箱拓?fù)渑c積拓?fù)?/h1>

在之前的學(xué)習(xí)中雌隅，我們?cè)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=X%5Ctimes%20Y" alt="X\times Y" mathimg="1">上定義了拓?fù)渥蛞洌⑶野言摱x拓展為在任意多個(gè)可列的拓?fù)淇臻g笛卡爾積上的拓?fù)浠讨蕖衬横？紤]笛卡爾積：
其中每個(gè)都是一個(gè)拓?fù)淇臻g裹粤。我們有兩種方法生成拓?fù)洌?/p>

• 將形如的所有集合作為基，其中是中的開(kāi)集蜂林。我們把通過(guò)這種方式生成的拓?fù)浞Q為箱拓?fù)?/strong>遥诉。
• 將形如的所有集合作為子基拇泣，其中是投影函數(shù)，是中的開(kāi)集矮锈。我們把通過(guò)這種方式生成的拓?fù)浞Q為積拓?fù)?/strong>霉翔。

這兩種拓?fù)溆惺裁床煌兀靠紤]積拓?fù)涞囊粋€(gè)基元素苞笨，它是由有限多個(gè)子基元素的交組成债朵，不妨記這些指標(biāo)為。那么一個(gè)點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)瀑凝。換言之葱弟，對(duì)于的其他維度則不做要求。

這兩種拓?fù)湓谟邢蘧S的笛卡爾積上是等價(jià)的猜丹，但是對(duì)于無(wú)窮維的笛卡爾積則不同芝加。我們更偏好用積拓?fù)涠皇窍渫負(fù)洌@在接下來(lái)將進(jìn)行說(shuō)明射窒。我們先定義一個(gè)更廣泛的笛卡爾積概念藏杖，它將指標(biāo)集從正整數(shù)拓展為任意可列集。

定義（元組）：令為一個(gè)指標(biāo)集脉顿，給定一個(gè)集合蝌麸，我們定義-元組為一個(gè)函數(shù)。若艾疟，我們通常把在處的取值記為来吩，并稱為在處的坐標(biāo)。我們把記為蔽莱。我們把在上的所有-元組記為弟疆。

定義（笛卡爾積）：令是一個(gè)集合族，盗冷，那么該集合族的笛卡爾積怠苔，記為
為所有滿足的-元組構(gòu)成的集合。

顯然仪糖，如果該集合族的所有集合都等于一個(gè)集合柑司，那么。

定義（箱拓?fù)洌?/strong>：令為一個(gè)拓?fù)淇臻g族锅劝，在其乘積空間上可以將如下形式的集合作為基元素形成拓?fù)洌?br> 其中是中的開(kāi)集攒驰。我們把通過(guò)這個(gè)基生成的拓?fù)浞Q為箱拓?fù)?/strong>。

定義（積拓?fù)洌?/strong>：令為一個(gè)拓?fù)淇臻g族故爵，定義為：
并且定義玻粪，我們把通過(guò)將作為子基生成的拓?fù)浞Q為積拓?fù)?/strong>。

記通過(guò)子基生成的基為，我們考慮中的元素與箱拓?fù)涞幕赜泻尾煌?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cmathcal%7BB%7D" alt="\mathcal{B}" mathimg="1">中的元素為有限多個(gè)中的元素的交奶段，如果我們?nèi)〉倪@些元素都是來(lái)自于同一個(gè)指標(biāo)下的集合，那么生成的元素也屬于剥纷，因此我們只考慮分別從不同指標(biāo)集下取出子基元素進(jìn)行交集痹籍。設(shè)為中個(gè)不同的指標(biāo)，為的開(kāi)集晦鞋，那么中的一個(gè)元素可以寫(xiě)成：
那么蹲缠，一個(gè)點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)。對(duì)于一個(gè)不屬于的指標(biāo)悠垛，不做任何要求线定。因此，我們有如下定理：

定理（箱拓?fù)渑c積拓?fù)涞膶?duì)比）：給定乘積空間确买，我們有：

• 箱拓?fù)涞幕貫樗行稳?的集合斤讥，其中對(duì)于所有的，是的開(kāi)集湾趾。
• 積拓?fù)涞幕貫樗行稳?的集合芭商，其中對(duì)于所有的，是的開(kāi)集搀缠；且除有限多個(gè)外铛楣，。

從以上定理可以看出兩點(diǎn)艺普。首先簸州，對(duì)于有限的笛卡爾積，箱拓?fù)渑c積拓?fù)湎嗟绕缙Ｆ浯伟痘耄渫負(fù)湓谝话闱闆r下比積拓?fù)涓泳?xì)。我們之所以更偏好積拓?fù)涠皇窍渫負(fù)涔宀剑且驗(yàn)樵谟邢薜芽柗e下的許多重要的定理助琐，在使用積拓?fù)涞那闆r下可以推廣到任意乘積空間，但是對(duì)于箱拓?fù)鋭t不一定面氓；在接下來(lái)的學(xué)習(xí)中我們會(huì)更加深入地體會(huì)到這一點(diǎn)兵钮。因此，對(duì)于乘積空間而言舌界，我們默認(rèn)定義的拓?fù)錇榉e拓?fù)涠皇窍渫負(fù)洹?/p>

之前的學(xué)習(xí)中證明的在下成立的一些定理掘譬，無(wú)論使用箱拓?fù)溥€是積拓?fù)洌伎梢酝茝V到任意維的乘積空間：

定理：令為一個(gè)拓?fù)淇臻g族呻拌，是上拓?fù)涞幕行敲矗?/p>

• 為的箱拓?fù)洌渲?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=B_%5Calpha%20%5Cin%20%5Cmathcal%7BB%7D_%5Calpha%2C%5Cforall~%5Calpha" alt="B_\alpha \in \mathcal{B}_\alpha,\forall~\alpha" mathimg="1">
• 為的積拓?fù)洌渲?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=B_%5Calpha%20%5Cin%20%5Cmathcal%7BB%7D_%5Calpha" alt="B_\alpha \in \mathcal{B}_\alpha" mathimg="1">對(duì)于有限多個(gè)靴拱，且對(duì)于剩下的

定理：對(duì)于每個(gè)垃喊，令是的一個(gè)子空間，那么為的一個(gè)子空間袜炕，如果拓?fù)渚鶠橄渫負(fù)浠蛘呔鶠榉e拓?fù)洹?/p>

定理：如果每個(gè)都是一個(gè)豪斯多夫空間本谜，那么也是一個(gè)豪斯多夫空間，無(wú)論拓?fù)錇橄渫負(fù)浠蛘叻e拓?fù)洹?/p>

定理：對(duì)于每個(gè)偎窘，令乌助，那么無(wú)論在箱拓?fù)溥€是積拓?fù)湎拢?br>

下面的定理只對(duì)積拓?fù)涑闪ⅲ粚?duì)箱拓?fù)涑闪ⅲ?/p>

定理：令陌知，且由下式定義：
如果上定義的是積拓?fù)渌校敲?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=f" alt="f" mathimg="1">連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)連續(xù)。

為什么該定理對(duì)于箱拓?fù)涫仄推希课覀兛梢钥聪旅娴睦由筒巍？紤]沿盅，即可數(shù)無(wú)窮多個(gè)的笛卡爾積登刺，則我們有：
定義函數(shù)，那么第個(gè)坐標(biāo)函數(shù)為嗡呼。顯然纸俭，每一個(gè)坐標(biāo)函數(shù)都是連續(xù)的，因此在積拓?fù)湎?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=f" alt="f" mathimg="1">也是連續(xù)的南窗。但是對(duì)于箱拓?fù)涠宰岷埽绻紤]基元素，那么在中不是開(kāi)集万伤。如果在中是開(kāi)集窒悔，那么對(duì)于某個(gè)，有 因此有敌买。因此简珠，將運(yùn)用到等式兩邊，我們有： 顯然矛盾虹钮，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=n" alt="n" mathimg="1">可以任意大聋庵。因此該定理在箱拓?fù)渲胁怀闪ⅰ?/p>

那么，為什么上述論證在積拓?fù)渖喜幻苣剀搅唬恳驗(yàn)榉e拓?fù)渲械幕?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=B'" alt="B'" mathimg="1">只在有限多個(gè)維度上不為祭玉，因此我們只能在有限的維度下去構(gòu)造并且令其他維度為原拓?fù)淇臻g，對(duì)于任意一個(gè)這樣構(gòu)造出來(lái)的基元素春畔，顯然可以找到脱货。