omega} \hat H} - im\omega \underbrace{(\hat x \hat p - \hat p \hat x)}_{[\hat x,\ \hat p]}) \\ = \frac{1}{\hbar \omega} \hat H + 1/2 \\$

$or\ \ \hat a_+ \cdot \hat a_-= \frac{1}{\hbar \omega} \hat H - 1/2 \\$

以上證明我們可以用a和常數(shù)來(lái)表示H算符
$即\hat H = \begin{cases} \hbar \omega (\hat a_-\hat a_+ -1/2)\\ \\ \hbar \omega (\hat a_+\hat a_- +1/2) \end{cases}$
接下來(lái)是聰明的地方：梯度算符和能量
假設(shè) $\Psi是薛定諤方程的解纠吴，那么\hat a_+\Psi 也是薛定諤方程的解，只不過(guò)方程變成了\hat H (\hat a_+\Psi )=(E + h\omega)(\hat a_+\Psi )$
- 接下來(lái)我們化簡(jiǎn) $\hat H (\hat a_+\Psi )$
  $\Rightarrow \hbar \omega (\hat a_+\hat a_- +1/2) \hat a_+ \Psi = \hbar \omega (\hat a_+\hat a_-\hat a_+ +1/2\hat a_+) \Psi$
  $= \hbar \omega \hat a_+ (\hat a_+\hat a_- +1/2) \Psi = \hbar \omega \hat a_+ (\hat a_+\hat a_- - 1/2 + 1) \Psi$
  這就通過(guò)提取 $\hat a_+$ 符號(hào)到左邊慧瘤，然后構(gòu)成 $\hat H$ :
  $= \hat a_+ (\hat H + \hbar \omega) \Psi = \hat a_+ (E + \hbar \omega) \Psi = (E + \hbar \omega) \hat a_+ \Psi$
至此戴已，我們證明了：
$\hat H (\hat a_+\Psi ) = (E + \hbar \omega) \hat a_+ \Psi$
所以這是一種生產(chǎn)新解的方法，如果我們得到了一個(gè)薛定諤方程的解锅减，通過(guò)升降能量 $\hbar \omega$ 就可以得到其他的解糖儡，這就讓我們得到了一系列能量階梯，逐漸增加的解的集合怔匣，所謂升降能級(jí)休玩， $\hat a_+$ 是升階算符， $\hat a_-$ 是降階算符劫狠。

3.梯度算符和基態(tài)

至此我們還沒(méi)求解過(guò)一個(gè)薛定諤方程,但是得到了如下關(guān)系：
$\Psi solution \Rightarrow \hat a_+\psi\ \ solution \rightarrow E+\hbar \omega$
$\Psi solution \Rightarrow \hat a_-\psi\ \ solution \rightarrow E-\hbar \omega$

即一個(gè)遞減的階梯算符拴疤，但是波函數(shù)是啥，還不知道

image.png
那么如何求解波函數(shù)呢独泞？假設(shè)a_不斷作用的波函數(shù)上呐矾，會(huì)得到低于0的能量狀態(tài)，而這是不存在的懦砂，所以蜒犯，假設(shè)存在一個(gè)最小波函數(shù) $\Psi_0$ ，對(duì)他作用一個(gè) $a_-$ 后荞膘，得到一個(gè)不存在的波函數(shù) $\hat a_+\Psi_0$ 罚随，那么根據(jù)波函數(shù)的平方是粒子存在的概率，這個(gè)新的波函數(shù)=0：
- 所以根據(jù)
  $\hat a_+\Psi_0 =0$
  波函數(shù)歸一化條件（積分=1）可以求得最低波函數(shù) $\Psi_0$ 的解
  $\hat a_{-} = \frac{1}{\sqrt{2 \hbar m \omega}}( \hbar \fraczkdatpo{dx} + m \omega \hat x) \Psi_0 = 0$
  $\Rightarrow \frac{d\psi_0}{dx}=-\frac{m \omega}{\hbar} x \psi_0$
  $\Rightarrow \int \frac{d\psi_0}{d \psi}=\int -\frac{m \omega}{\hbar} x dx$
  解得： $\psi_0 =A e^{\frac{m \omega}{2\hbar}x^2}$
總結(jié)

image.png

求解波函數(shù) $\Psi_1$ ,
根據(jù)上述升階or降階算符可以求得任何薛定諤方程

image.png

最后編輯于：2020.05.31 17:33:58

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