信息的表示和處理（2）：整數(shù)表示

精確定義如何編碼和操作整數(shù)的數(shù)學(xué)術(shù)語：

整數(shù)數(shù)據(jù)和算術(shù)術(shù)語表

1.1 整數(shù)數(shù)據(jù)類型

32位程序上C語言整型數(shù)據(jù)類型的取值范圍

64位程序上C語言整型數(shù)據(jù)類型的取值范圍

唯一一個(gè)與機(jī)器相關(guān)的類型是long羡滑，其他類型的取值范圍在32位機(jī)器和64位機(jī)器都一樣灭翔。
所有類型的取值范圍都是不對稱的队丝，負(fù)數(shù)范圍比整數(shù)范圍大1漆撞。

C語言標(biāo)準(zhǔn)中整型數(shù)據(jù)類型必須至少保證的取值范圍

C/C++都支持有符號(hào)數(shù)和無符號(hào)數(shù)振亮，默認(rèn)是有符號(hào)數(shù)凤类。Java只支持有符號(hào)數(shù)。

1.2 無符號(hào)數(shù)的編碼

無符號(hào)數(shù)編碼的定義

對向量 $\vec { x } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { x _ { w - 1 } , } & { x _ { w - 2 } , } & { \cdots , } & { x _ { 0 } } \end{array} \right]$ ,

? $B 2 U _ { w } ( \vec { x } ) \doteq \sum _ { i = 0 } ^ { w - 1 } x _ { i } 2 ^ { i }$

也就是說，一個(gè)無符號(hào)整數(shù)盗尸，等于第i位的比特值乘 $2 ^ i$ , 再將各項(xiàng)相加柑船，即得整數(shù)值。
函數(shù) $B2U_w$ 的取值范圍是泼各，[0, $2^\omega$ - 1]椎组。每個(gè)介于這個(gè)區(qū)間的數(shù)都有唯一一個(gè) $\omega$ 位的值編碼。反過來历恐，每個(gè)處于這個(gè)區(qū)間的位模式寸癌，都有一個(gè)大小在這個(gè)區(qū)間的整數(shù)與之對應(yīng)。因此弱贼， $B2U_w$ 是一個(gè)雙射蒸苇。

1.3 補(bǔ)碼編碼

補(bǔ)碼是有符號(hào)數(shù)的表示方式。字的最高有效位解釋為負(fù)權(quán)吮旅。

補(bǔ)碼的定義
- 最高有效位 $x_{\omega-1}$ 稱為符號(hào)位溪烤，權(quán)重是 $-2^{\omega-1}$ 。是無符號(hào)表示中權(quán)重的負(fù)數(shù)庇勃。
- 符號(hào)位被設(shè)置為1時(shí)檬嘀，值為負(fù)，設(shè)置為0時(shí)责嚷，值為非負(fù)鸳兽。
$\omega$ 位補(bǔ)碼，能表示的最小值是[10...0]罕拂，其整數(shù)值為 $T M i n _ { w } \doteq - 2 ^ { w - 1 }$ 揍异。最大值為[01....1]，其整數(shù)值為 $\operatorname { TMax } _ { w } \doteq \sum _ { i = 0 } ^ { w - 2 } 2 ^ { i } = 2 ^ { w - 1 } - 1$ 爆班。（實(shí)際上衷掷，按照上面的定義公式，將最小值和最大值的比特位代入公式柿菩，也可得出最小值和最大值的值）戚嗅。
在取值范圍內(nèi)的每個(gè)補(bǔ)碼都有一個(gè)唯一的 $\omega$ 位的補(bǔ)碼。和無符號(hào)數(shù)一樣枢舶，補(bǔ)碼編碼的函數(shù) $B2T_\omega$ 也是一個(gè)雙射懦胞。

幾個(gè)重要位模式示意圖

重要數(shù)字取值范圍圖表

補(bǔ)碼范圍不對稱， $| \operatorname { TMin } | = | \operatorname { TMax } | + 1$ ,即TMin沒有與之對應(yīng)的正數(shù)祟辟。因?yàn)榉?hào)位設(shè)置為1 的數(shù)表示負(fù)數(shù)医瘫，而符號(hào)位為0的數(shù)表示非負(fù)數(shù)侣肄，兩者各占一半旧困。但由于全0是非負(fù)數(shù)，所以能表示的正數(shù)比負(fù)數(shù)少一個(gè)。
最大的無符號(hào)數(shù)值剛好比補(bǔ)碼的最大值的兩倍多一吼具。 $U M a x _ { w } = 2 T M a x _ { w } + 1$
補(bǔ)碼表示中所有表示負(fù)數(shù)的位模式在無符號(hào)表示中都變成了正數(shù)僚纷。
幾乎所有機(jī)器都是以補(bǔ)碼形式來表示有符號(hào)整數(shù)。C語言中沒有要求用補(bǔ)碼形式表示有符號(hào)整數(shù)拗盒，但是在Java中明確要求用補(bǔ)碼表示整數(shù)怖竭，單字節(jié)數(shù)據(jù)類型稱為byte。這些都是為了保證Java在任何機(jī)器上運(yùn)行都能表現(xiàn)一致陡蝇。

原碼痊臭、反碼、補(bǔ)碼

有符號(hào)數(shù)的其他表示方式(1)

有符號(hào)數(shù)的其他表示方法(2)

注意區(qū)別于無符號(hào)數(shù)登夫，上圖列出的都是有符號(hào)數(shù)的表示方式广匙。即有符號(hào)數(shù)的表示方式可以有原碼、反碼恼策、補(bǔ)碼三種鸦致，而無符號(hào)數(shù)的表示方式，按照除2取余法即可得到涣楷，不存在符號(hào)位分唾。
原碼、反碼狮斗、補(bǔ)碼之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系绽乔，簡單來說，就是原碼按位取反得到反碼碳褒，反碼最低位+1得到補(bǔ)碼迄汛。
用原碼或反碼表示數(shù)字0時(shí)，都會(huì)存在正負(fù)0的問題骤视。但是用補(bǔ)碼表示鞍爱，正負(fù)0的值都是唯一的，不存在這個(gè)問題专酗。存在正負(fù)0的原因是符號(hào)位不同導(dǎo)致的睹逃。

1.4 有符號(hào)數(shù)和無符號(hào)數(shù)之間的轉(zhuǎn)換

強(qiáng)制類型轉(zhuǎn)換的結(jié)果保持位值不變，只是改變了解釋這些位的方式祷肯。
處理同樣字長的有符號(hào)數(shù)和無符號(hào)數(shù)之間相互轉(zhuǎn)換的規(guī)則是：數(shù)值可能會(huì)改變沉填，但是位模式不變（二進(jìn)制位對應(yīng)的值不變）
T2U（有符號(hào)數(shù)轉(zhuǎn)無符號(hào)數(shù)）的一般行為：負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換成了大的正數(shù)，非負(fù)數(shù)保持不變佑笋。U2T的一般行為：小的數(shù)（ $\le TMax_\omega$ ）翼闹，從無符號(hào)到有符號(hào)的轉(zhuǎn)換將保留數(shù)字的原值。對于大的數(shù)（ $\gt TMax_\omega$ ）蒋纬，數(shù)字將會(huì)被轉(zhuǎn)換成一個(gè)負(fù)數(shù)值猎荠。

有符號(hào)數(shù)和無符號(hào)數(shù)的互相轉(zhuǎn)換圖

總結(jié)：

在范圍 $0\le x\le TMax_\omega$ 內(nèi)的值坚弱，T2U(x)=x, U2T(x)=x。即在這個(gè)范圍內(nèi)的數(shù)字有相同的無符號(hào)和補(bǔ)碼表示关摇。
在上述范圍之外的值荒叶，轉(zhuǎn)換需要加上(T2U)或者減去(U2T) $2 ^ \omega$ 。

如何從一個(gè)負(fù)數(shù)得到它的補(bǔ)碼表示输虱？

官方定義些楣，補(bǔ)碼編碼的定義如下：

補(bǔ)碼的定義

但這只是列出了從補(bǔ)碼編碼得到負(fù)數(shù)的過程，如果通過這個(gè)函數(shù)求反函數(shù)會(huì)比較困難宪睹。

民間做法：

對于非負(fù)數(shù)愁茁，其無符號(hào)數(shù)表示和補(bǔ)碼表示相同。則按照除2取余法得到該非負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼表示亭病。

對于負(fù)數(shù)埋市，先按照非負(fù)數(shù)的做法，求得其絕對值的原碼表示命贴。然后道宅，對原碼進(jìn)行取反，再加1胸蛛。這時(shí)再看符號(hào)位污茵，因?yàn)槭秦?fù)數(shù)，符號(hào)位必定為1葬项，若求得補(bǔ)碼的最高位是1泞当，則此時(shí)得到的補(bǔ)碼即為所求。如果此時(shí)最高位是0民珍，說明此時(shí)求得的補(bǔ)碼已經(jīng)超出了位數(shù)的取值范圍襟士，需要擴(kuò)大位數(shù)，再次執(zhí)行上述原碼取反加1 的過程嚷量，即可得到補(bǔ)碼表示陋桂。

舉例說明

比如需要知道-5的補(bǔ)碼，用4位比特位表示蝶溶，則按照民間做法嗜历，-5 絕對值為5，5的原碼是0101抖所，按位取反加1 得1011梨州，此時(shí)最高位是1，即符號(hào)位為1田轧，則1011為-5的補(bǔ)碼暴匠。

驗(yàn)證：按照官方定義，補(bǔ)碼1011對應(yīng)的整數(shù)是： $-1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = -5$ 傻粘。

再比如需要知道-11的補(bǔ)碼每窖，如果仍用4位比特位表示帮掉，按照上述方法，絕對值原碼（1011）取反加1 岛请，則得到的絕對值的補(bǔ)碼是0101，符號(hào)位是0警绩，而負(fù)數(shù)的符號(hào)位應(yīng)該是1崇败，說明超過了-11超過了4位比特位所能表示的取值范圍。因此擴(kuò)大到8位比特位肩祥，再求絕對值原碼（0000 1011）取反加1 得 1111 0101后室。此時(shí)最高符號(hào)位是1，則1111 0101是-11 的補(bǔ)碼混狠。

驗(yàn)證：按照官方定義計(jì)算補(bǔ)碼 1111 0101 對應(yīng)的整數(shù)岸霹，得-128+64+32+16+4+1=-11。

1.5 C語言中的有符號(hào)數(shù)和無符號(hào)數(shù)

當(dāng)聲明一個(gè)無符號(hào)常量時(shí)将饺，需要在數(shù)字后面加上后綴字符'U'或'u'贡避，否則就會(huì)被認(rèn)為是有符號(hào)的。
當(dāng)執(zhí)行一個(gè)運(yùn)算時(shí)予弧，一個(gè)運(yùn)算數(shù)是有符號(hào)的刮吧，另一個(gè)運(yùn)算數(shù)是無符號(hào)的時(shí)候，會(huì)隱式地將有符號(hào)數(shù)強(qiáng)轉(zhuǎn)成無符號(hào)數(shù)掖蛤。對于<杀捻、>這樣的關(guān)系運(yùn)算來說就會(huì)有問題，而對于標(biāo)準(zhǔn)算術(shù)運(yùn)算來說無什么差異蚓庭。關(guān)系運(yùn)算示例如下所示：

C語言升級規(guī)則的效果

1.6 擴(kuò)展一個(gè)數(shù)字的位表示

無符號(hào)數(shù)的零擴(kuò)展：將無符號(hào)數(shù)轉(zhuǎn)換為一個(gè)更大的數(shù)據(jù)類型致讥，只需簡單地在表示的開頭添加0，這種運(yùn)算叫零擴(kuò)展器赞。
補(bǔ)碼數(shù)的符號(hào)擴(kuò)展：將補(bǔ)碼數(shù)字轉(zhuǎn)換為一個(gè)更大的數(shù)據(jù)類型垢袱，只需要在開頭添加最高有效位的值，這種運(yùn)輸叫符號(hào)擴(kuò)展港柜。其本質(zhì)是惶桐，加上一個(gè)權(quán)值為 $-2^\omega$ 的位（即加上一個(gè)符號(hào)位），和將權(quán)值為 $-2^{\omega-1}$ 的位轉(zhuǎn)換為一個(gè)權(quán)值為 $2^{\omega-1}$ 的位（即將原來符號(hào)位的負(fù)權(quán)消除潘懊，但保留了該位所表示的數(shù)值）姚糊，這兩項(xiàng)運(yùn)算的綜合結(jié)果保持了原始的數(shù)值。（即 $-2^{\omega-1} = -2^\omega + 2^{\omega-1}$ ）授舟。
一個(gè)數(shù)據(jù)的類型大小轉(zhuǎn)換救恨，以及有符號(hào)數(shù)和無符號(hào)數(shù)的轉(zhuǎn)換，它們的相對順序會(huì)影響程序的行為释树。在C語言標(biāo)準(zhǔn)中肠槽，需要先改變大小擎淤，再完成從有符號(hào)數(shù)和無符號(hào)數(shù)的轉(zhuǎn)換。

1.7 截?cái)鄶?shù)字

截?cái)酂o符號(hào)數(shù)：將一個(gè) $\omega$ 位的數(shù)截?cái)酁橐粋€(gè)k位的數(shù)（ $\omega \ge k$ ）秸仙，會(huì)將 $\omega - k$ 位丟棄嘴拢，得到截?cái)嗪蟮膋位無符號(hào)數(shù)。
截?cái)嘌a(bǔ)碼數(shù)值：和截?cái)酂o符號(hào)數(shù)類似寂纪，截?cái)嗪蟮玫絢位的無符號(hào)數(shù)席吴，然后將最高位轉(zhuǎn)換為符號(hào)位评甜，即得到截?cái)嘌a(bǔ)碼的值哎甲。

兩者都采用了同樣的屬性：對于任何的 $i\ge k, 2^i mod 2^k = 0$ 。

1.8 有符號(hào)數(shù)和無符號(hào)數(shù)的建議

有符號(hào)數(shù)和無符號(hào)數(shù)在程序中的轉(zhuǎn)換可能會(huì)出現(xiàn)難以發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)誤讲竿。避免錯(cuò)誤的一種方法是不使用無符號(hào)數(shù)拟杉。
除C語言外很少有語言支持無符號(hào)整數(shù)庄涡。在Java中，支持有符號(hào)整數(shù)搬设，且要求以補(bǔ)碼運(yùn)算實(shí)現(xiàn)穴店，>> 被定義為算術(shù)右移，>>>被定義為邏輯右移拿穴。
無符號(hào)數(shù)的應(yīng)用場景：用于把字看作是位的集合而沒有任何數(shù)字意義迹鹅；用于系統(tǒng)中的內(nèi)存地址；可用于實(shí)現(xiàn)模運(yùn)算和多精度運(yùn)算的數(shù)學(xué)包贞言。

其中細(xì)微的錯(cuò)誤可參照習(xí)題2.25和2.26斜棚，

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請聯(lián)系作者

人面猴
序言：七十年代末，一起剝皮案震驚了整個(gè)濱河市该窗，隨后出現(xiàn)的幾起案子弟蚀，更是在濱河造成了極大的恐慌，老刑警劉巖酗失，帶你破解...
沈念sama閱讀 211,042評論 6贊 490
死咒
序言：濱河連續(xù)發(fā)生了三起死亡事件义钉，死亡現(xiàn)場離奇詭異，居然都是意外死亡规肴，警方通過查閱死者的電腦和手機(jī)捶闸，發(fā)現(xiàn)死者居然都...
沈念sama閱讀 89,996評論 2贊 384
救了他兩次的神仙讓他今天三更去死
文/潘曉璐我一進(jìn)店門，熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來拖刃，“玉大人删壮，你說我怎么就攤上這事《夷担” “怎么了央碟？”我有些...
開封第一講書人閱讀 156,674評論 0贊 345
道士緝兇錄：失蹤的賣姜人
文/不壞的土叔我叫張陵，是天一觀的道長均函。經(jīng)常有香客問我亿虽，道長菱涤，這世上最難降的妖魔是什么？我笑而不...
開封第一講書人閱讀 56,340評論 1贊 283
?港島之戀（遺憾婚禮）
正文為了忘掉前任洛勉，我火速辦了婚禮粘秆，結(jié)果婚禮上，老公的妹妹穿的比我還像新娘收毫。我一直安慰自己攻走，他們只是感情好，可當(dāng)我...
茶點(diǎn)故事閱讀 65,404評論 5贊 384
惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來的
文/花漫我一把揭開白布牛哺。她就那樣靜靜地躺著陋气，像睡著了一般劳吠。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪引润。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上，一...
開封第一講書人閱讀 49,749評論 1贊 289
城市分裂傳說
那天痒玩，我揣著相機(jī)與錄音淳附，去河邊找鬼。笑死蠢古，一個(gè)胖子當(dāng)著我的面吹牛奴曙，可吹牛的內(nèi)容都是我干的。我是一名探鬼主播草讶，決...
沈念sama閱讀 38,902評論 3贊 405
雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開眼洽糟，長吁一口氣：“原來是場噩夢啊……” “哼！你這毒婦竟也來了堕战？” 一聲冷哼從身側(cè)響起坤溃，我...
開封第一講書人閱讀 37,662評論 0贊 266
萬榮殺人案實(shí)錄
序言：老撾萬榮一對情侶失蹤，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎嘱丢，沒想到半個(gè)月后薪介，有當(dāng)?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體，經(jīng)...
沈念sama閱讀 44,110評論 1贊 303
?護(hù)林員之死
正文獨(dú)居荒郊野嶺守林人離奇死亡越驻，尸身上長有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
茶點(diǎn)故事閱讀 36,451評論 2贊 325
?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年汁政，在試婚紗的時(shí)候發(fā)現(xiàn)自己被綠了。大學(xué)時(shí)的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片缀旁。...
茶點(diǎn)故事閱讀 38,577評論 1贊 340
活死人
序言：一個(gè)原本活蹦亂跳的男人離奇死亡记劈，死狀恐怖，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出并巍，到底是詐尸還是另有隱情抠蚣，我是刑警寧澤，帶...
沈念sama閱讀 34,258評論 4贊 328
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布履澳，位于F島的核電站嘶窄，受9級特大地震影響怀跛，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏。R本人自食惡果不足惜柄冲，卻給世界環(huán)境...
茶點(diǎn)故事閱讀 39,848評論 3贊 312
男人毒藥：我在死后第九天來索命
文/蒙蒙一吻谋、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望。院中可真熱鬧现横，春花似錦漓拾、人聲如沸。這莊子的主人今日做“春日...
開封第一講書人閱讀 30,726評論 0贊 21
一樁弒父案骇两，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽。三九已至姜盈，卻和暖如春低千，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間，已是汗流浹背馏颂。一陣腳步聲響...
開封第一講書人閱讀 31,952評論 1贊 264
情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國打工示血，沒想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道東北人救拉。一個(gè)月前我還...
沈念sama閱讀 46,271評論 2贊 360
代替公主和親
正文我出身青樓难审，卻偏偏與公主長得像，于是被迫代替她去往敵國和親亿絮。傳聞我的和親對象是個(gè)殘疾皇子告喊，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 43,452評論 2贊 348