決策樹(shù)

決策樹(shù)在看西瓜書(shū)的時(shí)候已記錄過(guò)，此次看《統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法》的決策樹(shù)部分奉芦，除了當(dāng)作復(fù)習(xí)坯汤，也有若干新的思考。因此本篇可視為http://www.reibang.com/p/8b56ea5a1607
的一個(gè)補(bǔ)充蓝晒。

1、決策樹(shù)與條件概率分布

決策樹(shù)除了可以看作一個(gè) $if-then$ 規(guī)則的集合以外帖鸦，還可以表示給定特征條件下類(lèi)的條件概率分布芝薇。這一條件概率分布定義在特征空間的一個(gè)劃分上，將特征空間劃分為互不相交的單元或區(qū)域作儿，并在每個(gè)單元或區(qū)域定義一個(gè)類(lèi)的概率分布就構(gòu)成了一個(gè)條件概率分布洛二。

假設(shè) $X$ 為表示特征的隨機(jī)變量， $Y$ 為表示類(lèi)的隨機(jī)變量，則這個(gè)條件概率分布可表示為 $P(Y|X)$ 晾嘶。 $X$ 取值于給定劃分下單元的集合妓雾， $Y$ 取值于類(lèi)的集合。各葉結(jié)點(diǎn)上的條件概率往往偏向于某個(gè)類(lèi)变擒，即屬于某個(gè)類(lèi)的概率較大君珠，決策樹(shù)分類(lèi)將該結(jié)點(diǎn)的實(shí)例強(qiáng)行分到條件概率大的那一類(lèi)去。

2娇斑、決策樹(shù)學(xué)習(xí)

決策樹(shù)本質(zhì)上是從訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中歸納出一組分類(lèi)規(guī)則策添。與訓(xùn)練數(shù)據(jù)集不矛盾的決策樹(shù)可能有多個(gè)也可能一個(gè)都沒(méi)有。我們需要的是一個(gè)與訓(xùn)練數(shù)據(jù)矛盾較小的決策樹(shù)毫缆，同時(shí)具有很好的泛化能力唯竹。另一個(gè)角度看，決策樹(shù)學(xué)習(xí)是由訓(xùn)練數(shù)據(jù)集估計(jì)條件概率模型苦丁。基于特征空間劃分的類(lèi)的條件概率模型有無(wú)窮多個(gè)浸颓。我們選擇的條件概率模型應(yīng)不僅對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)很好的擬合，而且對(duì)未知數(shù)據(jù)有很好的預(yù)測(cè)旺拉。

從所有可能的決策樹(shù)中選擇最優(yōu)的決策樹(shù)是NP-Hard的产上，因此現(xiàn)實(shí)中通常采用啟發(fā)式算法。這樣得到的決策樹(shù)是次最優(yōu)的（sub-optimal）的蛾狗。

決策樹(shù)學(xué)習(xí)算法通常遞歸地選擇最優(yōu)特征晋涣，并根據(jù)該特征對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集進(jìn)行分割，這一過(guò)程對(duì)應(yīng)特征空間的劃分與決策樹(shù)的構(gòu)建沉桌。生成決策樹(shù)后為了解決過(guò)擬合問(wèn)題通常要由下向上進(jìn)行決策樹(shù)剪枝谢鹊。

可以看到，決策樹(shù)學(xué)習(xí)算法包含特征選擇留凭、決策樹(shù)生成與決策樹(shù)剪枝過(guò)程佃扼。決策樹(shù)的生成只考慮局部最優(yōu)，決策樹(shù)剪枝則考慮全局最優(yōu)蔼夜。

3兼耀、信息增益

這部分《統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法》比西瓜書(shū)講得要細(xì)致。信息增益是信息論的內(nèi)容求冷，這里也只是較為淺顯的理解翠订。但對(duì)于決策樹(shù)而言這樣的理解已經(jīng)足夠了。

熵是隨機(jī)變量不確定性的度量遵倦。設(shè) $X$ 是一個(gè)取有限個(gè)值的離散隨機(jī)變量，其概率分布為：

$P(X=x_i)=p_i\quad i=1,2,\dots,n$

則隨機(jī)變量 $X$ 的熵定義為：

$H(X)=-\sum_{i=1}^n p_i log(p_i)$

可以看到官撼，熵只依賴(lài)于 $X$ 的概率分布而與其具體取值無(wú)關(guān)梧躺。因此也可以將 $X$ 的熵記為 $H(p)$ ：

$H(p)=-\sum_{i=1}^n p_i log(p_i)$

條件熵 $H(Y|X)$ 表示已知隨機(jī)變量X的條件下隨機(jī)變量Y的不確定性。其定義為X給定的條件下Y的條件概率分布對(duì)X的數(shù)學(xué)期望：

$H(Y|X)=\sum_{i=1}^n p_i H(Y|X=x_i)$

這里 $p_i=P(X=x_i)\quad i=1,2,\dots,n$ 。

一般的掠哥，熵 $H(Y)$ 與條件熵 $H(Y|X)$ 之差稱(chēng)為互信息：

$I(X;Y)=H(Y)-H(Y|X)$

互信息是一個(gè)隨機(jī)變量（X）包含另一個(gè)隨機(jī)變量（Y）的信息量的度量巩踏。也可以看作給定X知識(shí)下Y的不確定性的縮減量。

決策樹(shù)學(xué)習(xí)中的信息增益等價(jià)于訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中的類(lèi)與特征的互信息：

$g(D,A)=H(D)-H(D|A)$

這里 $A$ 表示特征或?qū)傩裕?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=D" alt="D" mathimg="1">表示訓(xùn)練數(shù)據(jù)集续搀。 $H(D)$ 表示對(duì)數(shù)據(jù) $D$ 分類(lèi)的不確定性塞琼， $H(D|A)$ 表示在特征 $A$ 給定條件下對(duì)數(shù)據(jù)集 $D$ 進(jìn)行分類(lèi)的不確定性。所以?xún)烧咧罱希葱畔⒃鲆妫?strong>表示由于特征 $A$ 使得對(duì)數(shù)據(jù)集 $D$ 分類(lèi)的不確定性減少的程度彪杉。

因此基于信息增益的決策樹(shù)算法就很自然了，每次選擇信息增益最大的結(jié)點(diǎn)劃分方式直至信息增益小于某個(gè)閾值或結(jié)點(diǎn)中樣本類(lèi)別相同為止牵咙。

采用信息增益作為劃分結(jié)點(diǎn)的指標(biāo)有一個(gè)問(wèn)題——算法會(huì)偏向于選擇取值較多的特征派近。為解決這個(gè)問(wèn)題，我們可以采用信息增益比：

$g_R(D,A)=\frac{g(D,A)}{H_A(D)}$

其中 $H_A(D)$ 是訓(xùn)練數(shù)據(jù)集 $D$ 關(guān)于特征 $A$ 的熵洁桌。顯然 $A$ 的取值越多渴丸，其不確定性?xún)A向于越大，從而熵傾向于越大另凌，這樣就相當(dāng)于在信息增益基礎(chǔ)上增加了一個(gè)關(guān)于特征取值多少的罰項(xiàng)谱轨。

4、決策樹(shù)生成——ID3&C4.5&CART

ID3算法：

輸入：訓(xùn)練數(shù)據(jù)集 $D$ 吠谢，特征集 $A$ 土童，閾值 $\epsilon$

（1）若D中所有實(shí)例屬于同一類(lèi) $C_k$ ，擇 $T$ 為單節(jié)點(diǎn)樹(shù)囊卜，將類(lèi) $C_k$ 作為該結(jié)點(diǎn)類(lèi)標(biāo)記娜扇，返回 $T$ 。

（2）若 $A=\varnothing$ 栅组，則 $T$ 為單結(jié)點(diǎn)樹(shù)雀瓢，并將 $D$ 中實(shí)例數(shù)最大的類(lèi) $C_k$ 作為該結(jié)點(diǎn)標(biāo)記，返回 $T$ 玉掸。

（3）否則計(jì)算各特征對(duì)D的信息增益刃麸，選擇信息增益最大的特征 $A_g$ 。

（4）如果 $A_g$ 的信息增益小于閾值 $\epsilon$ 司浪，則置 $T$ 為單結(jié)點(diǎn)樹(shù)泊业，并將 $D$ 中實(shí)例數(shù)最大的類(lèi) $C_k$ 作為該結(jié)點(diǎn)的類(lèi)標(biāo)記，返回 $T$ 啊易。

（5）否則吁伺，對(duì) $A_g$ 的每一可能值 $a_i$ ，依 $A_g=a_i$ 將 $D$ 分割為若干非空子集 $D_i$ 租谈，將 $D_i$ 中實(shí)例數(shù)最大的類(lèi)作為標(biāo)記篮奄，構(gòu)建子結(jié)點(diǎn)捆愁，由結(jié)點(diǎn)及子結(jié)點(diǎn)構(gòu)成樹(shù) $T$ ，返回 $T$ 窟却。

（6）對(duì)第 $i$ 個(gè)子結(jié)點(diǎn)昼丑，以 $D_i$ 為訓(xùn)練集，以 $A-\{A_g\}$ 為特征集夸赫，遞歸地調(diào)用步驟（1）~（5）得到子樹(shù) $T_i$ 菩帝，返回 $T_i$ 。

C4.5算法：

C4.5算法和ID3算法唯一的差異就是把結(jié)點(diǎn)劃分準(zhǔn)則由信息增益改進(jìn)為信息增益比茬腿。

CART(Classification And Regression Tree呼奢，分類(lèi)與回歸樹(shù))算法：

CART假設(shè)決策樹(shù)是二叉樹(shù)，內(nèi)部結(jié)點(diǎn)取值特征為“是”和“否”滓彰，左分支是取值為“是”的分支，右分支為取值為“否”的分支揭绑。

在特征選擇方面弓候，對(duì)于回歸樹(shù)，采用平方誤差最小準(zhǔn)則他匪，對(duì)分類(lèi)樹(shù)采用基尼系數(shù)最小化準(zhǔn)則菇存。

（a）最小二乘回歸樹(shù)：

（1）選擇最優(yōu)切分變量 $j$ 和切分點(diǎn) $s$ ，求解：

$\min_{j,s}[\min_{c_1}\sum_{x_i\in R_1(j,s)}(y_i-c_1)^2+\min_{c_2}\sum_{x_i\in R_2(j,s)}(y_i-c_2)^2]$

這里 $R_1(j,s)=\{x|x^{(j)}\leq s\}$ 和 $R_2(j,s)=\{x|x^{(j)} > s \}$ 表示由切分變量 $x^{(j)}$ 和切分點(diǎn) $s$ 產(chǎn)生的兩個(gè)劃分區(qū)域邦蜜， $c_1=ave(y_i|x_i\in R_1(j,s))$ 和 $c_2=ave(y_i|x_i\in R_2(j,s))$ 則表示在 $R_1$ 和 $R_2$ 區(qū)域上的樣本輸出值的均值依鸥。

也就是說(shuō)，遍歷 $j$ 悼沈，對(duì)固定的 $j$ 贱迟，掃描切分點(diǎn) $s$ ，找到使得上式最小的 $(j,s)$ 絮供。

（2）用選定的 $(j,s)$ 劃分區(qū)域并決定相應(yīng)的輸出值：

$R_1(j,s)=\{x|x^{(j)}\leq s\} \quad R_2(j,s)=\{x|x^{(j)}> s \}$

$\hat{c}_m=\frac{1}{N_m}\sum_{x_i\in R_m(j,s)}y_i,\quad x\in R_m,\quad m=1,2$

（3）繼續(xù)對(duì)兩個(gè)子區(qū)域調(diào)用步驟（1）（2）直至滿(mǎn)足停止條件衣吠。

（b）分類(lèi)樹(shù)CART算法：

（1）設(shè)結(jié)點(diǎn)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集為 $D$ ，計(jì)算現(xiàn)有特征對(duì)該數(shù)據(jù)集的基尼系數(shù)壤靶，此時(shí)對(duì)每一個(gè)特征及其可能取的每個(gè)取值 $a$ 缚俏，根據(jù)樣本點(diǎn)對(duì) $A=a$ 的測(cè)試為是或否將 $D$ 分割成 $D_1$ 和 $D_2$ 兩個(gè)部分，利用下式計(jì)算 $A=a$ 時(shí)的基尼系數(shù)：

$Gini(D)=1-\sum_{k=1}^K(\frac{|C_k|}{|D|})^2$

$Gini(D,A)=\frac{|D_1|}{|D|}Gini(D_1)+\frac{|D_2|}{|D|}Gini(D_2)$

基尼系數(shù) $Gini(D)$ 表示集合 $D$ 的不確定性贮乳， $Gini(D,A)$ 表示經(jīng)過(guò) $A=a$ 分割后集合 $D$ 的不確定性忧换。基尼指數(shù)越大不確定性越大向拆。

（2）在所有可能特征 $A$ 以及它們所有可能的切分點(diǎn) $a$ 中選擇基尼指數(shù)最小的特征及對(duì)應(yīng)切分點(diǎn)作為最優(yōu)特征與最優(yōu)切分點(diǎn)亚茬，將此結(jié)點(diǎn)分成兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)。

（3）對(duì)兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)遞歸地調(diào)用（1）（2）直至滿(mǎn)足停止條件（結(jié)點(diǎn)中樣本個(gè)數(shù)小于閾值或基尼系數(shù)小于閾值或沒(méi)有更多特征）浓恳。

5刹缝、決策樹(shù)剪枝

決策樹(shù)剪枝往往通過(guò)極小化決策樹(shù)整體的損失函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)葡兑，設(shè)樹(shù) $T$ 的葉結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為 $|T|$ ， $t$ 是樹(shù) $T$ 的葉結(jié)點(diǎn)赞草，改葉結(jié)點(diǎn)有 $N_t$ 個(gè)樣本點(diǎn)，其中第 $k$ 類(lèi)樣本點(diǎn)有 $N_{tk}$ 個(gè)吆鹤， $k=1,2,\dots,K$ 厨疙， $H_t(T)$ 為葉結(jié)點(diǎn) $t$ 上的熵， $\alpha\geq 0$ 為參數(shù)疑务，則決策樹(shù)學(xué)習(xí)的損失函數(shù)可定義為：

$C_\alpha(T)=\sum_{t=1}^{|T|} N_tH_t(T)+\alpha |T|$

其中熵為：

$H_t(T)=-\sum_k \frac{N_{tk}}{N_t}log\frac{N_{tk}}{N_t}$

將第一項(xiàng)記作：

$C(T)=\sum_{t=1}^{|T|}N_t H_t(T)=-\sum_{t=1}^{|T|}\sum_{k=1}^K N_{tk}log\frac{N_{tk}}{N_t}$

則損失函數(shù)為：

$C_\alpha(T)=C(T)+\alpha |T|$

其中 $C(T)$ 表示模型對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)誤差沾凄， $|T|$ 表示模型復(fù)雜度，在這里作為正則項(xiàng)來(lái)防止模型過(guò)擬合知允。

樹(shù)的剪枝算法：

（1）計(jì)算每個(gè)結(jié)點(diǎn)的熵撒蟀。

（2）遞歸地從樹(shù)的葉結(jié)點(diǎn)向上回縮。設(shè)一組葉結(jié)點(diǎn)回縮到父節(jié)點(diǎn)前后的整樹(shù)分別為 $T_B$ 和 $T_A$ 温鸽，其對(duì)應(yīng)損失函數(shù)分別為 $C_\alpha(T_B)$ 和 $C_\alpha(T_A)$ 保屯，若：

$C_\alpha(T_A)\leq C_\alpha(T_B)$

則進(jìn)行剪枝，將父節(jié)點(diǎn)變成新的葉子結(jié)點(diǎn)涤垫。

（3）重復(fù)（2）直至不能繼續(xù)為止姑尺，得到損失函數(shù)最小的子樹(shù) $T_\alpha$ 。

CART剪枝：

CART剪枝算法由兩步組成：

從生成的決策樹(shù) $T_0$ 底端開(kāi)始不斷剪枝蝠猬，直到 $T_0$ 的根結(jié)點(diǎn)切蟋，形成一個(gè)子樹(shù)序列 $\{T_0,T_1,\dots,T_n \}$ 。
通過(guò)交叉驗(yàn)證法在獨(dú)立的驗(yàn)證集上對(duì)子樹(shù)序列進(jìn)行測(cè)試榆芦，從中選出最優(yōu)子樹(shù)柄粹。

如何形成子樹(shù)序列呢？Breiman等人證明：可以用遞歸的方式對(duì)數(shù)進(jìn)行剪枝匆绣，將 $\alpha$ 從小增大型宝，產(chǎn)生一系列的區(qū)間 $[\alpha_i,\alpha_{i=1}),i=1,2,\dots,n$ ；剪枝得到的子樹(shù)序列對(duì)應(yīng)著各區(qū)間的最優(yōu)子樹(shù)序列暖呕。

這個(gè)結(jié)論其實(shí)不難理解挂签，當(dāng)我們緩慢增加 $\alpha$ 的時(shí)候，可能得到的最優(yōu)子樹(shù)并不會(huì)發(fā)生變化凯力，也就是說(shuō)當(dāng) $\alpha$ 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值時(shí)茵瘾，我們得到的最優(yōu)子樹(shù)都是相同的，而當(dāng) $\alpha$ 超過(guò)某個(gè)閾值咐鹤，則剪枝后得到的子樹(shù)更優(yōu)拗秘，此時(shí)最優(yōu)子樹(shù)才發(fā)生改變。于是很自然的思路就是找到這些區(qū)間的端點(diǎn)來(lái)進(jìn)行分析祈惶。

具體地雕旨，從整體樹(shù) $T_0$ 開(kāi)始剪枝扮匠，對(duì) $T_0$ 的內(nèi)部結(jié)點(diǎn) $t$ ，以 $t$ 為單結(jié)點(diǎn)樹(shù)的損失函數(shù)為：

$C_\alpha(t)=C(t)+\alpha$

以 $t$ 為根結(jié)點(diǎn)的子樹(shù) $T_t$ 的損失函數(shù)為：

$C_\alpha(T_t)=C(T_t)+\alpha|T_t|$

當(dāng) $\alpha=0$ 及 $\alpha$ 充分小時(shí)凡涩，有不等式：

$C_\alpha(T_t)<C_\alpha(t)$

當(dāng) $\alpha$ 增大時(shí)棒搜，在某一 $\alpha$ 有：

$C_\alpha(T_t)=C_\alpha(t)$

此時(shí)解出的 $\alpha$ 為：

$\alpha=\frac{C(t)-C(T_t)}{|T_t|-1}$

為此，對(duì) $T_0$ 中每一個(gè)內(nèi)部結(jié)點(diǎn) $t$ 活箕，計(jì)算：

$g(t)=\frac{C(t)-C(T_t)}{|T_t|-1}$

它表示剪枝后整體損失函數(shù)減少的程度力麸。在 $T_0$ 中減去 $g(t)$ 最小的 $T_t$ ，將得到的子樹(shù)作為 $T_1$ 育韩，同時(shí)將最小的 $g(t)$ 作為 $\alpha_1$ 克蚂。 $T_1$ 為區(qū)間 $[\alpha_1,\alpha_2)$ 的最優(yōu)子樹(shù)。

總結(jié)下來(lái)算法流程如下：

（1）設(shè) $k=0$ 筋讨， $T=T_0$ 埃叭。

（2）設(shè) $\alpha=+\infty$ 。

（3）自下而上地對(duì)各內(nèi)部結(jié)點(diǎn) $t$ 計(jì)算 $C(T_t)$ 悉罕， $|T_t|$ 以及：

$g(t)=\frac{C(t)-C(T_t)}{|T_t|-1}$

$\alpha=\min(\alpha,g(t))$

（4）對(duì) $g(t)=\alpha$ 的內(nèi)部結(jié)點(diǎn) $t$ 進(jìn)行剪枝赤屋，并對(duì)葉結(jié)點(diǎn) $t$ 以多數(shù)表決法確定其類(lèi)別，得到樹(shù) $T$ 蛮粮。

（5）設(shè) $k=k+1,\alpha_k=\alpha,T_k=T$ 益缎。

（6）如果樹(shù) $T_k$ 不是由根結(jié)點(diǎn)及兩個(gè)葉結(jié)點(diǎn)構(gòu)成的樹(shù)則返回（2）否則令 $T_k=T_n$ 。

（7）采取交叉驗(yàn)證法在子樹(shù)序列 $T_0,T_1,\dots,T_n$ 中選取最優(yōu)子樹(shù) $T_\alpha$ 然想。

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活死人
序言：一個(gè)原本活蹦亂跳的男人離奇死亡错沽，死狀恐怖簿晓，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出，到底是詐尸還是另有隱情甥捺，我是刑警寧澤抢蚀，帶...
沈念sama閱讀 35,789評(píng)論 5贊 346
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布，位于F島的核電站镰禾，受9級(jí)特大地震影響皿曲，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏唱逢。R本人自食惡果不足惜，卻給世界環(huán)境...
茶點(diǎn)故事閱讀 41,437評(píng)論 3贊 331
男人毒藥：我在死后第九天來(lái)索命
文/蒙蒙一屋休、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望坞古。院中可真熱鬧，春花似錦劫樟、人聲如沸痪枫。這莊子的主人今日做“春日...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 31,993評(píng)論 0贊 22
一樁弒父案叠艳，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽(yáng)奶陈。三九已至，卻和暖如春附较，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間吃粒，已是汗流浹背。一陣腳步聲響...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 33,107評(píng)論 1贊 271
情欲美人皮
我被黑心中介騙來(lái)泰國(guó)打工拒课，沒(méi)想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留徐勃，地道東北人。一個(gè)月前我還...
沈念sama閱讀 48,308評(píng)論 3贊 372
代替公主和親
正文我出身青樓早像，卻偏偏與公主長(zhǎng)得像僻肖，于是被迫代替她去往敵國(guó)和親。傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子卢鹦，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 45,037評(píng)論 2贊 355