阿貝爾-魯菲尼定理
五次及更高次的多項式方程沒有一般的求根公式竞膳，即不是所有這樣的方程都能由方程的系數(shù)經(jīng)有限次四則運算和開方運算求根艇潭。
這個定理以保羅·魯菲尼和尼爾斯·阿貝爾命名论皆。前者在1799年給出了一個不完整的證明熄浓，后者則在1824年給出了完整的證明。埃瓦里斯特·伽羅瓦創(chuàng)造了群論年鸳，獨立地給出了更廣泛地判定多項式方程是否擁有根式解的方法剃氧，并給出了定理的證明，但直到他死后的1846年才得以發(fā)表阻星。
并不是說明五次或更高次的多項式方程沒有解。事實上代數(shù)基本定理說明任意非常數(shù)的多項式在復(fù)數(shù)域中都有根.
然而代數(shù)基本定理并沒有說明根的具體形式已添。通過數(shù)值方法可以計算多項式的根的近似值妥箕，但數(shù)學(xué)家也關(guān)心根的精確值，以及它們能否通過簡單的方式用多項式的系數(shù)來表示更舞。例如畦幢，任意給定二次方程
它的兩個解可以用方程的系數(shù)來表示：
這是一個僅用有理數(shù)和方程的系數(shù)，通過有限次四則運算和開平方得到的解的表達式缆蝉，稱為其代數(shù)解宇葱。三次方程、四次方程的根也可以使用類似的方式來表示刊头。阿貝爾-魯菲尼定理的結(jié)論是：任意給定一個五次或以上的多項式方程：
那么不存在一個通用的公式（求根公式）黍瞧，使用 a0,a1,... ,an 和有理數(shù)通過有限次四則運算和開根號得到它的解≡樱或者說印颤，當n大于等于5時，存在n次多項式穿肄，它的根無法用自己的系數(shù)和有理數(shù)通過有限次四則運算和開根號得到.
換一個角度說年局，存在這樣的實數(shù)或復(fù)數(shù)，它滿足某個五次或更高次的多項式方程咸产，但不能寫成任何由方程系數(shù)和有理數(shù)構(gòu)成的代數(shù)式矢否。這并不是說每一個五次或以上的多項式方程，都無法求得代數(shù)解脑溢。具體區(qū)分哪些多項式方程可以有代數(shù)解而哪些不能的方法由伽羅瓦給出僵朗，因此相關(guān)理論也被稱為伽羅瓦理論。簡單來說，某多項式方程有代數(shù)解衣迷，等價于說它對應(yīng)的域擴張上的伽羅瓦群是一個可解群畏鼓。對于一般的二次、三次和四次方程壶谒，它們對應(yīng)的伽羅瓦群是二次云矫、三次和四次對稱群.
伽羅瓦基本定理的最初應(yīng)用是在使用伽羅瓦理論證明五次或以上的多項式方程沒有代數(shù)解求根公式的問題上。其證明的主要思路是將“開n次方”的過程轉(zhuǎn)化為“在基域中添加n次方根”生成的域擴張汗菜。將多項式有代數(shù)解的問題轉(zhuǎn)化為某個分裂域是否可以通過有限次特定的域擴張得到的問題让禀。而這些域擴張是否滿足條件，則可以由伽羅瓦基本定理將其轉(zhuǎn)化為判定“特定的伽羅瓦群是否有某種特殊的子群和商群（稱為可解群）”的問題陨界。
代數(shù)基本定理：任何一個非零的一元n次復(fù)系數(shù)多項式巡揍，都正好有n個復(fù)數(shù)根。
