本文內(nèi)容是記錄微積分中一部分和康托有關(guān)的命題火架、定理的聯(lián)系。

一些鋪墊和基本知識(shí)

康托在研究實(shí)數(shù)性質(zhì)的時(shí)候發(fā)現(xiàn)忙菠，實(shí)數(shù)比自然數(shù)都"多"何鸡。這里"多"的意義需要一些鋪墊，因?yàn)閷?shí)數(shù)和自然數(shù)都是無(wú)窮集合牛欢，并不能直接用有限集合比較多少的方法骡男。

康托采用的方法是用對(duì)應(yīng)集合元素來(lái)比較多少，如果存在一個(gè)映射把A集合的每一個(gè)元素對(duì)應(yīng)到B集合的每一個(gè)元素傍睹，并且A的任何兩個(gè)元素不會(huì)對(duì)應(yīng)到B的同一個(gè)元素（不重復(fù)）隔盛，B的每一個(gè)元素都有A的元素對(duì)應(yīng)到（不遺漏），這樣的映射叫一一對(duì)應(yīng)拾稳，此時(shí)就認(rèn)為A和B一樣"多"吮炕。當(dāng)一個(gè)映射滿(mǎn)足不重復(fù)條件，那么就說(shuō)A比B不多熊赖，或者說(shuō)A小于等于B来屠。如果滿(mǎn)足不遺漏條件，那么就說(shuō)A比B不少震鹉，或者說(shuō)A大于等于B俱笛。

這里有幾點(diǎn)注意，這幾個(gè)定義和有限集合是匹配的传趾，不會(huì)出現(xiàn)通常意義A不多于B但是在上述意義下A對(duì)于B的情形迎膜，所以可以認(rèn)為上面的定義是通常定義的擴(kuò)展。A比B不多的結(jié)論浆兰，是因?yàn)橐话愕膶?duì)應(yīng)關(guān)系是單向的磕仅，舉個(gè)例子珊豹，教室里52個(gè)座位，有50個(gè)學(xué)生榕订，當(dāng)然不可能兩個(gè)學(xué)生做同一個(gè)位置店茶，所以從學(xué)生到座位的對(duì)應(yīng)是不重復(fù)的，但是明顯椅子更多劫恒。不遺漏條件比較直觀贩幻，不多說(shuō)。還有一點(diǎn)就是不多两嘴，不少的叫法比較拗口丛楚，為什么要用這兩個(gè)詞。因?yàn)椴欢啻砹松儆诨蛘咭粯佣鄡蓚€(gè)情況憔辫，這和小于等于類(lèi)似趣些。另外有康托的一個(gè)定理 Cantor–Bernstein–Schroeder theorem，這個(gè)定理粗略地說(shuō)贰您，如果A不多于B坏平，B也不多于A，那么兩個(gè)集合A B是一樣多的锦亦，由此功茴，不多于、不少于和小于等于孽亲、大于等于有進(jìn)一步的相似性，所以有時(shí)候多少和大小于會(huì)混著說(shuō)展父。

最后是定義里的"存在"二字返劲，這個(gè)技術(shù)上比較重要，不能說(shuō)試著找了幾個(gè)對(duì)應(yīng)栖茉，沒(méi)找到符合條件的篮绿，就說(shuō)兩個(gè)集合不一樣大，存在必須是找到才算證明吕漂，沒(méi)找到不能得到相反結(jié)論亲配，除非找遍了所有的可能。

康托的對(duì)角線(xiàn)證明

這里我們說(shuō)明自然數(shù)比實(shí)數(shù)少惶凝，用的是康托的對(duì)角線(xiàn)法吼虎。

顯然的一個(gè)結(jié)論是，自然數(shù)N不多于實(shí)數(shù)R苍鲜，把自然數(shù)集N的n對(duì)應(yīng)到實(shí)數(shù)R中的n思灰，顯然就是不重復(fù)的對(duì)應(yīng)。另一個(gè)顯然的觀察是混滔，如果A比B的子集合（一部分）還少洒疚，那么A顯然也少于B歹颓。

這里會(huì)用一個(gè)記號(hào)，如果f表示一個(gè)對(duì)應(yīng)方法油湖，f(n)就是在這個(gè)規(guī)則下對(duì)應(yīng)的數(shù)巍扛。

康拓的方法利用了十進(jìn)制，把0到1的所有實(shí)數(shù)[0,1]都用十進(jìn)制表示乏德，去掉"0."這個(gè)前綴撤奸，比如0，0.5鹅经，和1/3分別是

00000000.....

5000000......

3333333......

然后利用反證法寂呛，假設(shè)有人聲稱(chēng)找到了一個(gè)自然數(shù)和0到1所有實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)，那么我們就按照那個(gè)對(duì)應(yīng)把數(shù)字一個(gè)一個(gè)排下來(lái)瘾晃，第1行是1對(duì)應(yīng)的數(shù)f(1)贷痪，第二行是2對(duì)應(yīng)的數(shù)f(2)，以此類(lèi)推蹦误。于是我們得到一個(gè)入窮行無(wú)窮列的表劫拢，第i行j列的數(shù)字是f(i)的第位數(shù)字。

從這個(gè)表里我們可以得到一個(gè)數(shù)字强胰，看對(duì)角線(xiàn)舱沧，可以連出來(lái)一個(gè)數(shù)字，再稍做手腳（看后一段）偶洋，那么他和表里的每一行都不一樣熟吏，至少有一個(gè)數(shù)字不一樣，于是我們的到一個(gè)新的數(shù)玄窝，他沒(méi)有被對(duì)應(yīng)到牵寺，于是得到矛盾。

具體做法是把從對(duì)角線(xiàn)得到的每一個(gè)數(shù)字動(dòng)一下手腳恩脂，讓他和原來(lái)的數(shù)字不一樣帽氓，比如每個(gè)數(shù)字用9減，于是0變成9俩块，1變成8黎休，

0123456789......變成

9876543210......

然后我們說(shuō)明，他的第一位和f(1)的第一位不一樣玉凯，他的第二位和f(2)的第二位不一樣势腮，以此類(lèi)推，他和每一個(gè)自然數(shù)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)都有至少一位不一樣漫仆，因此這個(gè)改動(dòng)的實(shí)數(shù)沒(méi)有被對(duì)應(yīng)到嫉鲸，和假設(shè)矛盾（有個(gè)小尾巴，后文說(shuō)）歹啼。

這里一點(diǎn)小注釋?zhuān)腥藭?huì)說(shuō)玄渗，反正只差一個(gè)座菠，那把漏掉的實(shí)數(shù)放進(jìn)去再對(duì)應(yīng)一遍不就好了嗎？不行藤树，上面的方法可以再來(lái)一次浴滴，再次得到一個(gè)新的數(shù)，無(wú)窮無(wú)盡岁钓。并且反證法的論證不是這樣的邏輯升略，只需順著假設(shè)，找到一個(gè)矛盾屡限，這樣反證法的論證過(guò)程就結(jié)束了品嚣，不需要再來(lái)一遍。另一個(gè)問(wèn)題是無(wú)窮钧大，人真的能把無(wú)窮的東西列出來(lái)嗎翰撑，而且是行列兩個(gè)方向的無(wú)窮？這是個(gè)和實(shí)際相結(jié)合的問(wèn)題啊央，實(shí)踐上可以認(rèn)為不可能眶诈，但是通過(guò)想象又可以認(rèn)為是可以的，沒(méi)有統(tǒng)一答案瓜饥，數(shù)學(xué)家內(nèi)部也有爭(zhēng)論逝撬。但是拋離實(shí)踐問(wèn)題，假設(shè)有這種超能力乓土，數(shù)學(xué)家能保證邏輯是協(xié)調(diào)的宪潮，邏輯上是不錯(cuò)的。

康托的第一個(gè)不可數(shù)證明

上面的證明其實(shí)是康托的第二個(gè)證明趣苏，是接地氣的證明坎炼，在這之前還有一個(gè)證明，證明的基本對(duì)象是區(qū)間拦键，稍微更抽象一點(diǎn)。

接著上面的證明檩淋，我們可以把[0,1]十等分芬为，如果f(1)落在某個(gè)區(qū)間，就在除這個(gè)區(qū)間外的9個(gè)等分里選一個(gè)蟀悦，記作A1媚朦。然后把A1再十等分，再在十個(gè)區(qū)間里選一個(gè)f(2)不在的區(qū)間日戈，一直繼續(xù)下去询张，最后會(huì)得到一個(gè)長(zhǎng)度0的區(qū)間，就是一個(gè)數(shù)浙炼，記作x份氧，任何f(n)都和x不在一個(gè)區(qū)間唯袄，即任何f(n)和都不同。

這里用到了區(qū)間套定理蜗帜，就是說(shuō)一個(gè)一直縮小恋拷，兩個(gè)端點(diǎn)無(wú)限靠近的區(qū)間，最后里面會(huì)是一個(gè)數(shù)厅缺。

本質(zhì)上蔬顾，上面兩個(gè)證明都用了十進(jìn)制表示，但是其實(shí)并不需要如此湘捎，我們可以很容易地把上面的證明改成其他進(jìn)制诀豁，比如三進(jìn)制盒揉，但不能是二進(jìn)制浦马。因?yàn)檫@種進(jìn)制表示法有一個(gè)不唯一的缺陷倒彰，就是讓人詬病的0.999......=1.000......笆焰，兩個(gè)每一位都不同的小數(shù)可以表示相同的實(shí)數(shù)威蕉，在二進(jìn)制中摄悯，0.111......=1.000......陌兑。在二進(jìn)制表示時(shí)租谈，你可以給出這樣的對(duì)應(yīng)g纱新，其中g(shù)(1)=0.1(二進(jìn)制）展氓，然后剩下的g(n)的第n個(gè)數(shù)字總是0。這樣g的對(duì)角線(xiàn)脸爱，經(jīng)過(guò)對(duì)角線(xiàn)法的修改遇汞，只能得到0.0111.....（二進(jìn)制）但他代表了0.1（二進(jìn)制），g(1)有對(duì)應(yīng)到簿废，論證失效了空入，這就是之前留下的小尾巴。但是三進(jìn)制有足夠的自由度調(diào)整數(shù)字族檬，使得上面的情況不發(fā)生歪赢。

另一個(gè)角度的區(qū)間證明

我們可以認(rèn)為有限位小數(shù)其實(shí)對(duì)應(yīng)了一個(gè)區(qū)間，比如0.1就對(duì)應(yīng)了[0.1,0.2]单料，0.678對(duì)應(yīng)了[0.678,0.679]埋凯，0.10對(duì)應(yīng)了[0.10,0.11]。就是從一個(gè)小數(shù)開(kāi)始往后一段的全部數(shù)字扫尖，并且位數(shù)越長(zhǎng)那一段就越短白对。記下這個(gè)一堆區(qū)間的集合X。

我們開(kāi)始有點(diǎn)不一樣的對(duì)角線(xiàn)論證换怖。首先看f(1)的第一位甩恼，比如0.123...就取0.1，于是從[0,1]里去掉0.1代表的區(qū)間，剩下的記作C1条摸。接著看f(2)的第二位悦污，比如0.243...就取4，接著從C1去掉所有0.?4代表的10個(gè)區(qū)間屈溉，記作C2塞关。這樣的Cn有個(gè)特點(diǎn)，就是整個(gè)集合里的數(shù)子巾，和f(1),...,f(n)都不一樣帆赢，看前個(gè)數(shù)字就知道。這樣做下去线梗，剩下的東西和之前不一樣椰于，是一個(gè)集合而不是單個(gè)數(shù)。

由此我們可以看到仪搔，之前的做法的自由度非常大瘾婿，舉個(gè)例子說(shuō)明三進(jìn)制，并且取這樣一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系h烤咧，他的對(duì)角線(xiàn)上都是1偏陪，由此我們得到了一個(gè)集合康托三等分集。我們可以這樣描述這個(gè)集合的元素煮嫌，三進(jìn)制中所有位數(shù)的數(shù)字不是1的元素笛谦。再轉(zhuǎn)換一下，就是所有位上都是0或2的元素昌阿，而這和實(shí)數(shù)的二進(jìn)制表示只差一點(diǎn)點(diǎn)饥脑，把2換成1就一模一樣了，于是這個(gè)集合和二進(jìn)制表示的[0,1]一一對(duì)應(yīng)懦冰，一樣多灶轰，就是說(shuō)沒(méi)選到的元素和[0,1]一樣多。

拓?fù)鋵W(xué)的描述

在點(diǎn)集拓?fù)涞臅?shū)上刷钢，通常還有另外兩個(gè)證明笋颤，定理的條件差不多，證法也差不多内地，也是反證+挖洞伴澄，最后通過(guò)集合非空來(lái)導(dǎo)出矛盾。

一個(gè)是非空perfect set不可數(shù)瓤鼻。

一個(gè)是緊致Huausdorff空間沒(méi)有孤立點(diǎn)，那么空間不可數(shù)贤重。

老實(shí)說(shuō)前置定義比較多茬祷，就不展開(kāi)了。

延伸1 Baire定理

這邊開(kāi)始的就和康托沒(méi)什么關(guān)系了并蝗。第一個(gè)話(huà)題是Baire定理祭犯。Baire是人名秸妥。

老實(shí)說(shuō)前置定義也有點(diǎn)多。

實(shí)數(shù)的一個(gè)集合如果和任何開(kāi)區(qū)間都相交沃粗，那么他是稠密的粥惧，例子有所有實(shí)數(shù)R，有理數(shù)Q最盅，所有無(wú)理數(shù)突雪。

實(shí)數(shù)的一個(gè)集合如果任意給一個(gè)開(kāi)區(qū)間，總能找到一個(gè)開(kāi)區(qū)間的子開(kāi)區(qū)間和他不相交涡贱，那么他就是無(wú)處稠密的咏删，例子是自然數(shù)N，有限集问词，一個(gè)直觀的感覺(jué)就是他到處都是洞督函。

一個(gè)集合叫做第一綱集或者meager集，如果他能寫(xiě)成可數(shù)個(gè)無(wú)處稠密集的并激挪。如果不行辰狡，他就叫做第二綱集。這里可以吐槽一下Baire的命名垄分，第一綱集第二綱集就是他論文里的原文宛篇。

然后是Baire性質(zhì)，一個(gè)空間的可數(shù)個(gè)稠密開(kāi)集的交集還是稠密集锋喜，或者說(shuō)一個(gè)空間的無(wú)處稠密閉集的并集還是無(wú)處稠密集些己，這就是Baire性質(zhì)，直觀的說(shuō)就是"大"集合求交還是"大"集合嘿般，"小"集合并起來(lái)還是"小"集合段标，這里的大小是通俗講法，經(jīng)常反直覺(jué)炉奴。

Baire定理給出了一個(gè)拓?fù)淇臻g有Baire性質(zhì)的充分條件逼庞，緊致hausdorff空間和完備度量空間。

放在這里講是因?yàn)樗淖C明放在實(shí)數(shù)上瞻赶，和康托的區(qū)間證明類(lèi)似赛糟，只是康托每次用一個(gè)點(diǎn)，baire一次用一個(gè)無(wú)處稠密集砸逊，做無(wú)窮多次璧南，然后用一個(gè)類(lèi)似區(qū)間套的方式扣剩一個(gè)點(diǎn)。

延伸2 積拓?fù)?/h2>

在這里提積拓?fù)涫且驗(yàn)槭σ荩沂窃诳瓷厦娴膬?nèi)容的時(shí)候體會(huì)到其中蘊(yùn)含的積拓?fù)涞乃疽校呛苌衿娴母杏X(jué)。上面用小數(shù)的有限部分指定一個(gè)區(qū)間的做法其實(shí)給出了一個(gè)積拓?fù)洌B分?jǐn)?shù)也可以給出類(lèi)似的積拓?fù)涠詈蠼o定的拓?fù)涫峭叩摹?/p>

積拓?fù)涫嵌x在一族拓?fù)淇臻g的笛卡爾積上的拓?fù)涿笏牛梢杂孟薅ㄓ邢迋€(gè)分量的方式給出基，也可以限定一個(gè)分量給出子基盒粮，沒(méi)啥區(qū)別鸵鸥。

積拓?fù)涞教幎际恰?/p>

比如十等分[0,1]可以定義成{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}^N，即十進(jìn)制序列丹皱，每個(gè)分量取離散拓?fù)涞玫降姆e拓?fù)洹?/p>

比如N^N妒穴，通過(guò)連分?jǐn)?shù)給出同胚 ，從中也可以看出積拓?fù)洹?/p>

函數(shù)列的逐點(diǎn)收斂也可以看成是函數(shù)空間的積拓?fù)湎碌氖諗恐帜牛踊厥窃诙x域的某一點(diǎn)足夠接近某函數(shù)值代表的函數(shù)圖像上的一小段豎向開(kāi)區(qū)間宰翅。