勾股定理

勾股定理

圓

圓形的概念的形成教馆，是人類認(rèn)知?dú)v史上的一大里程碑较沪。

圓周率

定義1

定義2

以圓形半徑為邊長作一正方形优俘，然後把圓形面積和此正方形面積比玫膀。

圓與外接正方形

定義3

滿足

的最小正實(shí)數(shù)封断。

y=sin(x)

這里的正弦函數(shù)定義為冪級數(shù)

百度百科：圓周率

Tamar Friedmann and Carl Hagen

18世紀(jì)沃利斯發(fā)現(xiàn)的經(jīng)典圓周率公式

隨著能量的增加斯辰，從變分解的極限公式里，哈根和弗里德曼找到了沃利斯的圓周率公式坡疼。

量子力學(xué)理論在20世紀(jì)初期誕生彬呻，而沃利斯圓周率公式已經(jīng)存在了數(shù)百年，但這兩者之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)直到今天才被發(fā)現(xiàn)。

代數(shù)

π是個無理數(shù)闸氮，即不可表達(dá)成兩個整數(shù)之比，是由瑞士科學(xué)家約翰·海因里希·蘭伯特于1761年證明的心铃。 1882年蟹地，林德曼（Ferdinand von Lindemann）更證明了π是超越數(shù)，即π不可能是任何整系數(shù)多項(xiàng)式的根或悲。

圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規(guī)作圖問題的可能性孙咪，因所有尺規(guī)作圖只能得出代數(shù)數(shù)，而超越數(shù)不是代數(shù)數(shù)巡语。

數(shù)學(xué)分析

Leibniz定理：

Wallis公式：

高斯積分：

A graph of the Gaussian function

The colored region between the function and the x-axis has area √π.

高斯分布

斯特林公式：

π的連分?jǐn)?shù)表示：

數(shù)論

兩個任意自然數(shù)是互質(zhì)的概率是

任取一個任意整數(shù)翎蹈，該整數(shù)沒有重復(fù)質(zhì)因子的概率為

一個任意整數(shù)平均可用

概率論

設(shè)我們有一個以平行且等距木紋鋪成的地板男公，隨意拋一支長度比木紋之間距離小的針杨蛋，求針和其中一條木紋相交的概率。這就是布豐投針問題理澎。1777 年逞力，布豐自己解決了這個問題——這個概率值是 1/π。

統(tǒng)計(jì)學(xué)

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)：

圓的內(nèi)接正多邊形和外接正多邊形

π can be estimated by computing the perimeters of circumscribed and inscribed polygons.

古希臘大數(shù)學(xué)家阿基米德(公元前287–212 年) 開創(chuàng)了人類歷史上通過理論計(jì)算圓周率近似值的先河糠爬。阿基米德從單位圓出發(fā)寇荧，先用內(nèi)接正六邊形求出圓周率的下界為3，再用外接正六邊形并借助勾股定理求出圓周率的上界小于4执隧。接著揩抡，他對內(nèi)接正六邊形和外接正六邊形的邊數(shù)分別加倍，將它們分別變成內(nèi)接正12邊形和外接正12邊形镀琉，再借助勾股定理改進(jìn)圓周率的下界和上界峦嗤。他逐步對內(nèi)接正多邊形和外接正多邊形的邊數(shù)加倍，直到內(nèi)接正96邊形和外接正96邊形為止屋摔。最后烁设，他求出圓周率的下界和上界分別為223/71 和22/7， 并取它們的平均值3.141851 為圓周率的近似值钓试。阿基米德用到了迭代算法和兩側(cè)數(shù)值逼近的概念装黑，稱得上是“計(jì)算數(shù)學(xué)”的鼻祖。

公元263年弓熏，中國數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率恋谭，他先從圓內(nèi)接正六邊形，逐次分割一直算到圓內(nèi)接正192邊形挽鞠。他說“割之彌細(xì)疚颊，所失彌少狈孔，割之又割，以至于不可割材义，則與圓周合體而無所失矣除抛。”母截，包含了求極限的思想到忽。劉徽給出π=3.141024的圓周率近似值，劉徽在得圓周率=3.14之后清寇，將這個數(shù)值和晉武庫中漢王莽時代制造的銅制體積度量衡標(biāo)準(zhǔn)嘉量斛的直徑和容積檢驗(yàn)喘漏，發(fā)現(xiàn)3.14這個數(shù)值還是偏小。于是繼續(xù)割圓到1536邊形华烟，求出3072邊形的面積翩迈，得到令自己滿意的圓周率

公元480年左右，南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖沖之進(jìn)一步得出精確到小數(shù)點(diǎn)后7位的結(jié)果盔夜，給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927负饲，還得到兩個近似分?jǐn)?shù)值，密率

歐拉公式

歐拉公式：

[Euler's formula](https://en.m.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula)

Euler's formula states that, for any [real number]


![](http://latex.codecogs.com/svg.latex?e^{ix}=\cos x+i\sin x)

where e is the base of the natural logarithm, i is the imaginary unit, and cos and sin are the trigonometric functions cosine and sine respectively, with the argument x given in radians.

三角函數(shù)分析

微積分

使用微積分喂链，我們將圓象洋蔥一樣分為薄圓環(huán)返十，遞增地求出面積。

宇宙運(yùn)行軌道

萬有引力定律

電磁場方程

相對論

相對論的場方程：

量子力學(xué)

海森堡不確定性原理：

本文繪圖使用：http://zh.numberempire.com/graphingcalculator.php迟杂，在次感謝作者！