特征分解
概念
特征分解是矩陣的分解的一種，目的是將一個矩陣拆分成幾個矩陣乘積的形式蚯瞧，就好像是我們對標量（scalar）做因式分解一樣。
目的
之所以要做特征分解，一方面是要從矩陣的分解中找出隱含的規(guī)律煌茴，另一方面就是對矩陣進行轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)成容易處理的形式日川。
矩陣初等變換
學過線型代數(shù)的人都知道蔓腐，矩陣的初等變換其實就是對單位矩陣進行伸縮變換，行變換就是對矩陣進行單位矩陣進行左乘龄句，相應(yīng)列變換就是對矩陣進行右乘回论。
特征向量和特征值
如果一個矩陣A 滿足如公式：
，則成
為特征向量分歇，
就是特征值
從這個公式我們可以看出：
- 矩陣
和 向量
共線傀蓉，
- 向量
- 根據(jù)1,2 可以知道，矩陣A 把向量
- 矩陣A并沒有改變向量
為負數(shù)時方向相反
矩陣分解
一個矩陣可以有多個特征值，如果是N維矩陣缚甩，則一定有n個特征值（包括重根）
將上面公式合并寫成矩陣形式：
移項后得到
到此我們將矩陣A分解成三部分乘積形式谱净，其中表示以所有特征向量為列向量組成的矩陣，
表示三角矩陣擅威，對角線值為特征值壕探，
表示
的逆矩陣。
限制
- 矩陣A必須是方陣郊丛，因為只有方陣才有逆矩陣
- 并不是所有方陣李请，都有逆矩陣
由以上兩點可以看出特征分解雖好瞧筛，但是并不通用
應(yīng)用
因為特征值表示矩陣對向量的拉伸程度，所以可以直觀的認為當特征值大時表示該向量方向占比比較大（主要）捻艳，當特征小時該特征向量占比較屑菘摺（次要）。所以特征分解可以對矩陣進行降維认轨，去掉特征值較小的特征向量绅络。具體做法如下：
- 求出矩陣A的所有特征值和特征向量
- 對特征值從大到小排列，并相應(yīng)改變特征向量次序
- 截取給定閾值的特征值嘁字，舍棄小于閾值的特征向量
