1令野、卡方檢驗(yàn)：

卡方檢驗(yàn)是用途非常廣的以卡方分布（深入淺出統(tǒng)計(jì)學(xué)有講）為基礎(chǔ)的一種假設(shè)檢驗(yàn)方法，它屬于非參數(shù)檢驗(yàn)的范疇徽级，主要是比較兩個(gè)及兩個(gè)以上樣本率( 構(gòu)成比）以及兩個(gè)分類變量的關(guān)聯(lián)性分析气破。

以運(yùn)營為例:

卡方檢驗(yàn)可以檢驗(yàn)?zāi)行曰蛘吲詫€上買生鮮食品有沒有區(qū)別；
不同城市級別的消費(fèi)者對買SUV車有沒有什么區(qū)別餐抢；

舉例：兩組大白鼠在不同致癌劑作用下的發(fā)癌率如下表现使，問兩組發(fā)癌率有無差別？

處理	發(fā)癌數(shù)	未發(fā)癌數(shù)	合計(jì)	發(fā)癌率%
甲組	52	19	71	73.24
乙組	39	3	42	92.86
合計(jì)	91	22	113	80.33

（52 19 39 3）這四個(gè)數(shù)據(jù)是整個(gè)表中的基本資料旷痕，其余數(shù)據(jù)均由此推算出來碳锈；這四格資料表就專稱四格表（fourfold table），或稱2行2列表（2×2 contingency table）欺抗。從該資料算出的兩組發(fā)癌率分別為73.24%和92.86%售碳，兩者的差別可能是抽樣誤差所致，亦可能是兩組發(fā)癌率（總體率）確有所不同绞呈。這里可通過卡方檢驗(yàn)來區(qū)別其差異有無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義贸人，檢驗(yàn)的基本公式為：
$x^{2}=\sum \frac{(A-T)^{2}}{T}$

式中A為實(shí)際數(shù)，以上四格表的四個(gè)數(shù)據(jù)就是實(shí)際數(shù)佃声。T為理論數(shù)艺智，是根據(jù)檢驗(yàn)假設(shè)推斷出來的；即假設(shè)這兩組的發(fā)癌率本無不同圾亏，差別僅是由抽樣誤差所致十拣。這里可將兩組合計(jì)發(fā)癌率作為理論上的發(fā)癌率，即 91/113=80.3%志鹃，以此為依據(jù)便可推算出四格表中相應(yīng)的四格的理論數(shù)父晶。以上表資料為例檢驗(yàn)如下。

檢驗(yàn)步驟：
1. 建立檢驗(yàn)假設(shè)
H0：兩組發(fā)癌率有差別
H1：兩組發(fā)癌率無差別
α=0.05

2. 計(jì)算理論數(shù)（TRC）弄跌，計(jì)算公式為： TRC=nR x nC/n
式中TRC是表示第R行C列格子的理論數(shù)甲喝，nR為理論數(shù)同行的合計(jì)數(shù)，nC為與理論數(shù)同列的合計(jì)數(shù)铛只，n為總例數(shù)埠胖。
第1行1列： 71×91/113=57.18
第1行2列： 71×22/113=13.82
第2行1列： 42×91/113=33.82
第2行2列： 42×22/113=8.18
以推算結(jié)果糠溜，可與原四項(xiàng)實(shí)際數(shù)并列成下表：

處理	發(fā)癌數(shù)	未發(fā)癌數(shù)	合計(jì)
甲組	52 ( 57.18 )	19 ( 13.82 )	71
乙組	39 ( 33.82 )	3 ( 8.18 )	42
合計(jì)	91	22	113

因?yàn)樯媳砻啃泻兔苛泻嫌?jì)數(shù)都是固定的，所以只要用TRC式求得其中一項(xiàng)理論數(shù)（例如T1.1=57.18）直撤，則其余三項(xiàng)理論數(shù)都可用同行或同列合計(jì)數(shù)相減非竿，直接求出。

3. 計(jì)算卡方值按公式代入
卡方 $=x^{2}=\sum \frac{(A-T)^{2}}{T}=\frac{(52-57.18)^{2}}{57.18}+\frac{(19-13.82)^{2}}{13.82}+\frac{(39-33.82)^{2}}{33.82}+\frac{(3-8.18)^{2}}{8.18}$

4. 查卡方值表求P值
在查表之前應(yīng)知本題自由度谋竖。按卡方檢驗(yàn)的自由度v=（行數(shù)-1）（列數(shù)-1）红柱，則該題的自由度v=（2-1）*（2-1）=1，查卡方界值表蓖乘，找到 $x_{0.05}^{2}(1)=3.84$ 锤悄，而本題卡方=6.48即卡方＞ $x_{0.05}^{2}(1)$ ，P＜0.05嘉抒，差異有顯著統(tǒng)計(jì)學(xué)意義零聚，按α=0.05水準(zhǔn)，拒絕H0些侍，可以認(rèn)為兩組發(fā)癌率有差別隶症。

通過實(shí)例計(jì)算，讀者對卡方的基本公式有如下理解：若各理論數(shù)與相應(yīng)實(shí)際數(shù)相差越小岗宣，卡方值越新旎帷；如兩者相同耗式，則卡方值必為零胁住，而卡方永遠(yuǎn)為正值。又因?yàn)槊恳粚碚摂?shù)和實(shí)際數(shù)都加入卡方值中纽什，分組越多，即格子數(shù)越多躲叼，卡方值也會越大芦缰，因而每考慮卡方值大小的意義時(shí)同時(shí)要考慮到格子數(shù)。因此自由度大時(shí)枫慷，卡方的界值也相應(yīng)增大让蕾。

2、t 檢驗(yàn)：

T檢驗(yàn)是用于兩個(gè)樣本（或樣本與群體）平均值差異程度的檢驗(yàn)方法或听。它是用T分布理論來推斷差異發(fā)生的概率探孝，從而判定兩個(gè)平均數(shù)的差異是否顯著。

T檢驗(yàn)的適用條件：

計(jì)量資料
小樣本（不是必須）
獨(dú)立性誉裆、正態(tài)性或近似正態(tài)顿颅、方差齊性（兩小樣本所對應(yīng)的兩總體方差相等,一般用F檢驗(yàn)）
當(dāng)樣本例數(shù)較小時(shí)，要求樣本取自正態(tài)總體足丢；（當(dāng)樣本數(shù)少于30時(shí)粱腻，需要檢驗(yàn)滿足正態(tài)分布庇配，若數(shù)量較多，根據(jù)中心極限定律绍些，樣本會趨向正態(tài)分布）

為什么小樣本用t檢驗(yàn)捞慌？從抽樣研究所得的樣本均數(shù)特點(diǎn)來看，只要樣本量>60柬批，（無論總體是否服從正態(tài)分布）抽樣研究的樣本均數(shù)服從或者近似服從正態(tài)分布啸澡；而如果樣本量較小（參考樣本量<100）,抽樣分布隨著樣本量的減小氮帐，與正態(tài)分布的差別越來越大嗅虏。此時(shí)需要用小樣本理論來解釋樣本均數(shù)的分布——而t分布就是小樣本理論的代表。因此揪漩，小樣本的檢驗(yàn)需要用到t檢驗(yàn)旋恼。

T檢驗(yàn)的用途：
（1）樣本均數(shù)與群體均數(shù)的比較看差異是否顯著；
（2）兩樣本均數(shù)的比較看差異是否顯著奄容。

t 檢驗(yàn)冰更，有三種常用場景：

單一樣本t檢驗(yàn)

配對樣本t檢驗(yàn)

兩樣本t檢驗(yàn)

2.1：單一樣本t檢驗(yàn)：比較樣本的情況和總體的情況有無差異

例如，現(xiàn)在已知廣州市的平均身高昂勒，現(xiàn)在我在天河區(qū)隨機(jī)抽取100個(gè)人蜀细，看看天河的100個(gè)人和廣州的平均身高有無差異。

其應(yīng)用條件需要滿足：計(jì)量資料戈盈、小樣本奠衔、正態(tài)分布

兩小樣本比較時(shí)還要求方差齊性，但因單樣本t檢驗(yàn)中不存在兩個(gè)小樣本塘娶，故無法檢驗(yàn)方差齊性归斤。

#scipy.stats.ttest_1samp()檢驗(yàn)數(shù)據(jù)總體的平均數(shù)是否可能等于給定值
# (嚴(yán)格來說是否觀察值來自于給定總體平均數(shù)的正態(tài)分布)
#它返回一個(gè)T統(tǒng)計(jì)值以及p值
import scipy.stats
t, pval = scipy.stats.ttest_1samp(iris['petal_legth'], popmean=4.0)
print(t, pval)

# P=0.0959 > 5%, 接受原假設(shè)，即花瓣長度為4.0刁岸。

2.2：配對樣本t檢驗(yàn)：比較樣本某個(gè)狀況前后的對比有無差異

例如脏里，現(xiàn)在有10個(gè)糖尿病的病人，給他們都用同種控制糖尿病的藥物虹曙，看看這組病人在用藥前和用藥后有無差異

注：每個(gè)病人用藥前后各自配對成一對迫横，所以叫配對樣本

其應(yīng)用條件需要滿足：計(jì)量資料、配對設(shè)計(jì)酝碳、小樣本矾踱、正態(tài)分布

from  scipy.stats import ttest_rel
import pandas as pd

x = [20.5, 18.8, 19.8, 20.9, 21.5, 19.5, 21.0, 21.2]
y = [17.7, 20.3, 20.0, 18.8, 19.0, 20.1, 20.0, 19.1]
# 配對樣本t檢驗(yàn)
print(ttest_rel(x, y))

# Ttest_relResult(statistic=1.8001958337730648, pvalue=0.1148515300576627)
# 結(jié)論: 因?yàn)閜值=0.1149>0.05, 故接受原假設(shè), 認(rèn)為在70℃時(shí)的平均斷裂強(qiáng)力與80℃時(shí)的平均斷裂強(qiáng)力間無顯著差別

2.3：兩樣本t檢驗(yàn)：比較兩組樣本有無差異

例如，現(xiàn)在有10男一組疏哗，10女一組呛讲，看看這不同性別的身高有無差異

其應(yīng)用條件需要滿足：計(jì)量資料、小樣本、正態(tài)性之外圣蝎，還需要方差齊性

如果方差齊刃宵，可進(jìn)行兩樣本t檢驗(yàn)，如果方差不齊徘公，則需要其他的檢驗(yàn)方法藏研。

#取兩個(gè)樣本
iris_1 = iris[iris.petal_legth >= 2]
iris_2 = iris[iris.petal_legth < 2]
print(np.mean(iris_1['petal_legth']))
print(np.mean(iris_2['petal_legth']))

'''
H0: 兩種鳶尾花花瓣長度一樣
H1: 兩種鳶尾花花瓣長度不一樣

'''

import scipy.stats
t, pval = scipy.stats.ttest_ind(iris_1['petal_legth'],iris_2['petal_legth'])
print(t,pval)

'''
p<0.05,拒絕H0唆涝，認(rèn)為兩種鳶尾花花瓣長度不一樣
'''

t 檢驗(yàn)的步驟

t 檢驗(yàn)的步驟也是三板斧：a.建立假設(shè)；b.驗(yàn)證檢驗(yàn)；c.接受/拒絕假設(shè)

轉(zhuǎn)載：
https://blog.csdn.net/qq_39306047/article/details/91397814
https://www.zhihu.com/topic/19622729/hot

3哟旗、F檢驗(yàn)

F檢驗(yàn)又叫方差齊性檢驗(yàn)糊渊。在兩樣本t 檢驗(yàn)中要用到F檢驗(yàn)爷耀。

F檢驗(yàn)法是英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家Fisher提出的申屹，主要通過比較兩組數(shù)據(jù)的方差，以確定他們的精密度是否有顯著性差異缩抡。至于兩組數(shù)據(jù)之間是否存在系統(tǒng)誤差奠宜，則在進(jìn)行F檢驗(yàn)并確定它們的精密度沒有顯著性差異之后，再進(jìn)行t檢驗(yàn)瞻想。

# F test的原理非常簡單压真，所以不妨自己寫
#先求出兩個(gè)樣本的方差的比值，再寫出兩個(gè)樣本的自由度
#然后就去查F分布的概率累計(jì)函數(shù)蘑险，就可以得到p value了
from scipy.stats import f
F = np.var(a) / np.var(b)
df1 = len(a) - 1
df2 = len(b) - 1
p_value = 1 - 2 * abs(0.5 - f.cdf(F, df1, df2))

4滴肿、方差分析

方差分析就相當(dāng)于是能夠分析三組及以上數(shù)據(jù)的兩樣本t檢驗(yàn)升級版，判斷三組或者更多組數(shù)據(jù)是否存在不同佃迄。

方差分析有三個(gè)使用條件：

1.每組樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的總體應(yīng)該服從正態(tài)分布泼差；
2.每組樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的總體方差要相等，方差相等又叫方差齊性呵俏；
3.每組之間的值是相互獨(dú)立的堆缘，就是A、B普碎、C組的值不會相互影響吼肥。

3.1 方差分析流程

3.1.1 建立假設(shè)

H0：各組數(shù)據(jù)均值相等；
H1：各組數(shù)據(jù)均值不相等或不全等随常。
檢驗(yàn)水準(zhǔn)為0.05潜沦。

3.1.2 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值

F值 = 組間方差/組內(nèi)方差萄涯。我們主要是通過比較F值的大小來判斷各組之間是否存在顯著差異绪氛。

所謂的組間方差就是用來反映組與組之間的差異程度，組內(nèi)方差就是用來反映各組內(nèi)部數(shù)據(jù)的差異程度涝影。

要來計(jì)算方差枣察，我們需要先計(jì)算平方和。為了讓大家能夠更加理解，我們來舉個(gè)例子來講解各個(gè)指標(biāo)怎么計(jì)算序目。

現(xiàn)在有兩組數(shù)據(jù)：
第一組：80臂痕、85、96
第二組：110猿涨、125握童、130、145叛赚、160

第一組和第二組的總算術(shù)平均值為：
(80+85+96+110+125+130+145+160)/8 = 116.375澡绩。

第一組的算術(shù)平均值：(80+85+96)/3 = 87

第二組的算術(shù)平均值：(110+125+130+145+160)/5 = 134

組間平方和(SSA)：
= 第一組平均值與總體平均值的平方和×第一組樣本數(shù)+第二組平均值與總體平均值的平方和×第二組樣本數(shù)
= (87-116.375)^2×3 + (134-116.375)^2×5 = 4141.875

組內(nèi)平方和(SSE)：
= 第一組平方和 + 第二組平方和
=(80-87)^2 +(85-87)^2 +(96-87)^2
+(110-134)^2 +(125-134)^2 +(130-134)^2 +(145-134)^2 +(160-134)^2
=134+1470=1604

總體平方和(SST)：
=所有樣本數(shù)據(jù)與總體平均值之間的平方和
=(80-116.375)^2 +(85-116.375)^2 +(96-116.375)^2
+(110-116.375)^2 +(125-116.375)^2 +(130-116.375)^2 +(145-116.375)^2 +(160-116.375)^2
=5745.875

通過以上數(shù)據(jù)，我們可以看出 SST = SSA + SSE

總平方和會有一個(gè)問題俺附，就是隨著數(shù)據(jù)量越大肥卡，這個(gè)值會越大，所以我們引入另外一個(gè)概念：均方事镣。均方=平方和/自由度步鉴，其中自由度是樣本數(shù)-1。

組間均方(MSA)= SSA/自由度 = 4141.875/(2-1) = 4141.875
組內(nèi)均方(MSE)= SSE/自由度 = 1604/(8-2) = 267.333

MSA又稱為組間方差璃哟，MSE稱為組內(nèi)方差氛琢。

F = MSA/MSE = 4141.875/267.333 = 15.4933

3.1.3 確定邊界值并做出決策

此時(shí)我們就可以通過查F表，來獲得置信度為95%時(shí)的F邊界值：

如果F<F邊界值表面各組數(shù)據(jù)之間沒有顯著差異沮稚，接受H0假設(shè)艺沼；
如果F≥F邊界值表面各組數(shù)據(jù)之間存在明顯差異，拒絕H0假設(shè)蕴掏，接受H1假設(shè)障般。

如果我們證實(shí)了各組數(shù)據(jù)之間是存在明顯差異的，這個(gè)時(shí)候就可以去拿各組的均值來進(jìn)行比較盛杰，均值越大挽荡，可以說明策略效果越好。

點(diǎn)擊查看：F值表

轉(zhuǎn)載：https://blog.csdn.net/junhongzhang/article/details/99143064

Z檢驗(yàn)

檢驗(yàn)一個(gè)樣本平均數(shù)與一個(gè)己知的總體平均數(shù)的差異是否顯著
檢驗(yàn)來自兩個(gè)的兩組樣本平均數(shù)的差異性即供，從而判斷它們各自代表的總體的差異是否顯著

使用條件：

正態(tài)分布

總體標(biāo)準(zhǔn)差已知或者樣本容量足夠大(>30)

在討論T檢驗(yàn)之前定拟，我們先回顧如何將普通正態(tài)分布轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。這需要用到下面Z分?jǐn)?shù)的計(jì)算公式： $Z_{i}=\frac{X_{i}-\mu}{\sigma}$ 逗嫡，其中： $X_{i}$ 為數(shù)據(jù)總體中的第 $i$ 個(gè)數(shù)據(jù)青自； $\mu$ 為總體均值； $\sigma$ 為總體標(biāo)準(zhǔn)差驱证；

通過上面這個(gè)公式計(jì)算得到的數(shù)值稱為Z分?jǐn)?shù)延窜。對于容量比較大（大于100）的數(shù)據(jù)集，如果其滿足正態(tài)分布抹锄，那么根據(jù)上面公式求出數(shù)據(jù)集中每個(gè)數(shù)值的Z分?jǐn)?shù)逆瑞，由這些Z分?jǐn)?shù)構(gòu)成一個(gè)新的序列荠藤，這個(gè)序列就是Z分布序列。

有了Z分布获高，Z分?jǐn)?shù)的計(jì)算公式不僅可以用作普通正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化哈肖，還被用于判斷均值差異顯著性的Z檢驗(yàn)，也就是下面的情況：

1念秧、 總體標(biāo)準(zhǔn)差已知或樣本容量大于30淤井，比較兩個(gè)樣本的均值是否有顯著性的差異，檢驗(yàn)公式如下：

$Z=\frac{\left(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}\right)-\left(\mu_{2}-\mu_{2}\right)}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}=\frac{\left(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}\right)-0}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}$ （總體標(biāo)準(zhǔn)差已知）

$Z=\frac{\left(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}\right)-\left(\mu_{2}-\mu_{2}\right)}{\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}}}=\frac{\left(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}\right)-0}{\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}}}$ （總體標(biāo)準(zhǔn)差未知摊趾，樣本容量大）

其中： $\bar{X}_{1}$ 庄吼、 $\bar{X}_{2}$ 是兩樣本均值； $\mu_{1}$ 严就、 $\mu_{2}$ 是兩個(gè)樣本的抽樣總體的均值总寻，檢驗(yàn)時(shí)假設(shè)兩個(gè)總體的均值相等，所以差為0梢为； $\sigma_{1}$ 渐行、 $\sigma_{2}$ 是兩個(gè)總體的標(biāo)準(zhǔn)差； $S_{1}$ 铸董、 $S_{2}$ 是兩個(gè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差祟印；