1.4 - 簡書

1.4

Expenditure Minimization Problem

? ? ? ? 支出最小化問題(EMP)：

$\min_{x\in\mathbb R_+^K}px\qquad s.t.\quad u(x)\geq u$

定義：

? ? ? ? Hicksian需求函數(shù) $h:\mathbb R_+^K\times \mathbb R_+\rightarrow\mathbb R_+^K$ 定義為：

$h(p,u)=\arg\min_{x\in\mathbb R_+^K}px\qquad s.t.\quad u(x)\geq u$

定義：

? ? ? ? 最小支出函數(shù)定義為：

$e(p,u)=\min_{x\in\mathbb R_+^K}px\qquad s.t.\quad u(x)\geq u$

定理：

? ? ? ? 假定效用函數(shù) $u$ 代表了連續(xù)、局部非饜足的偏好關(guān)系 $\succeq$ ，則

? ? ① $\forall p\gg0,w>0$ 执俩，有 $x(p,w)=h(p,v(p,w)),e(p,v(p,w))=w$

? ? ② $\forall p\gg0,u\geq u_0$ ，有 $h(p,u)=x(p,e(p,u)),v(p,e(p,u))=u$

定理：

? ? ? ? 支出最小化問題(EMP)和Hicksian需求函數(shù)

? ? ①存在性

? ? ? ? 若 $p\gg0$ 豺型， $u$ 連續(xù)且存在 $x:u(x)\geq x$ 良狈，則支出最小化問題解存在

? ? ②齊次性

? ? ? ? Hicksian需求函數(shù)對價格為0階齊次函數(shù)，即 $\forall \lambda\geq0,h(\lambda p,u)=h(p,u)$

? ? ③無過剩效用

? ? ? ? 若 $p\gg0$ 黍特，則 $u(x)=u,\forall x\in h(p,u)$

? ? ④唯一性

? ? ? ? 若 $u$ 是擬凸的蛙讥，則 $h(p,u)$ 是凸集

? ? ? ? 若 $u$ 是嚴(yán)格擬凸的，則 $h(p,u)$ 是單點(diǎn)集

? ?????? $e(p,u)$ 有如下性質(zhì)：

? ? ①對價格為1階齊次性灭衷，即 $\forall \lambda\geq0,e(\lambda p,u)=\lambda e(p,u)$

? ? ②對財富 $w$ 嚴(yán)格遞增次慢，對商品價格非減

? ? ③對價格有凹性

? ? ④對價格和效用連續(xù)

定理：

? ? ①Shephard引理

? ? ? ? 假定 $e(p,u)$ 連續(xù)可微且 $h(p,u)$ 為單點(diǎn)集，則 $\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_k}=h_k(p,u),\forall k$

? ? ②需求補(bǔ)償法則

? ? ? ? 假定連續(xù)效用函數(shù) $u$ 代表一個局部非饜足的偏好關(guān)系 $\succeq$ 翔曲，且 $h(p,u)$ 為單點(diǎn)集迫像，則

$(p^\prime-p)(h(p^\prime,u)-h(p,u))\leq0,\forall p,p^\prime\geq0$

Hicksian Decomposition and Slutsky Equation

? ? ? ? 由定義，對比Hicksian和Marshallian需求函數(shù)：

$h(p,u)=\arg\max_{x\in\mathbb R_+^K}px\qquad s.t.\quad u(x)\geq u$

$x(p,w)=\arg\max_{x\in\mathbb R_+^K}u(x)\qquad s.t.\quad px\leq w$

定義：

? ? ? ? 當(dāng)價格 $p\rightarrow p^\prime$ 瞳遍，則為保持效用不變的支出補(bǔ)償量 $e(p^\prime,u)-e(p,u)$ 稱為Hicksian財富補(bǔ)償?

定理：

? ? ? ? 若 $h(p,u),x(p,w)$ 均為連續(xù)可微函數(shù)且 $u=v(p,w)$ 闻妓，則：

$\frac{\partial h_j(p,u)}{\partial p_k}=\frac{\partial x_j(p,w)}{\partial p_k}+\frac{\partial x_j(p,w)}{\partial w}x_k(p,w),\forall j,k$

? ? ? ? 有矩陣形式：

$D_ph(p,u)=D_px(p,w)+D_wx(p,w)x(p,w)^T$

Proof：

? ? ? ? 注意到 $h(p,u)=x(p,w)=x(p,e(p,u))$

? ? ? ? 得 $\frac{\partial h_j(p,u)}{\partial p_k}=\frac{\partial x_j(p,w)}{\partial p_k}+\frac{\partial x_j(p,w)}{\partial w}\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_k},\forall j,k$

? ? ? ? 且 $\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_k}=h_k(p,u)=x_k(p,w)$

? ? ? ? 重新組織，得：

$\frac{\partial x_j(p,w)}{\partial p_k}=\frac{\partial h_j(p,u)}{\partial p_k}-\frac{\partial x_j(p,w)}{\partial w}x_k(p,w )$

? ? ①總效應(yīng)(Total Effect, TE)

? ? ②替代效應(yīng)(Substitution Effect, SE)：固定效用不變掠械，只改變價格

? ? ③收入效應(yīng)(Income Effect, IE)：固定價格不變由缆，只改變收入

定義：

? ? ? ? Slutsky矩陣： $D_ph(p,u)=(\frac{\partial h_i(p,u )}{\partial p_j}) _{n\times n}$ 對稱且半負(fù)定

? ? ? ? 其中 $\frac{\partial h_j(p,u)}{\partial p_k}=\frac{\partial x_j(p,w)}{\partial p_k}+\frac{\partial x_j(p,w)}{\partial w}x_k(p,w),\forall j,k$

Proof：

? ? ? ? 注意到 $\frac{\partial h_j(p,u)}{\partial p_k}=\frac{\partial^2e(p,u)}{\partial p_j\partial p_k}=\frac{\partial^2e(p,u)}{\partial p_k\partial p_j}=\frac{\partial h_k(p,u)}{\partial p_j}$