一纺座、函數(shù)漸進的界

一硝枉、大O 符號（上界）

定義：設(shè)f和g是定義域為自然數(shù)集N上的函數(shù)。若存在正數(shù)c和n0,使得對一切n $\geq$ n0有0 $\leq$ f(n) $\leq$ cg(n)成立缠黍，則稱f(n)的漸近的上界是g(n),記作f(n)=O(g(n))弄兜。例子：

? ? ? ? 設(shè)f(n) = n $\land$ 2 + n,則

? ? ? ? f(n)=O( ?n $\land$ 2? ),則c=2,n0=1即可

? ? ? ? f(n)=O(n $\land$ 3),則c=1,n0=2即可

1.f(n)=O(g(n)),f(n)的階不高于g(n)的階。

2.可能存在多個正數(shù)c,只要指出一個即可瓷式。

3.對前面有限個值可以不滿足不等式替饿。

4.常函數(shù)可以寫作O（1）

二、大 $\Omega$ 符號（下界）

定義：設(shè)f和g是定義域為自然數(shù)集N上的函數(shù)贸典。若存在正數(shù)c和n0,使得對一切n $\geq$ n0视卢，0 $\leq$ cg(n) $\leq$ f(n)成立，則稱f(n)的漸近的下界是g(n),記作f(n)= $\Omega$ (g(n))廊驼。例子：

? ? ? ?設(shè)f(n) = n $\land$ 2 + n,則

? ? ? ?f(n)= $\Omega$ ( ?n $\land$ 2 )据过，則c=1,n0=1即可

? ? ? ?f(n)= $\Omega$ ( 100n )惋砂，則c=1/100，n0=1即可

1.f(n) =? $\Omega$ (g(n)),f(n)的階不低于g(n)的階绳锅。

2.可能存在多個正數(shù)c,只要指出一個即可西饵。

3.對前面有限個n值可以不滿足不等式。

三鳞芙、小o符號（上界）

定義:設(shè)f和g是定義域為自然數(shù)集N上的函數(shù)眷柔。若對于任意正數(shù)c都存在n0,使得對一切n $\geq$ n0有0 $\leq$ f(n)<cg(n)成立，則記作f(n)=o(g(n))原朝，例子：

????????????f(n)=n $\land$ 2+n,則

????????????f(n)=o(n $\land$ 3)

? ? ? ????? c>=1顯然成立驯嘱，因為n $\land$ 2+n<cn $\land$ 3(n0=2)

? ? ? ????? 任給1>c>0,取n0> $\lceil$ 2/c $\rceil$ 即可。因為

????????????cn>=cn0>2? (當(dāng)n>=n0)

????????????n $\land$ 2+n<2n $\land$ 2<cn $\land$ 3

1.f(n) = o(g(n)),f(n)的階低于g(n)的階喳坠。

2.對不同正數(shù)c鞠评，n0不一樣。c越小n0越大壕鹉。

3.對前面有限個n值可以不滿足不等式谢澈。?

四、小 $\omega$ 符號（下界）

定義:設(shè)f和g是定義域為自然數(shù)集N上的函數(shù)御板。若對于任意正數(shù)c都存在n0,使得對一切n $\geq$ n0有0 $\leq$ cg(n)<f(n)成立锥忿，則記作f(n) = $\omega$ (g(n))

????????????設(shè)f(n)=n $\land$ 2+n,則

????????????f(n)=w(n),

????????????不能寫f(n)=w(n $\land$ 2),因為取c=2，不存在n0使得對一切n>=n0有下式成立

????????????cn $\land$ 2=2n $\land$ 2<n $\land$ 2+n

1.f(n) = $\omega$ (g(n)),f(n)的階高于g(n)的階怠肋。

2.對不同正數(shù)c敬鬓，n0不一樣。c越大n0越大笙各。

3.對前面有限個n值可以不滿足不等式钉答。?

五、 $\Theta$ 符號

若f(n)=O(g(n))且f(n)= $\Omega$ (g(n))杈抢，則記作

f（n）= $\Theta$ (g(n))

例子： f(n)=n^2+n,g(n)=100n^2,那么有

????????????f(n)= $\Theta$ (g(n))

1.f(n)的階與g(n)的階相等

2.對前面有限個n值可以不滿足條件数尿。

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? ? ? ? f(n)=O( ?n2? ),則c=2,n0=1即可

? ? ? ? f(n)=O(n3),則c=1,n0=2即可

1.f(n)=O(g(n)),f(n)的階不高于g(n)的階。

2.可能存在多個正數(shù)c,只要指出一個即可瓷式。

3.對前面有限個值可以不滿足不等式替饿。

4.常函數(shù)可以寫作O（1）

二、大 符號（下界）

定義：設(shè)f和g是定義域為自然數(shù)集N上的函數(shù)贸典。若存在正數(shù)c和n0,使得對一切nn0视卢，0cg(n)f(n)成立，則稱f(n)的漸近的下界是g(n),記作f(n)=(g(n))廊驼。例子：

? ? ? ?設(shè)f(n) = n2 + n,則

? ? ? ?f(n)=( ?n2 )据过，則c=1,n0=1即可

? ? ? ?f(n)=( 100n )惋砂，則c=1/100，n0=1即可

1.f(n) =?(g(n)),f(n)的階不低于g(n)的階绳锅。

2.可能存在多個正數(shù)c,只要指出一個即可西饵。

3.對前面有限個n值可以不滿足不等式。

三鳞芙、小o符號（上界）

定義:設(shè)f和g是定義域為自然數(shù)集N上的函數(shù)眷柔。若對于任意正數(shù)c都存在n0,使得對一切nn0有0f(n)<cg(n)成立，則記作f(n)=o(g(n))原朝，例子：

????????????f(n)=n2+n,則

????????????f(n)=o(n3)

? ? ? ????? c>=1顯然成立驯嘱，因為n2+n<cn3(n0=2)

? ? ? ????? 任給1>c>0,取n0>2/c即可。因為

????????????cn>=cn0>2? (當(dāng)n>=n0)

????????????n2+n<2n2<cn3

1.f(n) = o(g(n)),f(n)的階低于g(n)的階喳坠。

2.對不同正數(shù)c鞠评，n0不一樣。c越小n0越大壕鹉。

3.對前面有限個n值可以不滿足不等式谢澈。?

四、小符號（下界）

定義:設(shè)f和g是定義域為自然數(shù)集N上的函數(shù)御板。若對于任意正數(shù)c都存在n0,使得對一切nn0有0cg(n)<f(n)成立锥忿，則記作f(n) =(g(n))

????????????設(shè)f(n)=n2+n,則

????????????f(n)=w(n),

????????????不能寫f(n)=w(n2),因為取c=2，不存在n0使得對一切n>=n0有下式成立

????????????cn2=2n2<n2+n

1.f(n) = (g(n)),f(n)的階高于g(n)的階怠肋。

2.對不同正數(shù)c敬鬓，n0不一樣。c越大n0越大笙各。

3.對前面有限個n值可以不滿足不等式钉答。?

五、符號

若f(n)=O(g(n))且f(n)=(g(n))杈抢，則記作

f（n）=(g(n))

例子： f(n)=n^2+n,g(n)=100n^2,那么有

????????????f(n)=(g(n))

1.f(n)的階與g(n)的階相等

2.對前面有限個n值可以不滿足條件数尿。

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? ? ? ? 設(shè)f(n) = n $\land$ 2 + n,則

? ? ? ? f(n)=O( ?n $\land$ 2? ),則c=2,n0=1即可

? ? ? ? f(n)=O(n $\land$ 3),則c=1,n0=2即可

二、大 $\Omega$ 符號（下界）

定義：設(shè)f和g是定義域為自然數(shù)集N上的函數(shù)贸典。若存在正數(shù)c和n0,使得對一切n $\geq$ n0视卢，0 $\leq$ cg(n) $\leq$ f(n)成立，則稱f(n)的漸近的下界是g(n),記作f(n)= $\Omega$ (g(n))廊驼。例子：

? ? ? ?設(shè)f(n) = n $\land$ 2 + n,則

? ? ? ?f(n)= $\Omega$ ( ?n $\land$ 2 )据过，則c=1,n0=1即可

? ? ? ?f(n)= $\Omega$ ( 100n )惋砂，則c=1/100，n0=1即可

1.f(n) =? $\Omega$ (g(n)),f(n)的階不低于g(n)的階绳锅。

定義:設(shè)f和g是定義域為自然數(shù)集N上的函數(shù)眷柔。若對于任意正數(shù)c都存在n0,使得對一切n $\geq$ n0有0 $\leq$ f(n)<cg(n)成立，則記作f(n)=o(g(n))原朝，例子：

????????????f(n)=n $\land$ 2+n,則

????????????f(n)=o(n $\land$ 3)

? ? ? ????? c>=1顯然成立驯嘱，因為n $\land$ 2+n<cn $\land$ 3(n0=2)

? ? ? ????? 任給1>c>0,取n0> $\lceil$ 2/c $\rceil$ 即可。因為

????????????n $\land$ 2+n<2n $\land$ 2<cn $\land$ 3

四、小 $\omega$ 符號（下界）

定義:設(shè)f和g是定義域為自然數(shù)集N上的函數(shù)御板。若對于任意正數(shù)c都存在n0,使得對一切n $\geq$ n0有0 $\leq$ cg(n)<f(n)成立锥忿，則記作f(n) = $\omega$ (g(n))

????????????設(shè)f(n)=n $\land$ 2+n,則

????????????不能寫f(n)=w(n $\land$ 2),因為取c=2，不存在n0使得對一切n>=n0有下式成立

????????????cn $\land$ 2=2n $\land$ 2<n $\land$ 2+n

1.f(n) = $\omega$ (g(n)),f(n)的階高于g(n)的階怠肋。

五、 $\Theta$ 符號

若f(n)=O(g(n))且f(n)= $\Omega$ (g(n))杈抢，則記作

f（n）= $\Theta$ (g(n))

????????????f(n)= $\Theta$ (g(n))