假設(shè)與推理
——“雞兔同籠”問(wèn)題趣解及模型初建
樂(lè)平市第九小學(xué)蔣銘國(guó)
教學(xué)內(nèi)容：北師大版五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《嘗試與猜測(cè)》拓展內(nèi)容。
教學(xué)目標(biāo)：
1.在列表法解決“雞兔同籠”問(wèn)題基礎(chǔ)上，探究用假設(shè)法解決問(wèn)題蜒谤。（①知識(shí)技能）
2.感受假設(shè)與推理的基本過(guò)程当凡，培養(yǎng)推理能力牲剃，經(jīng)歷知識(shí)遷移的過(guò)程初家，促進(jìn)抽象思維的發(fā)展傲醉。（②數(shù)學(xué)思考）
3.獲得假設(shè)過(guò)程的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)寒匙，會(huì)從生活情境中提出類似問(wèn)題并加以解決零如，嘗試建立“雞兔同籠”問(wèn)題模型。（③問(wèn)題解決）
4.通過(guò)“砍腿法”激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣锄弱，從解決問(wèn)題中體驗(yàn)到成功的樂(lè)趣考蕾，學(xué)習(xí)利用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值会宪。（④情感態(tài)度）
教學(xué)重點(diǎn)：
1.經(jīng)歷用“砍腿法”求解“雞兔同籠”問(wèn)題肖卧。
2.體會(huì)“砍腿法”的實(shí)質(zhì)是假設(shè)法，感受假設(shè)法其中蘊(yùn)含的思維歷程掸鹅。
3.激發(fā)思維過(guò)程中的情感代入塞帐，體驗(yàn)思維成功帶來(lái)的樂(lè)趣拦赠，建立思維成功后的自我認(rèn)同，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的持續(xù)動(dòng)力葵姥。
教學(xué)難點(diǎn)：
探究“雞兔同籠”問(wèn)題數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)荷鼠，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維，促進(jìn)推理能力的發(fā)展與遷移能力的提升榔幸，嘗試建立“雞兔同籠”問(wèn)題模型允乐。
教學(xué)過(guò)程：
一、激趣導(dǎo)入削咆，開(kāi)啟探究之門
師：上一節(jié)課我們已經(jīng)利用列表法解決“雞兔同籠”問(wèn)題牍疏。列表法有逐一列表法，跳躍列表法和取中列表法拨齐。（對(duì)上節(jié)課內(nèi)容簡(jiǎn)單交代）
師：今天我們嘗試用另一種新的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題鳞陨，同學(xué)們說(shuō)好不好？
生：好瞻惋！
師：今天我們要學(xué)習(xí)的方法很有趣——那就是“砍腿法”炊邦。（出示字幕：砍腿法）
生：砍腿法。（學(xué)生自然隨聲附和熟史，很是好奇）【注：激發(fā)學(xué)生興趣與好奇心、求知欲（情感態(tài)度：隱性窄俏、次要目標(biāo)）】
師：砍腿法——顧名思義那就是砍腿嘍ｕ迤ァ（教師加入肢體語(yǔ)言與表情語(yǔ)言，可適當(dāng)夸張凹蜈，旨在調(diào)動(dòng)學(xué)生注意力）那么限寞，到底是砍誰(shuí)的腿呢？同學(xué)們想不想一探究竟仰坦？
生：想Ｂ闹病（學(xué)生異口同聲，好奇心極強(qiáng)）
師：那我們就一起來(lái)“砍腿”吧悄晃！Let’s?go玫霎！
二、探求新知妈橄，漫步推理之旅
（一）經(jīng)歷“砍腿法”
師：我們?nèi)匀灰陨瞎?jié)課的“雞兔同籠”問(wèn)題為例庶近。（出示例題）
《孫子算經(jīng)》中“雞免同籠”問(wèn)題的原題是“今有雞免同籠，上有三十五頭眷蚓，下有九十四足鼻种，問(wèn)雞兔各幾何?”你知道這道題的意思嗎?
（雞和兔一共有35只，腿有94條沙热，求雞和免各有多少只?)
師：下面我們嘗試用一種新的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題——“砍腿法”叉钥。這是個(gè)很有趣的方法罢缸。“砍腿法”——顧名思義就是——
（有意讓學(xué)生參與互動(dòng)投队，通過(guò)語(yǔ)氣枫疆、手勢(shì)、表情引導(dǎo)學(xué)生一起回答蛾洛，增強(qiáng)學(xué)生代入感）
生：把它們的腿砍掉养铸。（預(yù)計(jì)有部分學(xué)生答出，也可視情況酌情引導(dǎo)）
師：首先轧膘，無(wú)論是雞還是兔钞螟，我們都把它們的腿砍掉一只，結(jié)果會(huì)怎樣呢谎碍？（出示PPT圖片：雞兔示意圖鳞滨。學(xué)生思考，可小組討論蟆淀。）【注：假設(shè)情境的體驗(yàn)拯啦，獨(dú)立思考、合作交流習(xí)慣的培養(yǎng)（④情感態(tài)度：顯性熔任、主要目標(biāo)）】
學(xué)生交流發(fā)言褒链。
生1：剩下59條腿。
生2：雞和兔一共有35只疑苔，各砍去1條腿甫匹，就是砍去了35條腿，94減去35惦费，還剩59條腿兵迅。（引導(dǎo)學(xué)生把話說(shuō)完整，說(shuō)仔細(xì)薪贫。）
生3：每只雞還有1條腿恍箭，每只兔還有3條腿。【注：感受假設(shè)與推理的基本過(guò)程瞧省，清晰表達(dá)自己的想法扯夭，發(fā)展推理能力（②數(shù)學(xué)思考：顯性、主要目標(biāo)）】
師：此時(shí)此刻鞍匾，你會(huì)有什么疑問(wèn)或者說(shuō)想提出什么問(wèn)題勉抓？
預(yù)設(shè)問(wèn)題與應(yīng)對(duì)方式：
生1：我想，這樣的話好像還是不能求出雞兔各有多少只候学？
（此刻情境為：雞和兔一共有35只藕筋，腿有59條，求雞和免各有多少只?注：雞有1條腿，兔有3條腿隐圾。）
生2：我想伍掀，我們可不可以再砍它一次呢？
（很有意思暇藏，值得鼓勵(lì)）
生3：如果再砍一次的話蜜笤，就只剩下24條腿了，因?yàn)?9-35=24盐碱。
（能盡可能說(shuō)清楚一些嗎把兔？鼓勵(lì)學(xué)生說(shuō)清楚）【注：鼓勵(lì)學(xué)生清晰表達(dá)自己的想法，發(fā)展推理能力（②數(shù)學(xué)思考：顯性瓮顽、主要目標(biāo)）】
生3補(bǔ)充：如果再砍一次县好，就砍掉了70條腿。因?yàn)?5乘2等于70暖混。94減去70等于24缕贡。所以還剩下24條腿。
生4：老師拣播，如果我們?cè)倏车谌瘟肋洌瑧?yīng)該砍掉多少條腿呢？（有沒(méi)有人知道贮配？如果知道的話就說(shuō)明已經(jīng)知道兔的只數(shù)了谍倦。事實(shí)上并不知道。）
（老師引導(dǎo)把情境畫(huà)面定格在砍了兩次腿之后泪勒，學(xué)生就此刻此景表達(dá)想法剂跟。）
生5：雞沒(méi)有了腿。每只兔還有兩條腿酣藻。
生6：砍了兩次后，每只雞和兔都被砍掉了2條腿鳍置。這時(shí)雞就沒(méi)有腿了辽剧，只有兔還有腿。并且每只兔有2條腿税产。（表達(dá)清晰怕轿，是思維的進(jìn)一步自檢，也是下一步推理的基礎(chǔ)辟拷。）
（師：這時(shí)撞羽，我們想到……？）（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮想象衫冻，形成思維鏡像）【注：發(fā)展形象思維與抽象思維诀紊，強(qiáng)化數(shù)感，促進(jìn)運(yùn)算能力的發(fā)展（數(shù)學(xué)思考：隱性隅俘、次要目標(biāo)）】
生7：24條腿全部都是兔的邻奠，而且每只兔只有2條腿笤喳。
生8：兔有12只（24÷2=12）。
（師：同學(xué)們很聰明碌宴，反應(yīng)非常敏捷杀狡。）【注：給予肯定，讓學(xué)生體驗(yàn)獲得成功的樂(lè)趣（④數(shù)學(xué)思考：顯性贰镣、主要目標(biāo)）】
師：剛剛我們“砍腿”的過(guò)程是分兩次進(jìn)行的呜象，那么我們可不可以把兩次“砍腿”合并在一起進(jìn)行呢？
生：可以碑隆。
師：那么恭陡，我們可以得到什么？
生自由齊答：兩次“砍腿”合在一起的話干跛，一下就會(huì)知道剩下24條腿子姜。
（94-35×2=94-70=24）
引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：所有的雞和兔砍掉兩只腿之后，剩下來(lái)的全部是兔的腿楼入。所以是24÷2等于12哥捕。兔12只，那么剩下來(lái)的就是雞嘉熊，35-12=23只遥赚。【注：培養(yǎng)數(shù)感與數(shù)據(jù)分析能力，發(fā)展推理能力（隱形阐肤、次要目標(biāo)）】
（二）體驗(yàn)假設(shè)法
師：孩子們凫佛，砍腿其實(shí)是不切合實(shí)際的。在實(shí)際生活中孕惜，我們不可能這樣去解決問(wèn)題愧薛。但是因?yàn)檫@種方法的便利，我們確實(shí)可以這樣思考的衫画。在思維方式上毫炉，這其實(shí)是一種假設(shè)的方法。我們就是通過(guò)假設(shè)的思維來(lái)進(jìn)行思考這個(gè)問(wèn)題的削罩。
師：首先我們假設(shè)無(wú)論是雞或者是兔都砍去兩條腿瞄勾。那么，這樣一來(lái)我們就砍去了多少條腿呢弥激？
生：35×2=70（條）（出示算式）
師：現(xiàn)在還剩下多少條腿呢进陡？
生：94-70=24（條）（出示算式）
師：接下來(lái)我們就能夠輕而易舉地求助兔的只數(shù)了。兔的只數(shù)該怎樣列式計(jì)算呢微服？
生：24÷2=12（只）（出示算式）
【注：探究用假設(shè)法解決問(wèn)題趾疚，經(jīng)歷思維過(guò)程（①知識(shí)技能：顯性、主要目標(biāo)）】
師：剛剛我們是假設(shè)每只雞和兔都砍去兩條腿。我們是不是也可以假設(shè)每只兔和雞一樣只長(zhǎng)有兩條腿盗蟆，這樣一來(lái)會(huì)怎樣呢戈二？
生甲：這樣一來(lái)35只兔和雞，一共只有70條腿喳资。而實(shí)際上有94條腿觉吭，這樣一來(lái)我們就多余出來(lái)了24條腿。
生乙：每只兔實(shí)際上是4條腿仆邓，而我們假設(shè)的是每只兔與雞一樣只有2條腿鲜滩。所以24條腿是兔身上多出來(lái)的。
生丙：我們知道每只兔可以多出2條腿节值。一共多出24條腿徙硅，因此可以計(jì)算出一共有12只兔。【注：敘述思維過(guò)程搞疗，有助于獨(dú)立思考嗓蘑，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想與思維方式（②數(shù)學(xué)思考：顯性、主要目標(biāo)）】
師：同學(xué)們匿乃，剛剛我們是假設(shè)每只兔和雞都只有兩條腿桩皿。那么，我們是不是可以換一個(gè)思考方向進(jìn)行假設(shè)呢幢炸？
（給學(xué)生思考的空間泄隔，體驗(yàn)假設(shè)方向的多樣性）
預(yù)設(shè)課堂情境，并予以應(yīng)對(duì)方案宛徊。
師：我們不假設(shè)兔和雞一樣只有兩條腿佛嬉，而……
生1：我們是不是可以假設(shè)每只雞和兔一樣都長(zhǎng)有四條腿呢？
生2：我覺(jué)得我們也可以假設(shè)無(wú)論是雞還是兔都有四條腿闸天。
師：好暖呕！同學(xué)們說(shuō)得很好，說(shuō)明我們懂得了變通苞氮。下面我們就可以嘗試假設(shè)雞和兔一樣也長(zhǎng)有四條腿湾揽，接下來(lái)我們應(yīng)該怎樣思考呢？又該怎樣列式計(jì)算呢?
生3：35×4=140（條）葱淳。實(shí)際上只有94條腿，這樣一來(lái)就多出來(lái)了46條腿抛姑。140-94=46（條）赞厕。顯然，46條題就是因?yàn)榘央u當(dāng)成兔也長(zhǎng)有四條腿而多出來(lái)的定硝。（適時(shí)出示算式）
生4：我們知道每把一只雞當(dāng)成兔的話會(huì)多出2條腿皿桑。46條腿就說(shuō)明把23只雞當(dāng)成兔了。所以，46÷2=23（只）诲侮，35-23=12（只）镀虐，雞有23只，兔有12只沟绪。【注：培養(yǎng)數(shù)感與數(shù)據(jù)分析能力（隱性刮便、次要目標(biāo)）】【注：探究假設(shè)法不同的思維過(guò)程（①知識(shí)技能：顯性、主要目標(biāo)）】【注：感受假設(shè)與推理的基本過(guò)程绽慈，培養(yǎng)推理能力（②數(shù)學(xué)思考：顯性恨旱、主要目標(biāo)）】
（三）嘗試遷移法
出示例題：淘氣今天上課在解決雞兔同籠問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)很積極，得到了老師的表?yè)P(yáng)坝疼。媽媽允許他從存錢罐取出一些錢買些好吃的犒勞自己搜贤。淘氣從存錢罐里一連倒出5角與1元硬幣共15枚，淘氣數(shù)了數(shù)剛好可以買標(biāo)價(jià)11元的薯片钝凶。你知道淘氣倒出的5角與1元硬幣各有幾枚嗎?
（學(xué)生先獨(dú)立思考仪芒，然后分組討論，討論中途出示提示耕陷。）
師：同學(xué)們可以比對(duì)剛剛研究的“雞兔同籠”問(wèn)題思考：
1.在這個(gè)問(wèn)題中掂名，“雞”好比什么硬幣？有幾條“腿”好比什么啃炸？
2.“兔”好比什么硬幣铆隘？有幾“腿”又好比什么？
3.一共有多少“頭”好比什么南用？一共有多少“腿”好比什么膀钠？
（這些問(wèn)題有些難度，讓學(xué)生經(jīng)歷思考的過(guò)程裹虫，最后在不斷錯(cuò)誤中感知正確的理解）
請(qǐng)小組代表發(fā)言肿嘲。
甲組：“雞”好比5角硬幣，有幾條“腿”好比一枚幣是5角筑公。
乙組：“兔”好比1元硬幣雳窟，有幾條“腿”好比一枚幣是1元，也就是10角匣屡。
丙組：一共有多少“頭”好比15枚硬幣封救，一共有多少“腿”好比是11元，也就是110角捣作。【注：經(jīng)歷知識(shí)遷移的過(guò)程誉结，促進(jìn)抽象思維的發(fā)展（②數(shù)學(xué)思考：顯性、主要目標(biāo)）】
三券躁、鞏固應(yīng)用惩坑，感知模型思想
例：一天摩梧，長(zhǎng)頸鹿與小狗到一家搬家公司游玩挽放。搬家公司院子里停滿了三輪車和四輪貨車丑瞧。長(zhǎng)頸鹿對(duì)小狗說(shuō)：“這家公司真大呀擎颖！這么多車。1蔓钟，2永票，3……10。一共有10輛奋刽⊥呶辏”小狗蹦蹦跳跳地對(duì)長(zhǎng)頸鹿說(shuō)：“確實(shí)有很多車，我剛數(shù)了有34個(gè)輪子佣谐。不過(guò)我不知道三輪車和四輪車分別有幾輛肚吏？”你能幫助小狗解決這個(gè)問(wèn)題嗎？
同學(xué)們先分組討論狭魂，然后自行解決問(wèn)題罚攀。討論時(shí)思考：（出示思考提示）
1.在這個(gè)問(wèn)題情境中，“雞”是誰(shuí)雌澄？有幾條“腿”斋泄？“兔”是誰(shuí)？有幾條“腿”镐牺？2.“頭”一共有幾個(gè)炫掐？“腿”一共有幾條？
（從不同情境中睬涧，運(yùn)用類比募胃、遷移抽取出相同數(shù)學(xué)本質(zhì)，獲取建立模型的經(jīng)驗(yàn)）【注：獲得假設(shè)過(guò)程的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)畦浓，會(huì)從生活情境中提出類似問(wèn)題并加以解決痹束，嘗試建立“雞兔同籠”問(wèn)題模型。（③問(wèn)題解決：顯性讶请、主要目標(biāo)）】
四祷嘶、課堂小結(jié)，觸碰數(shù)學(xué)價(jià)值
本節(jié)課我們學(xué)到了什么夺溢？
1.為了解決問(wèn)題论巍，我們可以信馬由韁，在思維上不受拘束风响，在推理上要步步有據(jù)嘉汰。（“砍腿法”的應(yīng)用及過(guò)程推理）
2.學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察問(wèn)題，從不同問(wèn)題情境中抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)钞诡，建立數(shù)學(xué)問(wèn)題模型郑现。（“雞兔同籠”問(wèn)題建模）
五、布置作業(yè)荧降，踐行數(shù)學(xué)育人
1.一天接箫，小明捉來(lái)蜘蛛和七星瓢蟲(chóng)做觀察研究。一共有9只朵诫，66條腿辛友。你知道蜘蛛和七星瓢蟲(chóng)分別有多少只嗎？（提醒：1.可以搜索資料查詢蜘蛛和七星瓢蟲(chóng)的腿數(shù)剪返。2.先用“砍腿法”法思考問(wèn)題废累，再用假設(shè)法列式運(yùn)算。）
附：假設(shè)蜘蛛與七星瓢蟲(chóng)一樣只有6條腿脱盲，
腿數(shù)一共應(yīng)該是：6×9=54(條）
實(shí)際上還有腿剩余：66-54=12（條）
每只蜘蛛剩余2條腿邑滨，蜘蛛有：12÷（8-6）=6（只）
七星瓢蟲(chóng)有：9-6=3（只）
2.觀察生活周圍的事物，自編一道需要用假設(shè)法解決的具有“雞兔同籠”模型的問(wèn)題钱反。
【注：會(huì)從生活情境中提出類似問(wèn)題并加以解決掖看，嘗試建立“雞兔同籠”問(wèn)題模型。（③問(wèn)題解決：顯性面哥、主要目標(biāo)）】
附：板書(shū)設(shè)計(jì)：
?
雞和兔一共有35只哎壳，腿有94條，求雞和免各有多少只?
方法一：
35×2=70（條）
94-70=24（條）
24÷2=12（只）
35-12=23（只）
【94-（35×2）】÷2
=（94-70）÷2
=24÷2
=12（只）
35-12=23（只）
方法二：
35×4=140（條）
140-94=46（條）
46÷2=23（只）
35-23=12（只）
（35×4-94）÷2
=（140-94）÷2
=46÷2
=23（只）
35-23=12（只）
