二叉樹（Binary Tree）類型特點

在上一篇《樹（Tree）的基本概念》 中我們了解了樹中常用的一些概念名詞踢星。這一篇呢注重說一下二叉樹的特點和一些概念灭翔。

二叉樹的類型

附圖1

binary_tree.jpg

真二叉樹

真二叉樹的每個節(jié)點的度要么是0蝠检，要么是2 。

以 「附圖1」 為例：圖中第一行的：空樹涎显、只有一個節(jié)點的樹坤检、最右側的二叉樹；第三行的二叉樹都是真二叉樹

滿二叉樹

滿二叉樹的每個節(jié)點的度要么是0期吓，要么是2 早歇，并且所有的葉子節(jié)點都在最后一層。

以 「附圖1」 為例：圖中 第三行的二叉樹即是真二叉樹 讨勤，又是滿二叉樹

完全二叉樹

所有的葉子節(jié)點都在最后兩層箭跳，并且葉子節(jié)點都靠左對齊。（如下：「附圖A」）

附圖A

tree_four.jpg

二叉樹的特點

  • 每個節(jié)點的度只有三中情況：0潭千、1衅码、2
  • 每個節(jié)點的度最大為2（即最多有2顆子樹）
  • 每個節(jié)點的左子樹和右子樹是有順序的
  • 即使某一個節(jié)點只有一棵樹，也要區(qū)分左子樹和右子樹的
  • 二叉樹是有序樹
  • 同樣高度的二叉樹中滿二叉樹的總節(jié)點數(shù)量是最多的脊岳，葉子節(jié)點數(shù)量是最多的
  • 滿二叉樹一定是真二叉樹 ，真二叉樹不一定是滿二叉樹
  • 完全二叉樹從根節(jié)點到倒數(shù)第二層是一顆滿二叉樹
  • 滿二叉樹一定是完全二叉樹 ，完全二叉樹不一定是滿二叉樹

附圖2

tree_two.jpg
非空二叉樹的第n層(n ≥ 1)割捅，最多有\color{red}{2^n}\color{red}{^-}\color{red}{^1} 個節(jié)點

以 「附圖2」 中右側的 滿二叉樹為例, 推導非空二叉樹的第n層最多有多少個節(jié)點：
規(guī)律為：
第一層（ n = 1 ）：\color{red}{2^1}\color{red}{^-}\color{red}{^1} = 1 個節(jié)點 奶躯；
第二層（ n = 2 ）：\color{red}{2^2}\color{red}{^-}\color{red}{^1} = 2 個節(jié)點 ；
第三層（ n = 3 ）：\color{red}{2^3}\color{red}{^-}\color{red}{^1} = 4 個節(jié)點 亿驾；
第四層（ n = 4 ）：\color{red}{2^4}\color{red}{^-}\color{red}{^1} = 8 個節(jié)點 嘹黔；
…………

高度為h的非空二叉樹，最多有\color{red}{2^h}\color{red}{-}\color{red}{1} 個節(jié)點(h ≥ 1)

推導： 當 h= 4, 即非空二叉樹有4層莫瞬，這時的二叉樹就是 「附圖2」 中右側的 滿二叉樹儡蔓；
這時二叉樹的總節(jié)點數(shù)為：
第一層1個 + 第二層2個 + 第三層4個 + 第四層8個 = 15個；
即：1+ 2 + 4 + 8 = \color{red}{2^0} + \color{red}{2^1} + \color{red}{2^2}+ \color{red}{2^3} = \color{red}{2^4}\color{red}{-}\color{red}{1} = 15

附圖3

tree_three.jpg
對于任何一個非空二叉樹疼邀，如果葉子節(jié)點數(shù)量為\color{red}{N_0} , 度為 2 的節(jié)點數(shù)量為 \color{red}{N_2} ，則有：\color{red}{N_0} = \color{red}{N_2} + \color{red}{1}
假設度為1 的節(jié)點數(shù)量為\color{red}{N_1} ，二叉樹的節(jié)點總數(shù)為：\color{red}{N} = \color{red}{N_0} + \color{red}{N_1} + \color{red}{N_2}
二叉樹的邊數(shù) T = （度為1 的節(jié)點數(shù)量 \color{red}{N_1}+ 度為 2 的節(jié)點數(shù)量\color{red}{N_2}的 2 倍） = （二叉樹的節(jié)點總數(shù)\color{red}{N} - 1） = （葉子節(jié)點數(shù)量\color{red}{N_0} + 度為1 的節(jié)點數(shù)量 \color{red}{N_1} +度為2的節(jié)點數(shù)量 \color{red}{N_2}）即：T = （ \color{red}{N_1} + \color{red}{N_2} * 2 ） = （ \color{red}{N} - 1） = （ \color{red}{N_0} + \color{red}{N_1} + \color{red}{N_2}）

以「附圖3」 中的二叉樹為例推導：
A二叉樹：度為1的節(jié)點數(shù)量\color{red}{N_1}= 0携悯， 度為2的節(jié)點數(shù)量\color{red}{N_2}= 0雳灾，葉子節(jié)點數(shù)量\color{red}{N_0} = 1 = 0 + 1 ；二叉樹的節(jié)點總數(shù)為 1 = 1 + 0 + 0
B二叉樹：度為1的節(jié)點數(shù)量\color{red}{N_1}= 0拐袜，度為2的節(jié)點數(shù)量\color{red}{N_2}= 1吉嚣，葉子節(jié)點數(shù)量\color{red}{N_0} = 2 = 1 + 1 ；二叉樹的節(jié)點總數(shù)為 3 = 2 + 0 + 1
C二叉樹：度為1的節(jié)點數(shù)量\color{red}{N_1}= 0蹬铺，度為2的節(jié)點數(shù)量\color{red}{N_2}= 3 尝哆，葉子節(jié)點數(shù)量\color{red}{N_0} = 4 = 3 + 1 ；二叉樹的節(jié)點總數(shù)為 7 = 4 + 0 + 3
D二叉樹：度為1的節(jié)點數(shù)量\color{red}{N_1}= 2甜攀，度為2的節(jié)點數(shù)量\color{red}{N_2}= 5 秋泄，葉子節(jié)點數(shù)量\color{red}{N_0} = 6 = 7 + 1；二叉樹的節(jié)點總數(shù)為 13 = 6 + 2 + 5
E二叉樹：度為1的節(jié)點數(shù)量\color{red}{N_1}= 0赴邻，度為2的節(jié)點數(shù)量\color{red}{N_2}= 7 印衔，葉子節(jié)點數(shù)量\color{red}{N_0} = 8 = 7 + 1 ；二叉樹的節(jié)點總數(shù)為 15 = 8 + 0 + 7
……

假設一個滿二叉樹的高度為h (h ≥1 ) , 那么第n層的節(jié)點數(shù)量為\color{red}{2^n}\color{red}{^-}\color{red}{^1} 姥敛； 葉子節(jié)點數(shù)量為 \color{red}{2^h}\color{red}{^-}\color{red}{^1} 奸焙；總節(jié)點數(shù)量為 n = \color{red}{2^h}\color{red}{-}\color{red}{1} = \color{red}{2^0} + \color{red}{2^1} + \color{red}{2^2} + ..... + \color{red}{2^h}\color{red}{^-}\color{red}{^1} ;高度 h = \color{red}\log_\color{red}{2}\color{red}{(n+1)}
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