CS229學(xué)習(xí)筆記（一）——線性回歸（Linear Regression）

? ? 我們加入房屋的臥室數(shù)量作為該例的另一特征量：

? ? 這樣缨睡， $x$ 是一個(gè)二維矢量，例如 $x^{(i)}_1$ 代表該訓(xùn)練集中第 $i$ 個(gè)房屋的住房面積陈辱，而 $x^{(i)}_2$ 代表其臥室數(shù)量奖年。

? ? 我們使用關(guān)于 $x$ 的線性函數(shù)去估計(jì) $y$ ：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $h_\theta (x)=\theta _0+\theta _1x_1+\theta _2x_2$

為了簡(jiǎn)化公式，我們約定? $x_0=1$ （intercept term）沛贪，因此有：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $h(x)=\sum_{i=0}^n \theta _ix_i=\theta ^Tx$

等式最右部分我們將 $\theta$ 和 $x$ 均視為矢量陋守， $n$ 表示輸入變量的數(shù)量（不包含 $x_0$ ）。

? ? 為了衡量對(duì)每一 $\theta$ 利赋， $h(x^{(i)})$ 與相應(yīng)的 $y^{(i)}$ 的逼近程度水评，我們定義代價(jià)函數(shù)（cost function）：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $J(\theta)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2$

（一）概率解釋

? ? 當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)回歸問(wèn)題，為什么線性回歸媚送，特別地中燥，最小均方代價(jià)函數(shù) $J$ 是合理的選擇？

? ? 我們假定目標(biāo)變量與其輸入有如下等式關(guān)系：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $y^{(i)}=\theta^Tx^{(i)}+\epsilon ^{(i)}$ ,

這里塘偎， $\epsilon ^{(i)}$ 是誤差項(xiàng)（error term）疗涉，捕捉未建模效應(yīng)（例如拿霉，有許多特征量與房?jī)r(jià)相關(guān)，但我們未在線性回歸中考慮他們）咱扣，或隨機(jī)噪聲绽淘。讓我們進(jìn)一步假設(shè) $\epsilon ^{(i)}$ 是服從均值為0，方差為 $\sigma ^2$ 的高斯分布的獨(dú)立同分布變量偏窝。即 $\epsilon ^{(i)}$ ~ $~N（0收恢，\sigma^2）$ ，則 $\epsilon ^{(i)}$ 的概率分布為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $p(\epsilon ^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma } exp(-\frac{(\epsilon^{(i)})^2}{2\sigma^2} )$ ,

故 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $p(y^{(i)}|x^{(i)}; \theta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma } exp(-\frac{(y^{(i)}-\theta^T x^{(i)})^2}{2\sigma^2} )$ 祭往。?

似然函數(shù)： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $L(\theta)=L(\theta;X,\vec{y} )=p(\vec{y}|x; \theta)$ .

根據(jù)之前對(duì) $\epsilon ^{(i)}$ 的獨(dú)立性假設(shè),

? ? ? ? ? ? ? ? ? $L(\theta)=\prod_{i=1}^m p(y^{(i)}|x^{(i)}; \theta)=\prod_{i=1}^m \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma } exp(-\frac{(y^{(i)}-\theta^T x^{(i)})^2}{2\sigma^2} )$

? ? 現(xiàn)在伦意，給定這個(gè)關(guān)于 $y^{(i)}$ 和 $x^{(i)}$ 的概率模型，如何去獲得參數(shù) $\theta$ 的值硼补？根據(jù)最大似然估計(jì)法驮肉，通過(guò)選擇參數(shù) $\theta$ 使得樣本數(shù)據(jù)有最大概率。因此已骇，我們應(yīng)選擇參數(shù) $\theta$ 去最大化 $L(\theta)$ 离钝。

? ? 為了簡(jiǎn)化推導(dǎo)，我們選擇最大化對(duì)數(shù)似然函數(shù)（log likelihood function） $l(\theta)$ : $l(\theta) = log L(\theta) = log \prod_{i=1}^m \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma } exp(-\frac{(y^{(i)}-\theta^T x^{(i)})^2}{2\sigma^2} ) =\sum_{ i=1}^m log \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma } exp(-\frac{(y^{(i)}-\theta^T x^{(i)})^2}{2\sigma^2} ) =m log \frac{1}{\sqrt{2\pi}} - \frac{1} {\sigma^{2}} \frac{1}{2}\sum_{i=1}^m ( y^{(i) } - \theta^T x^{(i)} ) ^2$

因此褪储，最大化 $l(\theta)$ 即最小化

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $\frac{1}{2}\sum_{i=1}^m ( y^{(i) } - \theta^T x^{(i)} ) ^2$ 卵渴，

即為我們最初的最小均方代價(jià)函數(shù) $J(\theta)$ 。

結(jié)論：基于之前的概率假設(shè)鲤竹，線性回歸法即是找到 $\theta$ 的最大似然估計(jì)值浪读。

（二）最小均方算法（LMS algorithm）

? ? 我們想要通過(guò)選取 $\theta$ 去最小化 $J(\theta)$ ，所以辛藻，讓我們使用一個(gè)搜索算法碘橘，從 $\theta$ 的“初始猜測(cè)值”開(kāi)始，不斷改變 $\theta$ 的值去減少 $J(\theta)$ 吱肌，直到得到收斂值 $\theta$ 痘拆，使得 $J(\theta)$ 最小。我們考慮梯度下降算法（gradient descent algorithm）：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $\theta_j := \theta_j - \alpha \frac3v62wy1{d\theta_j} J(\theta)$

（更新對(duì)所有 $j = 0,...,n$ 同時(shí)進(jìn)行氮墨。）這里纺蛆， $\alpha$ 稱(chēng)為學(xué)習(xí)率（learning rate）。

? ? 為了完成這個(gè)算法规揪，我們需要計(jì)算出等式右邊的偏導(dǎo)數(shù)犹撒，當(dāng)只有一個(gè)訓(xùn)練例子 $(x,y)$ 時(shí)，有：

? ? ? ? ? $\fracaqstzpe{d\theta_j} = \frackxrzr0x{d\theta_j} \frac{1}{2} (h_\theta (x) - y)^2 = 2 *\frac{1}{2}(h_\theta - y)*\fracan2c0xd{d\theta_j}( h_\theta(x) -y)$

? ? ? ? ? ? ? ? ? $=(h_\theta(x) - y)*\frac105ry7q{d\theta_j}(\sum_{i=0}^n \theta_i x_i - y) =( h_\theta(x) - y)x_j$ 粒褒。

? ? 對(duì)一個(gè)訓(xùn)練例子识颊，我們給定以下更新規(guī)律：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $\theta_j := \theta_j - \alpha (y^{(i)}-h_\theta(x^{(i)}))x^{(i)}_j$ ，

該規(guī)律被稱(chēng)為LMS更新規(guī)則（LMS代表“l(fā)east mean squares”最小均方根）。

? ? 當(dāng)訓(xùn)練集中不止一個(gè)例子時(shí)祥款，有兩種方法修改LMS更新規(guī)則清笨，

? ? （1）批處理梯度下降算法（Batch Gradient Descent）

Repeat until convergence $\{$

? ? ? ? ? ? ? ? ?? $\theta_j := \theta_j - \alpha \sum_{i=1}^m (y^{(i)}-h_\theta(x^{(i)}))x^{(i)}_j$ ? ?? (for every $j$ )

$\}$

? ? 隨著迭代次數(shù)的增加，每次的迭代變化會(huì)很小刃跛，可以設(shè)定一閾值抠艾，當(dāng)兩次迭代小于該閾值時(shí)，就停止迭代桨昙，得到的結(jié)果也近似最優(yōu)解检号。

(2)隨機(jī)梯度下降（stochastic gradient descent also incremental gradient descent）

? ? Loop $\{$

? ? ? ? ?? for? $i=1$ to? $m$ , $\{$

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $\theta_j := \theta_j - \alpha (y^{(i)}-h_\theta(x^{(i)}))x^{(i)}_j$ ? ? ?? (for every $j$ ).

? ? ? ? ?? $\}$

$\}$

?? 批處理梯度下降在執(zhí)行每一次迭代時(shí)，都需要遍歷整個(gè)訓(xùn)練集蛙酪，當(dāng)m較大時(shí)齐苛，算法會(huì)非常耗時(shí)，而隨機(jī)梯度下降算法只需對(duì)當(dāng)前傳入的例子進(jìn)行更新桂塞。值得注意的是凹蜂，隨機(jī)梯度下降算法永遠(yuǎn)不會(huì)在最優(yōu)值收斂，參數(shù) $\theta$ 的值會(huì)在 $J(\theta)$ 的最小值附近持續(xù)震蕩阁危，但是實(shí)際上玛痊，在最優(yōu)值附近的值都是對(duì)最優(yōu)值的合理估計(jì)。當(dāng)訓(xùn)練集較大時(shí)狂打，我們一般都會(huì)優(yōu)先選擇隨機(jī)梯度算法擂煞。

（三）正規(guī)方程組（the normal equations）

? ? 定義設(shè)計(jì)矩陣（design matrix）X是一個(gè)m * n的矩陣（如果我們包含截距項(xiàng)，則為m * n+1矩陣）趴乡，在其行中包含訓(xùn)練例子的輸入值：

令 $\vec{y}$ 為包含所有訓(xùn)練集的目標(biāo)值的n維向量：

因?yàn)?img class="math-inline" alt="h_\theta(x^{(i)})=(x^{(i)})^T \theta" src="https://math.jianshu.com/math?formula=h_%5Ctheta(x%5E%7B(i)%7D)%3D(x%5E%7B(i)%7D)%5ET%20%5Ctheta" mathimg="1">对省，我們可以很容易的得到：

由于 $z^Tz=\sum\nolimits_{i} z^2_i$ ，則有

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $\frac{1}{2} (X\theta - \vec{y} )^T (X\theta - \vec{y} )=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^m ( y^{(i) } - \theta^T x^{(i)} ) ^2 = J(\theta)$

因此：

為了最小化 $J$ 浙宜，我們要使得其導(dǎo)數(shù)為0，所以我們得到正規(guī)方程組（normal equations）：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $X^TX\theta =X^T\vec{y}$

因此蛹磺，使得 $J(\theta)$ 最小的 $\theta$ 值為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $\theta = (X^TX)^{-1}X^T\vec{y}$ 粟瞬。

（四）牛頓法（Newton's method）

? ? 假設(shè)我們有一函數(shù) $f:R\rightarrow R$ ，我們希望找到 $\theta$ 使得 $f(\theta) = 0$ （ $\theta$ 為實(shí)數(shù)）萤捆，牛頓法的更新方法如下：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $\theta := \theta - \frac {f(\theta)}{f^{’}(\theta)}$

? ? 牛頓法為我們提供了讓 $f(\theta) = 0$ 的方法裙品，如何利用這種方法去得到函數(shù) $l$ 的最大值呢？當(dāng) $l$ 取得最大值時(shí)俗或，有 $l’(\theta) = 0$ ,所以令 $f(\theta) = l’(\theta)$ 市怎，所以：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $\theta := \theta - \frac{l’(\theta)}{l’’(\theta)}$

推廣到 $\theta$ 為高維次的情況有：

其中 $H$ 稱(chēng)為Hessian矩陣， $H_{ij}=\frac{d^2l(\theta)}{d\theta_id\theta_j}$ 辛慰。

通常而言区匠，牛頓法比批處理梯度下降法需要更少的迭代次數(shù)，但由于牛頓法都需要計(jì)算n*n階Hessian矩陣及其逆矩陣，牛頓法的每一次迭代會(huì)比梯度下降更加費(fèi)時(shí)驰弄。當(dāng)m不是太大時(shí)麻汰，一般而言使用牛頓法會(huì)更快。

（五）局部加權(quán)線性回歸（Locally weighted linear regression）

? ? 讓我們考慮用 $x$ 預(yù)測(cè) $y$ 戚篙，最左圖是使用 $y=\theta_0+\theta_1x$ 去匹配訓(xùn)練集五鲫，可以發(fā)現(xiàn)匹配效果不是太好。

? ? 我們額外再加入一個(gè)特征量 $x^2$ 岔擂，令 $y=\theta_0+\theta_1x+\theta_2x^2$ 位喂，如中間那幅圖所見(jiàn)，似乎參數(shù)越多乱灵，匹配的效果越好塑崖。當(dāng)使用5個(gè)參數(shù)， $y=\sum\nolimits_{j=0}^5 \theta_jx^j$ ,進(jìn)行匹配時(shí)阔蛉，結(jié)果如最右圖所示弃舒，雖然曲線完美的通過(guò)了每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，我們依然不能說(shuō)它是在不同住房面積（ $x$ ）下状原，對(duì)房屋價(jià)格（ $y$ ）的合理預(yù)測(cè)器聋呢。我們稱(chēng)左圖的情況為欠擬合（underfitting），右圖的情況為過(guò)擬合（overfitting）颠区。

? ? 上述例子說(shuō)明削锰，特征量的選擇很大程度上決定了學(xué)習(xí)算法的表現(xiàn)。本部分將討論局部線性加權(quán)回歸算法（locally weighted linear regression, LWR）毕莱，使得特征量的選擇不那么重要器贩。

? ? 在原始的線性回歸算法中，為了得到在查詢點(diǎn) $x$ 預(yù)測(cè)值朋截，我們會(huì)：

? ? 1蛹稍、選取使得 $\sum\nolimits_{i}(y^{(i)}-\theta^T x^{(i)})^2$ 最小的 $\theta$ 值。

? ? 2部服、輸出 $\theta^Tx$ 唆姐。

? ? 而在局部加權(quán)線性回歸中：

? ? 1、選取使得 $\sum\nolimits_{i}\omega ^{(i)}(y^{(i)}-\theta^T x^{(i)})^2$ 最小的 $\theta$ 值廓八。

? ? 2奉芦、輸出 $\theta^Tx$ 。

這里剧蹂， $\omega ^{(i)}$ 是非負(fù)權(quán)值（weights）声功。顯然，當(dāng) $i$ 對(duì)應(yīng)的 $\omega^{(i)}$ 很大時(shí)宠叼，在選擇 $\theta$ 時(shí)會(huì)很難使得 $(y^{(i)}-\theta^T x^{(i)})^2$ 很小先巴，如果 $\omega^{(i)}$ 很小， $(y^{(i)}-\theta^T x^{(i)})^2$ 將可以忽略不計(jì)。

? ? 權(quán)值的表達(dá)式為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $\omega^{(i)} = exp(-\frac{(x^{(i)}-x)^2}{2\tau ^2})$

如果 $|x^{(i)}-x|$ 很小筹裕，那么 $\omega ^{(i)}$ 會(huì)非常接近1醋闭，如果 $|x^{(i)}-x|$ 很大，那么 $\omega ^{(i)}$ 會(huì)很小朝卒。因此证逻，可以這樣說(shuō)，在局部構(gòu)成了線性回歸算法抗斤，對(duì)于的學(xué)習(xí)囚企，主要依靠于查詢點(diǎn) $x$ 附近的值。

雖然 $\omega ^{(i)}$ 的形式與高斯分布十分相似瑞眼，但與高斯分布并無(wú)關(guān)系龙宏，因?yàn)?img class="math-inline" alt="\omega^{(i)}" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Comega%5E%7B(i)%7D" mathimg="1">中并無(wú)隨機(jī)變量。

? ? 局部線性加權(quán)回歸是一種非參數(shù)（non-parametric）學(xué)習(xí)算法伤疙，而之前的未加權(quán)線性回歸算法是一種參數(shù)（parametric）學(xué)習(xí)算法银酗，所謂參數(shù)學(xué)習(xí)算法，它有固定明確的參數(shù)去匹配訓(xùn)練集徒像。一旦參數(shù)確定黍特，我們就不需要保留訓(xùn)練集中的數(shù)據(jù)。相反锯蛀，當(dāng)使用局部線性加權(quán)回歸進(jìn)行·預(yù)測(cè)時(shí)灭衷，每進(jìn)行一次預(yù)測(cè)，就要重新學(xué)習(xí)一次旁涤，我們需要一直保留整個(gè)訓(xùn)練集翔曲。“非參數(shù)”（non-parametric）大概指的是為了學(xué)習(xí) $h$ 所需要的保存的數(shù)據(jù)隨著訓(xùn)練集的大小線性增長(zhǎng)劈愚。

最后編輯于：2019.01.16 13:37:48

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