如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維
奧數(shù)網(wǎng)整理2011-07-05 08:31:02
作為一名數(shù)學(xué)老師與數(shù)學(xué)研究者厢绝，我一直在思考剑肯，數(shù)學(xué)到底是怎樣一個(gè)體系，應(yīng)該怎么教授數(shù)學(xué)這一學(xué)科欺旧。接觸的多了姑丑，思考的多了，有了一些自己的總結(jié)與心得辞友，愿與大家分享栅哀。
首先的一個(gè)問(wèn)題是震肮，數(shù)學(xué)是什么?這個(gè)問(wèn)題，從不同的角度來(lái)看留拾，有不同的答案戳晌。一般來(lái)說(shuō)，經(jīng)典的定義是痴柔，數(shù)學(xué)是一門(mén)研究客觀實(shí)在的數(shù)量關(guān)系和空間位置關(guān)系的一門(mén)學(xué)問(wèn)沦偎。而我的回答則是，數(shù)學(xué)是一門(mén)語(yǔ)言咳蔚。我們知道豪嚎，語(yǔ)言的作用是交流，通過(guò)怎樣的方式來(lái)交流呢?通過(guò)描述的方式來(lái)交流谈火。也就是語(yǔ)言的作用主要體現(xiàn)在“描述”上侈询，通過(guò)描述所要表達(dá)的對(duì)象，來(lái)達(dá)到交流的目的糯耍。那么數(shù)學(xué)這一語(yǔ)言描述的是什么呢?是通過(guò)怎樣的方式來(lái)描述的呢?它到底是怎樣一個(gè)體系呢?下面我逐層來(lái)回答這些問(wèn)題扔字，并相應(yīng)地提出如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。
首先谍肤，數(shù)學(xué)是對(duì)客觀實(shí)在的描述和總結(jié)啦租。什么是數(shù)學(xué)?顧名思義，數(shù)學(xué)就是關(guān)于數(shù)的學(xué)問(wèn)荒揣。數(shù)學(xué)描述的是客觀的數(shù)量關(guān)系和空間位置關(guān)系篷角。數(shù)學(xué)是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的一種數(shù)量描述，是對(duì)客觀規(guī)律的一種抽象總結(jié)系任。所以第一步我們要在現(xiàn)實(shí)中恳蹲、生活中去感知數(shù)學(xué)，體悟數(shù)學(xué)俩滥。也就是說(shuō)嘉蕾，第一步，我們要形象地霜旧、直感地學(xué)數(shù)學(xué)错忱。
小孩子認(rèn)識(shí)世界一般通過(guò)直感，也就是直接形象地去感知世界挂据，而不是分析以清。比如，我們問(wèn)小孩子為什么怕火崎逃，他們會(huì)把燒傷的手伸出來(lái)掷倔，說(shuō)燙。這是最直接的感覺(jué)个绍。一般而言勒葱，小學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)主要也是通過(guò)直感來(lái)認(rèn)知的浪汪。想想我們小時(shí)候，最初是怎么學(xué)數(shù)學(xué)的?小時(shí)候?qū)W1+2=3凛虽，怎么學(xué)呢?拿一個(gè)蘋(píng)果死遭，再添上兩個(gè)蘋(píng)果，數(shù)數(shù)是三個(gè)蘋(píng)果涩维。所以1+2=3殃姓。這都需要通過(guò)現(xiàn)實(shí)中的東西來(lái)感覺(jué)，來(lái)認(rèn)知瓦阐。記得我們小時(shí)候?qū)W算術(shù)蜗侈，都是通過(guò)數(shù)手指頭來(lái)幫助運(yùn)算的。后來(lái)學(xué)的數(shù)大起來(lái)了睡蟋，手指頭不夠用了踏幻，怎么辦呢?我比較聰明，就撿了一堆小石子戳杀，一遇到算術(shù)問(wèn)題就數(shù)石子该面。
通過(guò)直感來(lái)認(rèn)識(shí)世界，是最原始的本能信卡。甚至可以說(shuō)是無(wú)師自通的隔缀。所以即使沒(méi)有讀過(guò)書(shū)的人，也懂得如何計(jì)算數(shù)的加減乘除傍菇。小學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)主要就是通過(guò)這種形象的猾瘸、直感的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的。現(xiàn)在我們已經(jīng)是中學(xué)生了丢习，相應(yīng)地學(xué)數(shù)學(xué)的方法也有了改變牵触。
我們知道，小學(xué)時(shí)候的數(shù)學(xué)主要還是和具體的數(shù)字打交道咐低。到中學(xué)后揽思，就脫離具體的數(shù)字，主要和抽象的字母和數(shù)學(xué)符號(hào)打交道了见擦。中學(xué)數(shù)學(xué)的主體是代數(shù)和幾何钉汗，而幾何也主要是通過(guò)字母來(lái)表示和運(yùn)算的。代數(shù)鲤屡，顧名思義儡湾，也就是代替數(shù)字，用抽象的字母和符號(hào)來(lái)代替具體的數(shù)字执俩。從這角度來(lái)看，我們能很清楚地看出中學(xué)數(shù)學(xué)和小學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別之何在癌刽。很多人以為中學(xué)數(shù)學(xué)只是比小學(xué)數(shù)學(xué)多學(xué)了一些知識(shí)衡奥，實(shí)際并不然，小學(xué)數(shù)學(xué)到中學(xué)數(shù)學(xué)，最重要的并不是那些知識(shí)，而是思維方式的轉(zhuǎn)變，從形象的直感思維向抽象的邏輯思維轉(zhuǎn)變。
現(xiàn)在再計(jì)算1+2=3徘铝，我們當(dāng)然不必再數(shù)手指頭了混埠，直接就可以得出答案。這一方面是因?yàn)橛?jì)算經(jīng)驗(yàn)很多半醉，熟能生巧养晋。另一方面姆泻，則是因?yàn)槲覀円呀?jīng)可以脫離直感來(lái)計(jì)算了潜秋，不必借助外界中具體的形象來(lái)思考祥楣，可以直接通過(guò)抽象的邏輯來(lái)運(yùn)算蛹屿。這時(shí)候就到了第二個(gè)層次恭金，要抽象地操禀、邏輯地看數(shù)學(xué)。
第二横腿，數(shù)學(xué)是一個(gè)邏輯體系颓屑，是邏輯的代言，是通過(guò)邏輯的方式來(lái)描述客觀實(shí)在的耿焊。去年我和浙大人文學(xué)院的教授余式厚老師合作揪惦，編寫(xiě)一套《邏輯達(dá)人》系列的圖書(shū)，我們大概六七個(gè)人一天到晚地忙碌罗侯。我曾有詩(shī)記之器腋。
詩(shī)書(shū)實(shí)腹酒實(shí)樽，
樓外寒冬樓內(nèi)春。
梅凋鶴去尋無(wú)意蒂培，
家事國(guó)情兩不聞再愈。
其中我主要編寫(xiě)的一個(gè)分冊(cè)就是《邏輯與數(shù)學(xué)的聯(lián)姻》。為此我專(zhuān)門(mén)寫(xiě)了一篇文章《邏輯與數(shù)學(xué)的聯(lián)姻》护戳，來(lái)闡述邏輯與數(shù)學(xué)之間的關(guān)系。
《邏輯與數(shù)學(xué)的聯(lián)姻》
數(shù)學(xué)垂睬，自來(lái)被認(rèn)為是邏輯的代言媳荒。一種說(shuō)法認(rèn)為，一門(mén)學(xué)問(wèn)能成為一門(mén)科學(xué)驹饺，必須有數(shù)學(xué)的介入钳枕。這個(gè)說(shuō)法雖有些偏頗，但我認(rèn)為確有其道理赏壹。
一般來(lái)說(shuō)鱼炒，學(xué)問(wèn)分為兩大類(lèi)，一是科學(xué)蝌借，一是藝術(shù)昔瞧。藝術(shù)源于想象，科學(xué)源于實(shí)踐——
當(dāng)然菩佑，藝術(shù)的想象是基于實(shí)踐的想象自晰，科學(xué)的實(shí)踐也是基于想象的實(shí)踐。一門(mén)
學(xué)問(wèn)能成為一門(mén)科學(xué)稍坯，必須要對(duì)實(shí)踐過(guò)程中發(fā)生的繁雜的現(xiàn)象作一個(gè)分類(lèi)酬荞，從而進(jìn)行概括、梳理瞧哟、歸納混巧，進(jìn)而探索其本質(zhì)原因。簡(jiǎn)而言之勤揩，一門(mén)學(xué)問(wèn)科學(xué)化的過(guò)程咧党，
就是實(shí)踐化、抽象化雄可、概念化凿傅、條理化、體系化的過(guò)程数苫。在這一過(guò)程中聪舒，邏輯理所當(dāng)然地發(fā)揮了不可替代的作用。所以虐急，我認(rèn)為“一門(mén)學(xué)問(wèn)能成為一門(mén)科學(xué)箱残，必須有
數(shù)學(xué)的介入”這一說(shuō)法，實(shí)質(zhì)上是“一門(mén)學(xué)問(wèn)能成為一門(mén)科學(xué)，必須有邏輯的介入”被辑。只有邏輯介入燎悍，我們才能對(duì)那些隨機(jī)的、偶然的盼理、表象的谈山、繁復(fù)的現(xiàn)象，進(jìn)行
分類(lèi)宏怔、歸納奏路、總結(jié)，從而實(shí)現(xiàn)人為的復(fù)制臊诊。到這時(shí)鸽粉，一門(mén)學(xué)問(wèn)才真正成為一門(mén)完整的、成熟的科學(xué)抓艳。對(duì)于人類(lèi)而言触机，野蠻與文明的分野，恰是邏輯的開(kāi)端玷或。
人類(lèi)自認(rèn)識(shí)外界開(kāi)始儡首，就在進(jìn)行量的探索，在數(shù)的領(lǐng)域中翱翔庐椒。所以有歷史學(xué)家考證認(rèn)
為椒舵，會(huì)計(jì)學(xué)是科學(xué)的開(kāi)端。事實(shí)上约谈，對(duì)于數(shù)與量的探索笔宿，離不開(kāi)對(duì)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象的抽象、歸納棱诱、與總結(jié);同樣泼橘，沒(méi)有數(shù)量提供的一片原始的、廣闊的天地迈勋，抽象炬灭、歸納、
總結(jié)這些系統(tǒng)性的方法也難以大展拳腳靡菇，其威力也難以得到充分的發(fā)揮重归。簡(jiǎn)而
言之，離開(kāi)了數(shù)學(xué)的邏輯厦凤，難以發(fā)揮其作用;離開(kāi)了邏輯的數(shù)學(xué)鼻吮，難以形成其體系。數(shù)學(xué)是邏輯的載體较鼓，邏輯是數(shù)學(xué)的精神椎木。所以违柏，我認(rèn)為在數(shù)學(xué)與邏輯之間，存在
著一種互相促進(jìn)香椎、互相補(bǔ)充漱竖、互相成就，甚至互相表達(dá)畜伐、互相代言的關(guān)系馍惹。因此，數(shù)學(xué)也就水到渠成地被認(rèn)為是邏輯的代言烤礁。也就理所當(dāng)然地有了“一門(mén)學(xué)問(wèn)能成為
一門(mén)科學(xué)讼积，必須有數(shù)學(xué)的介入”這一說(shuō)法。
以上的說(shuō)法脚仔，絕對(duì)不是無(wú)稽之談。一般認(rèn)為舆绎，兩千多年前成書(shū)于古希臘的《幾何原本》
是數(shù)學(xué)的集大成之作鲤脏，同時(shí)也是邏輯學(xué)應(yīng)用的集大成之作。這是很早之前邏輯學(xué)與數(shù)學(xué)就已進(jìn)行聯(lián)姻的一個(gè)明證吕朵。包括美國(guó)總統(tǒng)林肯在內(nèi)的千千萬(wàn)萬(wàn)的人猎醇，都是通過(guò)
學(xué)習(xí)《幾何原本》來(lái)訓(xùn)練自己的邏輯思考能力的。
考慮到邏輯與數(shù)學(xué)的這種歷史淵源與現(xiàn)實(shí)關(guān)系努溃，在本套《邏輯達(dá)人》系列叢書(shū)中硫嘶，我們特意編寫(xiě)了這本《邏輯與數(shù)學(xué)的聯(lián)姻》，再次展現(xiàn)邏輯學(xué)與數(shù)學(xué)之間微妙的關(guān)系梧税，以及兩者融合后所散發(fā)出的無(wú)窮的魅力沦疾。
既然數(shù)學(xué)與邏輯之間有如此緊密的聯(lián)系，我們就不能孤立地將它們分裂開(kāi)來(lái)第队。我學(xué)數(shù)學(xué)是非常注重?cái)?shù)學(xué)的邏輯性的哮塞。在邏輯上能將數(shù)學(xué)融會(huì)貫通后，再隨心所欲地發(fā)
揮數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性凳谦，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的正途忆畅。據(jù)我自己總結(jié)，我學(xué)數(shù)學(xué)的方法就是我所說(shuō)的“三化方法”：概念的抽象化尸执、思維的條理化家凯、邏輯的體系化。其中概念是對(duì)
思考對(duì)象的抽象總結(jié)如失，是邏輯賴(lài)以存在的根基绊诲，可以說(shuō)沒(méi)有概念就沒(méi)有邏輯，所以我們要深入地岖常、抽象地去理解概念驯镊，而不能流于直觀和表面。我曾寫(xiě)過(guò)一篇《我的
邏輯觀》簡(jiǎn)述我對(duì)邏輯的思考：
《我的邏輯觀》
去年冬天在余式厚老師處編寫(xiě)《邏輯達(dá)人》系列叢書(shū)。我們大概六七個(gè)人一天到晚地忙碌板惑。我曾有詩(shī)記之橄镜。
詩(shī)書(shū)實(shí)腹酒實(shí)樽，
樓外寒冬樓內(nèi)春冯乘。
梅凋鶴去尋無(wú)意洽胶，
家事國(guó)情兩不聞。
因?yàn)槲业臄?shù)學(xué)功底不錯(cuò)裆馒，便主要負(fù)責(zé)編寫(xiě)《數(shù)學(xué)與邏輯的聯(lián)姻》這一分部姊氓，整天埋首于
邏輯問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題，間或幫著答疑解惑喷好。我是以數(shù)學(xué)和邏輯立足根基的翔横，不敢自夸有成，亦小有所得梗搅。我的邏輯學(xué)不是來(lái)自于書(shū)本或其他人的教授禾唁，純粹是我自己
從數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與思考中體悟、總結(jié)來(lái)的无切，是數(shù)學(xué)的副產(chǎn)品荡短，是我自己的
邏輯學(xué)。雖不博大精深哆键，但還算切實(shí)有用掘托。這里我并不想過(guò)多地談邏輯，因我未系統(tǒng)學(xué)過(guò)邏輯學(xué)籍嘹，也或有誤導(dǎo)讀者之嫌闪盔。所以這里只是簡(jiǎn)單介紹一下我的邏輯觀。
我認(rèn)為邏輯只是定義與性質(zhì)噩峦、性質(zhì)與定義锭沟，定義與定義、性質(zhì)與性質(zhì)之間的等價(jià)或包含
關(guān)系识补。欲有邏輯族淮，必先有定義，也必先有性質(zhì)凭涂，然后則邏輯自然生成祝辣。所謂定義，就是對(duì)某一思考對(duì)象的人為的抽象總結(jié)切油，抽象出其最基本蝙斜、最本質(zhì)的性質(zhì)，這一性
質(zhì)與這一定義完全成最簡(jiǎn)等價(jià)關(guān)系澎胡。所謂最簡(jiǎn)等價(jià)孕荠，便是沒(méi)有娩鹉、也不需
要多余的條件，兩者獨(dú)立互為充分必要條件的關(guān)系稚伍。這一定義便表示這一性質(zhì)弯予，這一性質(zhì)也便等同這一定義，兩者之間完全劃等號(hào)个曙。例如我們講平行四邊形锈嫩，何為平
行四邊形的定義?有人說(shuō)兩組對(duì)邊分別平行、兩組對(duì)邊分別相等垦搬，兩組對(duì)角分別相等呼寸、兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。這便錯(cuò)了猴贰，因?yàn)檫@不是最簡(jiǎn)等價(jià)
關(guān)系对雪，而是把定義與性質(zhì)亂糟糟混合在一起，不明所以米绕。事實(shí)上平行四邊形的定義只是“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形”慌植。一個(gè)四邊形是“平行四邊形”，便表示“兩
組對(duì)邊分別平行”义郑，一個(gè)四邊形“兩組對(duì)邊分別平行”，便表示它是“平行四邊形”丈钙。對(duì)于四邊形而言非驮，“平行四邊形”與“兩組對(duì)邊分別平行”兩者之間完全劃等
號(hào)。其它的諸如兩組對(duì)邊分別相等雏赦、兩組對(duì)角分別相等劫笙、兩條對(duì)角線互相平分，都是在這一定義的基礎(chǔ)上通過(guò)邏輯推導(dǎo)出來(lái)的星岗，只是它的衍生性質(zhì)——當(dāng)然可以證明
它們也都是等價(jià)的填大。
定義從何而來(lái)?定義來(lái)自于概念。所謂概念便是人們對(duì)事物本身的認(rèn)識(shí)俏橘，我字面理解一
下允华，就是人對(duì)事物本身概括地思考它是什么。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)寥掐，我認(rèn)為概念就是沒(méi)完全脫離實(shí)體存在的靴寂、不成熟的定義。概念來(lái)自于哪里?我認(rèn)為概念來(lái)自于常識(shí)召耘。所謂常
識(shí)百炬，便是人們對(duì)思考對(duì)象經(jīng)過(guò)積累的、直接的污它、實(shí)踐性的剖踊、感覺(jué)性的認(rèn)
識(shí)庶弃。另外補(bǔ)充一下，我認(rèn)為邏輯賴(lài)以存在的公理德澈、公設(shè)也是對(duì)常識(shí)的抽象總結(jié)歇攻。所以我認(rèn)為，邏輯是常識(shí)的抽象影像圃验，或說(shuō)邏輯只是常識(shí)的另一種抽象的表述形式掉伏。
邏輯與常識(shí)經(jīng)常表現(xiàn)出高度的一致，原因也在于此澳窑。其實(shí)日常生活中斧散，很多人都是把邏輯與常識(shí)混為一談了，錯(cuò)把常識(shí)當(dāng)邏輯摊聋。舉例來(lái)說(shuō)鸡捐，如果我說(shuō)因?yàn)榻裉礻幪欤?/p>
所以今天不會(huì)下雨。別人會(huì)說(shuō)我說(shuō)話不合邏輯麻裁。事實(shí)上箍镜，這句話無(wú)干邏輯，只是不合常識(shí)煎源。對(duì)于一般人來(lái)說(shuō)色迂，是常識(shí)告訴我們陰天往往會(huì)下雨，而不是邏輯手销。那么怎
么才關(guān)系到邏輯呢?如果我們給“陰天”和“下雨”下個(gè)定義歇僧，便是邏輯的問(wèn)題了。比如锋拖，我們定義“陰天”為“由于天空中水滴很多而凝聚成云诈悍，從而引起的一種
陽(yáng)光很少或不能透過(guò)云層,
天色陰暗的天空狀況”，定義“下雨”為“空氣中凝結(jié)的小水滴從天空中落下來(lái)”兽埃。那么“陰天往往會(huì)下雨”便是一個(gè)邏輯問(wèn)題了侥钳。“陰天”表示“空氣中小水滴很
多”柄错，“小水滴很多”則“凝結(jié)起來(lái)降下來(lái)”的概率就很大舷夺，這便是往往會(huì)“下雨”了。
理清了邏輯與定義的關(guān)系鄙陡，理清了邏輯與常識(shí)的區(qū)別冕房，然后才能逐步理解何謂邏輯，在此基礎(chǔ)上才能最好地趁矾、準(zhǔn)確地運(yùn)用邏輯耙册。脫離了常識(shí)談邏輯，基本上只是做做頭腦游戲毫捣，沒(méi)多大意義详拙。
記得在余老師處帝际，每天都是我們自己燒菜，洗潔精用得很快饶辙。有一次余老師一次性購(gòu)買(mǎi)了三瓶洗潔精蹲诀，一位女生問(wèn)他為何不買(mǎi)桶裝洗潔精。余老師愕然問(wèn)道：“洗潔精有桶裝的么?”我笑道：“余老師弃揽，您邏輯學(xué)雖然好脯爪，可是只有邏輯是不夠的，還需要常識(shí)矿微『勐”滿屋哄然大笑。
其實(shí)對(duì)于生活而言涌矢，只有邏輯和常識(shí)還是不夠的掖举，這兩者只是人們對(duì)身外的認(rèn)識(shí)，另外
還需要對(duì)心內(nèi)的訴求娜庇，這便是信念塔次。信念無(wú)干邏輯，無(wú)干常識(shí)名秀，無(wú)需經(jīng)過(guò)理性的審查励负，只是一個(gè)“信”字，所謂“信則靈”匕得。然而我們不能因?yàn)樾拍顭o(wú)需經(jīng)過(guò)理性的
審查熄守，便說(shuō)信念不理性。事實(shí)上經(jīng)過(guò)優(yōu)勝劣汰的選擇耗跛，信念與理性是呈現(xiàn)高度一致性的——雖然并不完全一致。
我一直用邏輯體系安排自己的生活攒发，最終卻發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)互相矛盾的公設(shè)调塌。自由與責(zé)任，難矣哉兩全惠猿。其中的協(xié)調(diào)與取舍實(shí)在令人頭疼羔砾。單純的邏輯是沒(méi)有意義的，還需要信念與常識(shí)偶妖〗啵縱使邏輯不能幫我解決所有問(wèn)題，我還有理性趾访。當(dāng)然态秧，偶爾也可以借鑒一下隨機(jī)體系。
基于以上所說(shuō)扼鞋，第二步申鱼，我們要抽象地愤诱、邏輯地學(xué)數(shù)學(xué)。這是中學(xué)必須要完成的一個(gè)培養(yǎng)捐友。至于怎么學(xué)呢?我有以下三個(gè)總結(jié)：
(一)加深對(duì)概念與公理的理解淫半，從抽象、邏輯上理解匣砖，而不能流于直觀化科吭、表面化(而這正是大多數(shù)學(xué)生的問(wèn)題所在);
(二)學(xué)會(huì)對(duì)概念與公理的運(yùn)用，并融入潛意識(shí)猴鲫，形成本能对人。一切問(wèn)題都回歸到基本的概念與公理，并從概念與公理出發(fā)進(jìn)行邏輯推導(dǎo)变隔。我認(rèn)為這將會(huì)培養(yǎng)學(xué)生深刻理解問(wèn)題本質(zhì)规伐，從基本假設(shè)出發(fā)建立理論體系的能力，對(duì)學(xué)生日后的發(fā)展將有不可估量的影響;
(三)強(qiáng)化思維訓(xùn)練匣缘，加強(qiáng)思維的靈活與開(kāi)闊猖闪，打破僵化的思維模式，學(xué)會(huì)正確的思考方法肌厨。以我的經(jīng)驗(yàn)培慌，我認(rèn)為，多思考柑爸、分析趣題吵护、難題，并思考其之思考表鳍，是比較有效的方法馅而。
最后，數(shù)學(xué)就是一套思維方法譬圣，是溝通形象與抽象的一座橋梁瓮恭。數(shù)學(xué)要培
養(yǎng)的就是能夠從直觀的、具體的形象中抽象出邏輯概念厘熟，又能夠把抽象的概念翻譯成直觀的屯蹦、具體的形象，但是又不是簡(jiǎn)單地等同于直觀對(duì)象的能力绳姨。我所看到的數(shù)
學(xué)家大部分都是這樣的登澜，在他們眼中，抽象的概念本身就像是直觀可以感知的東西飘庄。(當(dāng)然也有一些代數(shù)學(xué)家能夠直接地進(jìn)行抽象的思考)脑蠕。這是思維的高級(jí)階段，
已經(jīng)是形象思維和抽象思維完全融為一體跪削，無(wú)所謂形象還是抽象了空郊。
通過(guò)以上敘述份招，我們可以看出，小學(xué)階段狞甚，我們主要通過(guò)形象锁摔、直感的思維方式學(xué)數(shù)學(xué)，并逐漸通過(guò)形象哼审、直感的方式谐腰，培養(yǎng)抽象的、邏輯的思維方式涩盾。中學(xué)階段
——包括初中和高中——?jiǎng)t主要培養(yǎng)并加強(qiáng)抽象的十气、邏輯的思維，并逐步完成邏輯的概念化春霍、條理化和體系化砸西。如果大學(xué)還要就一步深修數(shù)學(xué)，則還要培養(yǎng)將形象址儒、
直感的思維與抽象的芹枷、邏輯的思維通匯貫通，融為一體的化合思維莲趣。也即是我所說(shuō)的鸳慈，抽象之抽象，謂之悟喧伞。這時(shí)則可以體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性和思想性走芋。
以上所談思維的三個(gè)階段，就像人生的三重境界潘鲫，第一境界翁逞，看山是山，看水是水;第二境界溉仑，看山不是山熄攘，看水不是水;第三境界，看山還只是山彼念，看水還只是
水。小孩子的形象的直感思維浅萧，就是第一境界逐沙，看山是山，看水是水洼畅。中學(xué)要培養(yǎng)的抽象的邏輯思維吩案，是第二境界，看山不是山帝簇，看水不是水徘郭。再然后才是第三境
界靠益，看山還只是山，看水還只是水残揉。這時(shí)形象的直感思維和抽象的邏輯思維已經(jīng)融為一體了胧后，分不清彼此。這是思維的最高層境界抱环。
