商務(wù)與經(jīng)濟統(tǒng)計——抽樣分布與區(qū)間估計

1. 基礎(chǔ)概念及其定義

1.1 簡單隨機樣本（有限總體）

從容量為 $N$ 的有限總體中抽取一個容量為n的樣本，如果容量為 $n$ 的每一個可能的樣本都以相等的概率被抽出寺滚，則稱該樣本為簡單隨機樣本。

1.2 隨機樣本（無限總體）

如果從一個無限總體中抽取一個容量為 $n$ 的樣本哗戈，使得下面的條件得到滿足：

抽取的每個個體來自同一總體
每個個體的抽取是獨立的
則稱該樣本是一個隨機樣本

1.3 抽樣分布

一個樣本統(tǒng)計量所有可能值構(gòu)成的概率分布

1.4 無偏性

點估計量的一個性質(zhì)洪唐，此時點估計量的數(shù)學(xué)期望等于所估總體參數(shù)的值

1.5 中心極限定理

從總體中抽取容量為 $n$ 的簡單隨機樣本淆党，當樣本容量很大時，樣本均值 $\bar{x}$ 的抽樣分布近似服從正態(tài)概率分布珠闰。一般來說惜浅，當樣本容量大于或者等于 $30$ 時， $\bar{x}$ 的抽樣分布可用正態(tài)分布近似伏嗜。

1.6 抽樣方法

分層隨機抽樣：先將總體分成若干層坛悉，然后在每層中進行簡單隨機抽樣。依賴于層內(nèi)個體的同質(zhì)性承绸。
整群抽樣：先將總體分成若干群裸影，然后以群為單位進行簡單隨機抽樣。依賴于每一群對整個總體的代表性军熏。

1.7 區(qū)間估計

總體參數(shù)估計值的一個區(qū)間轩猩，確信該區(qū)間將參數(shù)值納入其中。通常是在點估計上加減一個邊際誤差的值來計算區(qū)間估計荡澎。區(qū)間估計的目的在于均践，提供基于樣本得出的點估計值與總體參數(shù)值的接近程度方面的信息。

2. 抽樣分布

2.1 $\bar{x}$ 的抽樣分布

樣本均值 $\bar{x}$ 的所有可能值的概率分布摩幔⊥可用于提供樣本均值 $\bar{x}$ 與總體均值 $\mu$ 的接近程度的概率信息。

數(shù)學(xué)期望
$E(\bar{x}) = \mu$
其中或衡， $\mu$ 為總體均值
標準（誤）差
$\sigma_{\bar{x}} = \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\left ( \frac{\sigma }{\sqrt{n}} \right ) \quad 有限總體$
$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma }{\sqrt{n}} \quad 無限總體$
當 $n/N \leqslant 0.05$ 時焦影，采用無限總體的計算公式车遂。樣本容量越大，樣本均值落在總體均值附近某一特定范圍內(nèi)的概率也越大偷办。
$\bar{x}$ 抽樣分布的形態(tài)
當總體服從正態(tài)分布時艰额，在任何樣本容量下 $\bar{x}$ 的抽樣分布都是正態(tài)分布
當總體不服從正態(tài)分布時澄港，根據(jù)中心極限定理來判定椒涯。

2.2 $\bar{p}$ 的抽樣分布

樣本比率 $\bar{p}$ 是總體比率 $p$ 的點估計，樣本比率的計算公式為
$\bar{p} = \frac{x}{n}$
其中回梧， $x$ 為樣本中具有感興趣特征的個體的數(shù)量废岂， $n$ 代表樣本容量。

$\bar{p}$ 的抽樣分布是樣本比率 $\bar{p}$ 的所有可能值的概率分布狱意。它可以對樣本比率與總體比率的差異程度提供概率信息湖苞。

數(shù)學(xué)期望
$E(\bar{p}) = p$
標準（誤）差
$\sigma_{\bar{p}} = \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \quad 有限總體$
$\sigma_{\bar{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \quad 無限總體$
當 $n/N \leqslant 0.05$ 時，采用無限總體的計算公式详囤。
$\bar{p}$ 抽樣分布的形態(tài)
當 $np \geqslant5$ 并且 $n(1-p) \geqslant 5$ 時财骨， $\bar{p}$ 的抽樣分布可以用正態(tài)分布近似。

2.3 $r_s$ 的抽樣分布

$r_s$ 為樣本秩相關(guān)系數(shù)藏姐，其計算公式為：
$r_s = 1 - \frac{6\sum_{i=1}^{n}d_i^2}{n(n^2-1)}$
其中隆箩， $n$ 為樣本中觀測值的個數(shù)； $x_i$ 為對于第 $1$ 個變量的第 $i$ 觀測值的秩羔杨； $y_i$ 為對于第 $2$ 個變量的第 $i$ 觀測值的秩捌臊； $d_i = x_i - y_i$ 。

$r_s$ 的抽樣分布

均值：
$\mu_{r_s} = 0$
標準差：
$\sigma_{r_s} = \sqrt{\frac{1}{n-1}}$
分布形式
$n \geqslant 10$ 時兜材，近似服從正態(tài)分布理澎。

3. 總體均值的區(qū)間估計

一個點估計量 $\pm$ 邊際誤差。其中曙寡，邊際誤差 = 標準誤差乘以 $z_{\alpha /2}$ 糠爬。

3.1 $\sigma$ 已知的情形

$\bar{x} \pm z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}} \tag{1}$
其中， $1-\alpha$ 為置信系數(shù)举庶， $z_{\alpha /2}$ 表示標準正態(tài)概率分布上側(cè)面積為 $\alpha /2$ 時的 $z$ 值执隧。

常用的置信水平下的 $\alpha /2$ 值:

置信水平	$\alpha$	$z_{\alpha}$	$\alpha /2$	$z_{\alpha /2}$
90%	0.1	1.28	0.05	1.645
95%	0.05	1.645	0.025	1.960
99%	0.01	2.33	0.005	2.576

應(yīng)用中需要注意若總體服從正態(tài)分布，則 $(1)$ 給出的置信區(qū)間是精確的灯变；若總體不屬于正態(tài)分布罩缴，則需要樣本容量足夠（一般 $n \geqslant 30$ 已足夠卒蘸，若總體分布大致對稱，則樣本容量至少為 $15$ 才能得到置信區(qū)間一個好的近似。）

3.2 $\sigma$ 未知的情形

3.2.1 $t$ 分布

一類概率分布挟冠，當總體標準差 $\sigma$ 未知而用樣本標準差 $s$ 對其進行估計時，該分布用于建立總體均值的區(qū)間估計弄慰。隨著自由度的增大， $t$ 分布與標準正態(tài)分布越來越相似署尤。 $t$ 分布用于計算總體均值的區(qū)間估計，其自由度為 $n-1$ 亚侠，其中 $n$ 是樣本容量曹体。

3.2.1 總體均值的區(qū)間估計

$\bar{x} \pm t_{\alpha /2}\frac{s }{\sqrt{n}} \tag{2}$
其中， $s$ 為樣本標準差硝烂， $1-\alpha$ 為置信系數(shù)箕别， $t_{\alpha /2}$ 表示自由度為 $n-1$ 的 $t$ 的分布中，上側(cè)面積為 $\alpha /2$ 時的 $t$ 值滞谢。

應(yīng)用中需要注意若總體服從正態(tài)分布串稀，則 $(2)$ 給出的置信區(qū)間是精確的；若總體不屬于正態(tài)分布狮杨，則需要樣本容量足夠（一般 $n \geqslant 30$ 已足夠母截，若總體分布大致對稱，則樣本容量至少為 $15$ 才能得到置信區(qū)間一個好的近似橄教；若總體的分布是嚴重偏斜或者包含異常點時清寇，需要樣本容量 $\geqslant 50$ 。）

3.3 樣本容量的確定

$n = \frac{(z_{\alpha /2})^2\cdot \sigma^2}{E^2}$
其中护蝶， $E$ 為希望達到的邊際誤差华烟。若總體標準差 $\sigma$ 是未知的，一般可以將 $極差 /4$ 做為標準差 $\sigma$ 的粗略估計滓走。

4. 總體比率的區(qū)間估計

3.4.1 區(qū)間估計

$\bar{p} \pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n}}$
其中垦江， $1-\alpha$ 為置信系數(shù)， $z_{\alpha /2}$ 表示標準正態(tài)概率分布上側(cè)面積為 $\alpha /2$ 時的 $z$ 值搅方。

3.4.2 樣本容量

$n = \frac{(z_{\alpha /2})^2 p^*(1-p^*)}{E^2}$
其中比吭， $p^*$ 表示 $\bar{p}$ 的計劃值， $E$ 為希望達到的邊際誤差姨涡。

5. 兩總體均值之差的區(qū)間估計

兩總體均值之差的點估計量為 $\bar{x_1} - \bar{x_2}$

5.1 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 已知的情形

$\bar{x_1} - \bar{x_2}$ 的標準誤差
$\sigma_{\bar{x_1} - \bar{x_2}} = \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$
$\bar{x_1} - \bar{x_2}$ 的區(qū)間估計
$\bar{x_1} - \bar{x_2} \pm z_{\alpha /2} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$
其中衩藤， $1-\alpha$ 為置信系數(shù)。

5.2 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 未知的情形

$\bar{x_1} - \bar{x_2}$ 的標準誤差
$\sigma_{\bar{x_1} - \bar{x_2}} = \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}$
$\bar{x_1} - \bar{x_2}$ 的區(qū)間估計
$\bar{x_1} - \bar{x_2} \pm t_{\alpha /2} \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}$
其中涛漂， $1-\alpha$ 為置信系數(shù)赏表； $t$ 統(tǒng)計量的自由度采用如下計算公式
$df = \frac{\left ( \frac{s_1^2}{n_1}+ \frac{s_2^2}{n_2}\right )^2}{\frac{1}{n_1 - 1}\left ( \frac{s_1^2}{n_1} \right )^2 + \frac{1}{n_2 - 1}\left ( \frac{s_2^2}{n_2} \right )^2}$

5.3 匹配樣本

區(qū)間估計
$\barphb7txb\pm t_{\alpha /2}\frac{s_d}{\sqrt{n}}$
其中， $\bartzxl7rr$ 為樣本差值的均值匈仗， $s_d$ 為樣本標準差瓢剿， $t$ 分布的自由度為 $n-1$ 。

6. 兩總體比例之差的區(qū)間估計

兩總體比例之差的點估計量為 $\bar{p_1} - \bar{p_2}$

$\bar{p_1} - \bar{p_2}$ 的標準誤差
$\sigma_{\bar{p_1} - \bar{p_2}} = \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$
$\bar{p_1} - \bar{p_2}$ 的區(qū)間估計
$\bar{p_1} - \bar{p_2} \pm z_{\alpha /2} \sqrt{\frac{\bar{p_1}(1-\bar{p_1})}{n_1} + \frac{\bar{p_2}(1-\bar{p_2})}{n_2}}$
其中悠轩， $1-\alpha$ 為置信系數(shù)间狂；兩總體比例未知時，用 $\bar{p_1} ,\bar{p_2}$ 來估計 $p_1, p_2$ 火架。

7. 一個總體方差的統(tǒng)計推斷

從正態(tài)總體中任一抽取一個容量為 $n$ 的簡單隨機樣本鉴象，則
$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$
的抽樣分布服從自由度為 $n-1$ 的 $\chi^2$ 分布忙菠。
一個總體方差的區(qū)間估計
$\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha /2}} \leqslant \sigma^2 \leqslant \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha /2}}$
其中， $\chi^2_{\alpha}$ 表示 $\chi^2$ 分布右側(cè)的面積或概率為 $\alpha$ 時對應(yīng)的 $\chi^2$ 值纺弊， $\chi^2$ 分布的自由度為 $n-1$ 牛欢， $n$ 為樣本容量。

8. 兩個總體方差的統(tǒng)計推斷

從兩個方差相等的正態(tài)總體中分別抽取容量為 $n_1$ 和 $n_2$ 的兩個獨立的簡單隨機樣本淆游，則 $\frac{s_1^2}{s_2^2}$ 的抽樣分布服從分子自由度為 $n_1-1$ 和分布自由度為 $n_2-1$ 的 $F$ 分布傍睹。 $s_1^2$ 為取自總體 $1$ 的容量為 $n_1$ 的隨機樣本的樣本方差， $s_2^2$ 為取自總體 $2$ 的容量為 $n_2$ 的隨機樣本的樣本方差稽犁。

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