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此文內(nèi)容為《動態(tài)隨機(jī)一般均衡(DSGE)模型》的筆記贾费，李向陽老師著褂萧，清華大學(xué)出版社出版唱凯。

我只將個人會用到的知識作了筆記，并對教材較難理解的部分做了進(jìn)一步闡述票从。為了更易于理解纫骑，我還對教材上的一些部分（包括代碼和正文）做了修改。

僅供學(xué)習(xí)參考煤墙，請勿轉(zhuǎn)載，侵刪脚作！

上一篇有關(guān)Dyanre的文章為大家介紹了有關(guān)log-level、Dynare解的表示亿扁、計算結(jié)果的保存等一系列內(nèi)容。在這篇文章牍陌，我會總結(jié)有關(guān)DSGE的確定性模擬技術(shù)。

3.8 確定性模擬

確定性模擬和隨機(jī)模擬是模型分析的重要內(nèi)容和方法链嘀，是在參數(shù)估計和模型求解之后必須要進(jìn)行的操作怀泊。不論是確定性模擬還是隨機(jī)模擬，都必須是模型結(jié)構(gòu)參數(shù)已知并且模型已經(jīng)被求解的基礎(chǔ)上才能進(jìn)行的误趴。

在開始模擬之前霹琼，還有一些準(zhǔn)備工作：

• 首先，在大多數(shù)情況下凉当，不論是確定性模擬還是隨機(jī)模擬枣申，都需要提供初始條件（Initial Condition）看杭，某些情況下還需要提供終止條件（Terminal Condition）忠藤。

初始條件和終止條件一般是指內(nèi)生變量和外生變量的初值和終值。

• 另外楼雹，根據(jù)問題分析的需要模孩，指定外生沖擊的變化特征包括外生沖擊的大小、外生沖擊的方差贮缅、外生沖擊的持續(xù)周期等榨咐。

3.8.1 初始條件和終止條件

一般來說，初值設(shè)定的目標(biāo)有兩個：

• 為隨機(jī)模擬和確定性模擬的計算提供穩(wěn)態(tài)值谴供，提供一個初始的出發(fā)點

通常块茁，如果模型的內(nèi)生變量穩(wěn)態(tài)很容易求出，則可以直接將穩(wěn)態(tài)值作為初值桂肌，這樣會提升計算效率

• 為確定性模擬提供初值

終值的設(shè)定并不是專指設(shè)定模擬后各期的值数焊。如果設(shè)置終值，它會覆蓋初值的部分設(shè)定

在Dynare中轴或，模擬始于第1期昌跌，在模擬開始之前的一期為第0期，模型開始之前的第2期為負(fù)1期照雁，以此類推蚕愤。初值就是第0期及以前各期的值，終止即T+1期及以后各期的值饺蚊。

假設(shè)總模擬期數(shù)是 萍诱，模擬期是指 到 期，模擬后的第一期是指 期污呼。一般情況下裕坊，Dynare在儲存模擬結(jié)果（確定性模擬）時，不僅考慮模擬器燕酷，而且考慮模擬前和模擬后各一期籍凝，因此一共有 期周瞎。所以，如果畫此模擬路徑饵蒂，則往往會首尾出現(xiàn)跳躍的情況声诸。這是因為設(shè)定值通常和模擬計算的結(jié)果存在較大的差異。

在Dynare中退盯，設(shè)定初值和終值分別使用關(guān)鍵字 initval 和 endval彼乌，并使用 end 關(guān)鍵字結(jié)束初值和終值的設(shè)定，如下表3.5所示渊迁。一般來說慰照，所有內(nèi)生變量和外生變量都要設(shè)定初值，否則默認(rèn)為0琉朽；而終值設(shè)定則不是必須的毒租。

在確定性模擬中，使用 initval 模塊設(shè)定初值是對 第0期 及其之前的各期設(shè)定取值漓骚。沒有使用 endval 模塊時蝌衔， initval 模塊設(shè)定的初值將作為模擬后各期的取值，同時也作為模擬計算的初值蝌蹂。理解這一點非常重要噩斟！

如果 initval 模塊后緊接著 steady 命令，那么 initval 模塊的作用將發(fā)生變化：

• 首先孤个，steady命令將使用 initval 模塊提供的初值作為初始猜測值以計算穩(wěn)態(tài)

• 然后剃允，Dynare將剛剛計算的穩(wěn)態(tài)值作為模擬的初值

如果使用 endval 模塊設(shè)定終值，將會覆蓋部分 initval 的功能：終值優(yōu)先用于設(shè)定模擬后各期的值齐鲤，而不管 initval 的初始如何設(shè)定斥废。如果某些變量在 endval 中沒有設(shè)定，那么其取值于上一個 initval 模塊或 steady 命令穩(wěn)態(tài)值给郊。

此外牡肉，當(dāng) steady 命令結(jié)合 initval 和 endval 同時使用時，Dynare輸出兩個穩(wěn)態(tài)值淆九，這是分別給予初始和終值的設(shè)定計算出來的统锤。如果兩個模塊中的外生變量的值有差異，那么兩個穩(wěn)態(tài)值一般不同炭庙。initval 模塊對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值被設(shè)定為初值饲窿，endval 模塊對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值被設(shè)定為終值。

3.8.2 穩(wěn)態(tài)求解命令：steady

計算穩(wěn)態(tài)值是非線性模型求解的一個非常具有挑戰(zhàn)性的問題焕蹄。在Dynare中逾雄，steady命令被用來求解模型的穩(wěn)態(tài)值。

具體來說，steady命令使用一個非線性的牛頓遞歸算法鸦泳，以 initval 或 endval 模塊中聲明的內(nèi)生和外生變量的值作為初始值來求解穩(wěn)態(tài)银锻。

通常來說，較為復(fù)雜（甚至簡單）的模型做鹰，Dynare都無法準(zhǔn)確地求出穩(wěn)態(tài)值徒仓，這可能是因為初始值離穩(wěn)態(tài)值太遠(yuǎn)，或默認(rèn)求解的遞歸算法并不合適誊垢。經(jīng)驗表明，完全依靠Dyanre來計算模型的穩(wěn)態(tài)值症见，幾乎行不通喂走。所以，求解模型的穩(wěn)態(tài)值谋作，大部分只能靠手動編程實現(xiàn)芋肠。

在Dynare具體編程時，穩(wěn)態(tài)求解通常采取以下幾種常見的模式：

• 方法一：自定義穩(wěn)態(tài)參數(shù)

  這是最常用的方法遵蚜，特別合適中小規(guī)模的模型帖池，而且要求穩(wěn)態(tài)值能夠方便地計算，具有解析解吭净。使用這種處理方式睡汹，允許方便地循環(huán)調(diào)用模型文件來進(jìn)行某個或某些參數(shù)的敏感性測試。其基本邏輯是：

  • 對每一個內(nèi)生變量定義一個穩(wěn)態(tài)參數(shù)寂殉，比如消費 囚巴，定義穩(wěn)態(tài)參數(shù)為 Css。

  • 然后編程計算Css 的值友扰，這要求內(nèi)生變量的穩(wěn)態(tài)值具有解析式彤叉。

  • 然后 initval 模塊直接將 Css 的值賦給 即可

  直接將穩(wěn)態(tài)值賦給內(nèi)生變量，省去了Dynare自行求解穩(wěn)態(tài)值的繁瑣過程村怪。在源代碼 20中秽浇，甚至直接省去了 steady 命令，直接使用 stoch_simul 命令來計算穩(wěn)態(tài)值：

  var C ...;
  varexo epsA;
  parameters alpha beta ...;
      
  model;
  ...;
  end;
           
  initval;
  C = Css;
  ...;
  end;
       
  stoch_simul;
  

• 方法二：內(nèi)置模塊命令 steady_state_model

  穩(wěn)態(tài)計算的內(nèi)置模塊命令提供了更加靈活甚负、可靠的穩(wěn)態(tài)值計算方式柬焕，這是計算穩(wěn)態(tài)的第二個辦法。相比于第一種方法腊敲，此方法更為便捷击喂，甚至不需要自行定義任何穩(wěn)態(tài)參數(shù)。在某些情況下碰辅，此命令十分有用懂昂。

  這種方法的局限性在于，該方法同樣要求內(nèi)生變量穩(wěn)態(tài)值具有解析解的形式或數(shù)值求解没宾。也即同樣只適用于中小模型凌彬。對于不具有解析解或求解穩(wěn)態(tài)非常困難的模型沸柔，不推薦使用。

• 方法三：外部M文件

  對于復(fù)雜的模型铲敛，通常使用自定義的外部穩(wěn)態(tài)計算文件是一種選擇褐澎，也是穩(wěn)態(tài)計算的第3種方法。使用外部M文件伐蒋，通常需要遵循一定的約定：

  • 首先工三，外部M文件的名稱必須滿足形式filename_steadystate.m

  • M文件的書寫必須遵循一定的格式

  在教材的 5.8 金融加速器與隨機(jī)波動模型示例 會對外部M文件技術(shù)進(jìn)行講解。

3.8.3 確定性模擬

確定性模擬（）具體而言就是說：通過外生沖擊的確定性變化過程來考察系統(tǒng)的變化先鱼。即俭正，系統(tǒng)是如何返回原來的均衡的或者如何達(dá)到另外一個新均衡的。

比如焙畔，在某一期或第幾期突然施加一個外生沖擊來考察各內(nèi)生變量在外生沖擊發(fā)生后的變化路徑和趨勢掸读，畫出脈沖響應(yīng)圖，以直觀觀測外生沖擊的影響宏多。

1 確定性「模型」和隨機(jī)「模型」

• 確定性模型是指（1）模型中不存在隨機(jī)的外生沖擊 （2）存在外生沖擊儿惫，但其實完全可見。也就是所說的完全信息伸但。

• 隨機(jī)模型是值模型中存在隨機(jī)的外生沖擊肾请，形式上模型不僅存在期望算子和外生沖擊的概率分布，而且外生沖擊的方差不能為0砌烁。

區(qū)別確定性模型和隨機(jī)模型的一個關(guān)鍵的判斷標(biāo)準(zhǔn)就是對外生沖擊的定義筐喳。以下舉例說明：假設(shè)模型中存在一個外生的技術(shù)沖擊變量， 滿足獨立同分布函喉，

• 第一避归，如果 ，此時完全沒有外生沖擊管呵，是確定性模型梳毙；

• 第二，如果 捐下，外生沖擊被完全預(yù)期账锹，是確定性模型

• 第三，如果 坷襟，則外生沖擊不能被完全預(yù)期奸柬，是隨機(jī)模型

2 確定性模擬的4種類型

根據(jù)外生沖擊的：

• 可預(yù)期性

• 變化長短類型

可以將確定性模擬分成4個類型，這需要通過Dyanre的幾個命令：

• 初值命令 initval

• 終值命令 endval

• 沖擊命令 shocks

• 模擬命令 simul

的組合才能實現(xiàn)婴程。見表3.6：

3 外生沖擊模塊設(shè)定：shocks

在Dynare中廓奕，外生沖擊是指由 varexo 定義的變量。確定性模擬使用外生沖擊模塊設(shè)定外生沖擊的暫時性變化，而永久性變化則需要 endval 模塊來定義桌粉。

確定性模擬和隨機(jī)模擬的外生沖擊設(shè)定方式在Dyanre中不完全相同蒸绩，如表3.7所示：

從語法看，也可以悟出隨機(jī)模擬的內(nèi)在含義：由于沒有 periods 關(guān)鍵字以指定外生沖擊出現(xiàn)的時間铃肯，所以外生沖擊每一期都存在患亿，而且是隨機(jī)抽取。

這有別于脈沖響應(yīng)函數(shù)押逼。因為脈沖響應(yīng)函數(shù)計算時步藕，雖然也要隨機(jī)模擬，但外生沖擊僅發(fā)生在第一期挑格，以后各期為0漱抓。

4 Dynare確定性模擬命令：Simul

Simul命令根據(jù)既定設(shè)置，求解非線性聯(lián)立方程恕齐，得到模擬值。首先分析simul的求解邏輯瞬逊，然后再分析simul命令的語法显歧。

（1） 求解邏輯

一般來說，確定性模型具有以下的一般形式：

其中确镊， 為內(nèi)生變量（向量）士骤， 為外生沖擊（向量）。假設(shè)模型具有穩(wěn)態(tài) 蕾域，滿足：

其中拷肌， 為外生變量的穩(wěn)態(tài)值；Dynare使用 steady 命令來計算模型的穩(wěn)態(tài)值旨巷。

通常情況下巨缘， 在模擬開始前即第0期，通常假設(shè)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)采呐。在接下來的第1期即模擬的開始若锁，外生沖擊已經(jīng)完全確定。模擬的基本目的就在于分析系統(tǒng)在外生沖擊下的變化路徑斧吐，是回歸原始均衡還是達(dá)到一個新的均衡又固。

確定性模擬事實上是基于兩個邊界的數(shù)值求解問題。Dynare實際上是使用了一個有限期模型來近似逼近無限期模型煤率，從而實現(xiàn)數(shù)值求解仰冠。具體來說，Dynare求解如下的非線性聯(lián)立方程（Stack System）來確定模擬計算：

其中蝶糯， 為模擬的總期數(shù)洋只。Dynare將使用牛頓算法來求解該聯(lián)立方程組。

（2） simul的語法

相比于隨機(jī)模擬的命令 stoch_simul ，確定性模擬命令 simul 要簡單得多木张，使用的選項很少众辨。

simul (options) ...;

確定性模擬的 options 只有6個，但最常用的只有 periods 一個舷礼。

3.8.4 介紹一個完整的例子

我們來看一個完整的例子：帶有投資的新古典增長模型鹃彻。

（1）建模

假設(shè)家庭選擇消費、勞動和資本存量來最大化終身貼現(xiàn)效用妻献；

• 生產(chǎn)函數(shù)和效用函數(shù)方面蛛株。

  • 生產(chǎn)函數(shù)為形式：

  • 效用函數(shù)為消費和勞動不可分函數(shù)：

• 變量方面

  • 、育拨、谨履、分別為消費、勞動熬丧、資本存量笋粟、產(chǎn)出，屬內(nèi)生變量

  • 為技術(shù)沖擊析蝴，屬外生變量

• 參數(shù)方面

  • 為折現(xiàn)率

  • 為效用函數(shù)中消費的權(quán)重

  • 為風(fēng)險厭惡參數(shù)

  • 為資本存量的產(chǎn)出份額

  • 為生產(chǎn)函數(shù)中資本存量和勞動的替代彈性參數(shù)

  • 為折舊率

  • 為技術(shù)沖擊的自回歸系數(shù)

  • 為資技術(shù)沖擊的方差

（2）求解消費者行為

• 采用方法求解害捕，對三個決策變量求導(dǎo)，有：

  ：

  

  ：

  

  ：

  

（3）總結(jié)

消去闷畸，最終得出系統(tǒng)的動力學(xué)方程由5個內(nèi)生變量尝盼、、佑菩、盾沫、以及5個均衡條件：

（4）敲代碼

為了便于編程，把偏導(dǎo)數(shù)的部分先計算出來：

完整的代碼示例如下所示（可以直接復(fù)制運(yùn)行）

/* 
 * 教材源代碼24 確定性模擬（預(yù)期的永久性沖擊）
 * Modified by 愛吃漢堡薯條 based on Xiangyang Li@SCC, 2020/3/30
 * 與書本上的不同，本代碼更加直觀
 */

close all;    % 關(guān)掉所有現(xiàn)存的figures

%---- 定義變量部分 ----%
// 定義內(nèi)生變量
var                 
C,                  // 消費
N,                  // 勞動
Y,                  // 總產(chǎn)出
K,                  // 資本存量
A                  // 技術(shù)水平
;


// 定義外生變量
varexo              
epsA                // 技術(shù)擾動
;

// 定義參數(shù)
parameters          
beta,
delta,
rho,
sigma,
theta,
tau,
alpha,
psi,
tech_s
;

// 參數(shù)校準(zhǔn)
beta    =   0.99;   // 折現(xiàn)率
delta   =   0.025;  // 折舊率
rho     =   0.85;   // 自回歸系數(shù) 
sigma   =   0.01;   // 沖擊的方差
theta   =   0.35;   // 消費在效用函數(shù)中的權(quán)重
tau     =   2;      // 風(fēng)險規(guī)避系數(shù) 
alpha   =   0.35;   // 資本占生產(chǎn)中的比例
psi     =  -0.1;    // 資本和勞動的替代彈性
tech_s  =   1;      // 技術(shù)的穩(wěn)態(tài)



%---- 模型定義部分 ----%

model;

// 首先定義便于編程的局部變量

# U_Ct = theta * ( C^theta * (1-N)^(1-theta) )^(-tau) * C^(theta-1);
# U_Ct1 = theta * ( C(+1)^theta * (1-N(+1))^(1-theta) )^(-tau) * C(+1)^(theta-1);
# U_Nt = -(1-theta)* ( C^theta * (1-N)^(1-theta) )^(-tau) * (1-N)^(-theta);
# F_Nt = (1-alpha) * ( alpha*K(-1)^psi + (1-alpha) * N^psi )^(1/psi-1) * N^(psi-1);
# F_Kt1 = alpha * ( alpha*K^psi + (1-alpha) * N(+1)^psi )^(1/psi-1) * K^(psi-1);

% (1) 歐拉方程
U_Ct = beta * U_Ct1 * (A(+1) * F_Kt1 + 1 - delta);

% (2) 勞動供給方程
A * F_Nt = -1 * U_Nt / U_Ct;

% (3) 生產(chǎn)函數(shù)
Y = A * (alpha * K^psi + (1-alpha) * N^psi)^(1/psi);

% (4) 資源約束條件
K = Y - C + (1-delta)*K(-1);

% (5) 水平技術(shù)沖擊AR(1)過程
log(A) = log(tech_s) + rho*log(A(-1)) + epsA;

end;

%---- 初值設(shè)定部分 ----%
% 教材的代碼是使用 `steady_state_model;` 命令計算的穩(wěn)態(tài)
% 我這里是直接把教材代碼算出來的穩(wěn)態(tài)值作為初值了
initval;
K = 6.93619;
Y = 0.857369;
N = 0.325829;
C = 0.683964;
A = 1;
end;


%---- 設(shè)置終值 ----%
endval;
epsA = (1-rho)*log(0.5);
end;

%---- 計算穩(wěn)態(tài) ----%
steady;

%---- 設(shè)置沖擊 ----%
shocks;
var epsA;
periods 40;
values 0.3;
end;

%---- 確定性模擬 ----%
simul(periods=150);

rplot C;
rplot K;

我在這里設(shè)置的是技術(shù)水平發(fā)生永久性變化（減小）息尺，并在第40期發(fā)生一次正的一次性技術(shù)沖擊，產(chǎn)出祖娘、消費和資本存量的變化如下脈沖響應(yīng)圖所示：

對于不同的沖擊類型和預(yù)期，只需要參考表3.6進(jìn)行修改即可啊奄！