存在性定理
18、19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家整了很多微分方程后發(fā)現(xiàn)很多解方程的方法用不了，類似多項(xiàng)式方程的情形（高斯解四次以上方程失敗后轉(zhuǎn)而證明根的存在性）。微分方程如果求出了顯解摩瞎，就證明了根的存在性，現(xiàn)在求顯解失敗孝常，就需要證明解的存在性旗们，雖然不能看出解是啥或解的形式，但還有很多用處构灸。首先上渴，因?yàn)槲⒎址匠處缀醵际俏锢韱?wèn)題的數(shù)學(xué)描述，解的存在性至少保證解方程不是無(wú)謂的嘗試喜颁，其次稠氮，存在性定理能指出關(guān)于給定的物理問(wèn)題必須知道的條件，即什么初始條件和邊界條件保證有一個(gè)解洛巢，且最好保證唯一解。另外隨著存在性定理工作的推進(jìn)次兆，可以意識(shí)到原先不知道的目標(biāo)：解是否隨初始條件連續(xù)變動(dòng)稿茉？初始條件或邊界條件變化時(shí)是否產(chǎn)生新的現(xiàn)象？比如由一個(gè)行星的初始速度值得到的拋物軌道芥炭，初始速度變化可能得到橢圓軌道漓库。最后，之前解方程的方法論如狄利克雷原理或格林原理的運(yùn)用都先假設(shè)了一個(gè)特解的存在园蝠，沒(méi)有建立特解的存在性渺蒿。
在敘述存在性定理前，先說(shuō)明偏微分方程的一種分類彪薛。雖然拉普拉斯和泊松做了類似工作茂装，不過(guò)今天的標(biāo)準(zhǔn)分類是但杜·布瓦一雷蒙引入的怠蹂，1839年他用特征線方法對(duì)一般的齊次二階線性方程進(jìn)行分類，方程系數(shù)是x,y的函數(shù)少态，且一階城侧、二階導(dǎo)連續(xù)，特征曲線到xy平面的投影（這些投影也叫特征）滿足
彼妻，當(dāng)TR-S^2大于0小于0或等于0時(shí)嫌佑，特征分別為虛值、相異實(shí)值和相同實(shí)值侨歉，曲線分別為橢圓的屋摇、雙曲的和拋物的。然后他引入新的獨(dú)立實(shí)變量ξ=Φ(x,y)和η=ψ(x,y),將一般線性方程變換為下面三種正式形式：
曲線族Φ(x,y)=常數(shù)和ψ(x,y)=常數(shù)是兩族特征曲線的方程幽邓。三類方程的補(bǔ)充條件不同炮温，對(duì)a）橢圓，考慮xy平面的一個(gè)有界區(qū)域并給定u在邊界上的值（或一個(gè)等價(jià)條件）颊艳，求u在區(qū)域內(nèi)的值茅特；對(duì)b）雙曲線的初值問(wèn)題，必須在某初始曲線上給定u和δu/δn棋枕，還可給定邊界條件白修；對(duì)c）拋物線，今天我們知道可以加上一個(gè)初始條件和邊界條件重斑，但當(dāng)時(shí)不清楚適當(dāng)?shù)某跏紬l件兵睛。偏微分方程的分類法也推廣到了多變量方程、高階方程和方程組窥浪。其實(shí)19世紀(jì)早期還不清楚方程分類及其補(bǔ)充條件祖很，不過(guò)后來(lái)大家漸漸意識(shí)到差別，并在定理的證明中出現(xiàn)漾脂。
存在性定理成為柯西的主要工作假颇，他強(qiáng)調(diào)求顯解失敗的場(chǎng)合通常可證得解的存在性骨稿。他注意到階數(shù)大于1的偏微分方程都可化為偏微分方程組笨鸡，于是討論方程組解的存在性，該方法被他稱為極限的計(jì)算坦冠，今天叫做優(yōu)勢(shì)函數(shù)法形耗。這個(gè)方法本質(zhì)是證明：具有一定收斂區(qū)域的自變量的冪級(jí)數(shù)確實(shí)滿足該方程組。他的討論僅限于方程系數(shù)和初始條件均可解析的情形辙浑〖さ樱考慮兩個(gè)自變量的二階方程r=f(z,x,y,p,q,s,t)，其中r是z對(duì)x的二階偏導(dǎo)判呕，而f對(duì)變量解析倦踢，此時(shí)必須在初始線x=0指明z(0,y)=z0(y),δz/δx(0,y)=z1(y)送滞，其中z0和z1是解析的（初始線可以為曲線，此時(shí)z對(duì)x的偏導(dǎo)必須改為對(duì)法向的偏導(dǎo)）硼一，滿足以上條件時(shí)z=(x,y)存在且唯一累澡，并在某個(gè)從初始線出發(fā)的區(qū)域內(nèi)解析“阍簦柯瓦列夫斯卡婭(Sophie Kowalewsky,1850-1891)獨(dú)立得到了柯西結(jié)果略改進(jìn)一點(diǎn)的形式愧哟，她是魏爾斯特拉斯的學(xué)生，并繼承了他的思想哼蛆，也是少數(shù)知名女?dāng)?shù)學(xué)家之一蕊梧。（首個(gè)獲得科學(xué)院頒獎(jiǎng)的女性是蘇菲姬曼 Sophie Germain,1776-1831，她關(guān)于彈性的論文獲得了法國(guó)科學(xué)院的獎(jiǎng)金）柯瓦列夫斯卡婭1888年關(guān)于剛體繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的論文也獲得了巴黎科學(xué)院的獎(jiǎng)金腮介，1889年她在斯德哥爾摩當(dāng)數(shù)學(xué)教授肥矢。后來(lái)古爾薩改進(jìn)了柯西和柯瓦列夫斯卡婭的證明。
如果給定二階方程形為G(z,x,y,p,q,r,s,t)=0.那么解方程前要先解出r叠洗，設(shè)方程是,其中ABCDEF是x,y的函數(shù)甘改，為了解出r必須有δG/δr≠0，如果等于0灭抑，柯西問(wèn)題的解不一定存在十艾，即使存在也不唯一。有更多自變量時(shí)（現(xiàn)在考慮3個(gè)自變量）腾节，如果方程寫為：
例外情形是初始曲面S滿足一階偏微分方程
沿這樣的曲面忘嫉，方程兩個(gè)解可以相切，甚至有高階接觸案腺，這個(gè)性質(zhì)和一階方程f(x,y,u,p,q)=0的特征曲線性質(zhì)一樣庆冕，因此這些曲面也叫特征，曲面S在物理上就是波前劈榨。
蒙日和安培（就是我們知道的那個(gè)安培访递，André-Marie Ampère,1775-1836)也知道兩個(gè)自變量時(shí)的特征理論，而巴克隆德（Johan Oskar?Backlund同辣，1845-1922）首次將理論推廣到超過(guò)兩個(gè)自變量的情形拷姿，但沒(méi)有多少人知道，一直到Jules Beudon(1869-1900)再次得到結(jié)果邑闺。
20世紀(jì)法國(guó)主要的數(shù)學(xué)家哈達(dá)瑪（Jacques Solomon Hadamard跌前，1865-1963）在1903年把特征理論推廣到任意階的偏微分方程棕兼，比如考慮自變量為x1,x2,...,xn陡舅，應(yīng)變量為ξ，η伴挚，ζ的三個(gè)二階偏微分方程的方程組靶衍，對(duì)這個(gè)方程組的柯西問(wèn)題是：在n-1維“曲面”Mn-1上給定了ξ灾炭，η，ζ和它們對(duì)xn的偏導(dǎo)值颅眶，求函數(shù)ξ蜈出，η，ζ涛酗。除非Mn-1滿足一個(gè)六次的一階偏微分方程铡原，比如H=0，否則函數(shù)ξ商叹，η燕刻，ζ的二階和高階導(dǎo)數(shù)都可以計(jì)算。所有滿足H=0的“曲面”是特征“曲面”剖笙。H=0是由
定義的特征線（曲線）卵洗，其中P1,P2,...,Pn-1是xn沿“曲面”Mn-1所取的對(duì)x1,x2,...,xn-1的偏導(dǎo)數(shù)。這些線叫做原二階方程組的雙特征弥咪，它們?cè)诠饫碚撝斜硎旧渚€过蹂。
目前特征在偏微分方程理論中十分重要，比如在特征理論的基礎(chǔ)上聚至，達(dá)布曾給出積分兩個(gè)自變量的二階偏微分方程的有效方法酷勺，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化積分一個(gè)或多個(gè)常微分方程，包括了蒙日晚岭、拉普拉斯和其他人的方法鸥印。
