定義
一饺鹃、傅里葉級數(shù)
法國數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級數(shù)來表示（選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因為它們是正交的），后世稱傅里葉級數(shù)為一種特殊的三角級數(shù)葱她，根據(jù)歐拉公式，三角函數(shù)又能化成指數(shù)形式似扔，也稱傅立葉級數(shù)為一種指數(shù)級數(shù)吨些。
二、傅里葉變換
傅立葉變換是一種分析信號的方法虫几，它可分析信號的成分锤灿，也可用這些成分合成信號。許多波形可作為信號的成分辆脸，比如正弦波但校、方波、鋸齒波等啡氢，傅立葉變換用正弦波作為信號的成分状囱。
定義
f(t)是t的周期函數(shù)，如果t滿足狄里赫萊條件：在一個以2T為周期內(nèi)f(X)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點(diǎn)倘是，附f（x）單調(diào)或可劃分成有限個單調(diào)區(qū)間亭枷，則F（x）以2T為周期的傅里葉級數(shù)收斂，和函數(shù)S（x）也是以2T為周期的周期函數(shù)搀崭，且在這些間斷點(diǎn)上叨粘，函數(shù)是有限值；在一個周期內(nèi)具有有限個極值點(diǎn)瘤睹；絕對可積升敲。則有下圖①式成立。稱為積分運(yùn)算f(t)的傅立葉變換轰传，
②式的積分運(yùn)算叫做F(ω)的傅立葉逆變換驴党。F(ω)叫做f(t)的像函數(shù)，f(t)叫做
F(ω)的像原函數(shù)获茬。F(ω)是f(t)的像港庄。f(t)是F(ω)原像。
①傅立葉變換
②傅立葉逆變換
傅里葉變換在物理學(xué)恕曲、電子類學(xué)科鹏氧、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)佩谣、信號處理度帮、概率論、統(tǒng)計學(xué)、密碼學(xué)笨篷、聲學(xué)、光學(xué)瓣履、海洋學(xué)率翅、結(jié)構(gòu)動力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成頻率譜——顯示與頻率對應(yīng)的幅值大行溆）冕臭。
講解
要讓讀者在不看任何數(shù)學(xué)公式的情況下理解傅里葉分析。
傅里葉分析不僅僅是一個數(shù)學(xué)工具燕锥，更是一種可以徹底顛覆一個人以前世界觀的思維模式辜贵。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來太復(fù)雜了归形，所以很多大一新生上來就懵圈并從此對它深惡痛絕托慨。老實說，這么有意思的東西居然成了大學(xué)里的殺手課程暇榴，不得不歸咎于編教材的人實在是太嚴(yán)肅了厚棵。（您把教材寫得好玩一點(diǎn)會死嗎？會死嗎蔼紧？）所以我一直想寫一個有意思的文章來解釋傅里葉分析婆硬，有可能的話高中生都能看懂的那種。所以奸例，不管讀到這里的您從事何種工作彬犯，我保證您都能看懂，并且一定將體會到通過傅里葉分析看到世界另一個樣子時的快感查吊。至于對于已經(jīng)有一定基礎(chǔ)的朋友谐区，也希望不要看到會的地方就急忙往后翻，仔細(xì)讀一定會有新的發(fā)現(xiàn)菩貌。
————以上是定場詩————
下面進(jìn)入正題：
抱歉卢佣，還是要啰嗦一句：其實學(xué)習(xí)本來就不是易事，我寫這篇文章的初衷也是希望大家學(xué)習(xí)起來更加輕松箭阶，充滿樂趣虚茶。但是千萬！千萬不要把這篇文章收藏起來仇参，或是存下地址嘹叫，心里想著：以后有時間再看。這樣的例子太多了诈乒，也許幾年后你都沒有再打開這個頁面罩扇。無論如何，耐下心，讀下去喂饥。這篇文章要比讀課本要輕松消约、開心得多……
從我們出生员帮，我們看到的世界都以時間貫穿或粮，股票的走勢、人的身高捞高、汽車的軌跡都會隨著時間發(fā)生改變氯材。這種以時間作為參照來觀察動態(tài)世界的方法我們稱其為時域分析。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為硝岗，世間萬物都在隨著時間不停的改變氢哮，并且永遠(yuǎn)不會靜止下來。但如果我告訴你型檀，用另一種方法來觀察世界的話冗尤，你會發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的，你會不會覺得我瘋了贱除？我沒有瘋生闲，這個靜止的世界就叫做頻域。
先舉一個公式上并非很恰當(dāng)月幌，但意義上再貼切不過的例子：
在你的理解中碍讯，一段音樂是什么呢？
這是我們對音樂最普遍的理解扯躺，一個隨著時間變化的震動捉兴。但我相信對于樂器小能手們來說，音樂更直觀的理解是這樣的：
好的录语！下課倍啥，同學(xué)們再見。
是的澎埠，其實這一段寫到這里已經(jīng)可以結(jié)束了虽缕。上圖是音樂在時域的樣子，而下圖則是音樂在頻域的樣子蒲稳。所以頻域這一概念對大家都從不陌生氮趋，只是從來沒意識到而已。
現(xiàn)在我們可以回過頭來重新看看一開始那句癡人說夢般的話：世界是永恒的江耀。
將以上兩圖簡化：
時域：
頻域：
在時域剩胁，我們觀察到鋼琴的琴弦一會上一會下的擺動，就如同一支股票的走勢祥国；而在頻域昵观，只有那一個永恒的音符。
所以
你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章啊犬。
抱歉灼擂，這不是一句雞湯文，而是黑板上確鑿的公式：傅里葉同學(xué)告訴我們觉至，任何周期函數(shù)缤至，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加康谆。在第一個例子里我們可以理解為，利用對不同琴鍵不同力度嫉到，不同時間點(diǎn)的敲擊沃暗，可以組合出任何一首樂曲。
而貫穿時域與頻域的方法之一何恶，就是傳中說的傅里葉分析孽锥。傅里葉分析可分為傅里葉級數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation)，我們從簡單的開始談起细层。
二惜辑、傅里葉級數(shù)(Fourier Series)的頻譜
還是舉個栗子并且有圖有真相才好理解。
如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個帶 90 度角的矩形波來疫赎，你會相信嗎盛撑？你不會，就像當(dāng)年的我一樣捧搞。但是看看下圖：
第一幅圖是一個郁悶的正弦波 cos（x）
第二幅圖是 2 個賣萌的正弦波的疊加 cos (x) +a.cos (3x)
第三幅圖是 4 個發(fā)春的正弦波的疊加
第四幅圖是 10 個便秘的正弦波的疊加
隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長抵卫，他們最終會疊加成一個標(biāo)準(zhǔn)的矩形，大家從中體會到了什么道理胎撇？
（只要努力介粘，彎的都能掰直！）
隨著疊加的遞增晚树，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡姻采，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個矩形就這么疊加而成了爵憎。但是要多少個正弦波疊加起來才能形成一個標(biāo)準(zhǔn) 90 度角的矩形波呢慨亲？不幸的告訴大家，答案是無窮多個纲堵。（上帝：我能讓你們猜著我巡雨？）
不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的席函。這是沒有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個難點(diǎn)铐望，但是一旦接受了這樣的設(shè)定，游戲就開始有意思起來了。
還是上圖的正弦波累加成矩形波正蛙，我們換一個角度來看看：
在這幾幅圖中督弓，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來越接近矩形波的那個圖形乒验。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個分量愚隧。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開來，而每一個波的振幅都是不同的锻全。一定有細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了狂塘，每兩個正弦波之間都還有一條直線，那并不是分割線鳄厌，而是振幅為 0 的正弦波荞胡！也就是說，為了組成特殊的曲線了嚎，有些正弦波成分是不需要的泪漂。
這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量歪泳。
好了萝勤，關(guān)鍵的地方來了！呐伞！
如果我們把第一個頻率最低的頻率分量看作“1”敌卓，我們就有了構(gòu)建頻域的最基本單元。
對于我們最常見的有理數(shù)軸荸哟，數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元假哎。
（好吧，數(shù)學(xué)稱法為——基鞍历。在那個年代舵抹，這個字還沒有其他奇怪的解釋，后面還有正交基這樣的詞匯我會說嗎?）
時域的基本單元就是“1 秒”劣砍，如果我們將一個角頻率為
的正弦波 cos（
t）看作基礎(chǔ)惧蛹，那么頻域的基本單元就是
。
有了“1”刑枝，還要有“0”才能構(gòu)成世界香嗓，那么頻域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一個周期無限長的正弦波装畅，也就是一條直線靠娱！所以在頻域，0 頻率也被稱為直流分量掠兄，在傅里葉級數(shù)的疊加中像云，它僅僅影響全部波形相對于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀锌雀。
接下來，讓我們回到初中迅诬，回憶一下已經(jīng)死去的八戒腋逆，啊不，已經(jīng)死去的老師是怎么定義正弦波的吧侈贷。
正弦波就是一個圓周運(yùn)動在一條直線上的投影惩歉。所以頻域的基本單元也可以理解為一個始終在旋轉(zhuǎn)的圓
想看動圖的同學(xué)請戳這里：
File:Fourier series square wave circles animation.gif
以及這里：
File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif
點(diǎn)出去的朋友不要被 wiki 拐跑了，wiki 寫的哪有這里的文章這么沒節(jié)操是不是俏蛮。
介紹完了頻域的基本組成單元撑蚌，我們就可以看一看一個矩形波，在頻域里的另一個模樣了：
這是什么奇怪的東西搏屑？
這就是矩形波在頻域的樣子锨并，是不是完全認(rèn)不出來了？教科書一般就給到這里然后留給了讀者無窮的遐想睬棚，以及無窮的吐槽，其實教科書只要補(bǔ)一張圖就足夠了：頻域圖像解幼，也就是俗稱的頻譜抑党，就是——
再清楚一點(diǎn)：
可以發(fā)現(xiàn)，在頻譜中撵摆，偶數(shù)項的振幅都是0底靠，也就對應(yīng)了圖中的彩色直線。振幅為 0 的正弦波特铝。
動圖請戳：
File:Fourier series and transform.gif
老實說暑中，在我學(xué)傅里葉變換時，維基的這個圖還沒有出現(xiàn)鲫剿，那時我就想到了這種表達(dá)方法鳄逾，而且，后面還會加入維基沒有表示出來的另一個譜——相位譜灵莲。
但是在講相位譜之前雕凹，我們先回顧一下剛剛的這個例子究竟意味著什么。記得前面說過的那句“世界是靜止的”嗎政冻？估計好多人對這句話都已經(jīng)吐槽半天了枚抵。想象一下，世界上每一個看似混亂的表象明场，實際都是一條時間軸上不規(guī)則的曲線汽摹，但實際這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時域上的投影苦锨，而正弦波又是一個旋轉(zhuǎn)的圓在直線上的投影逼泣。那么你的腦海中會產(chǎn)生一個什么畫面呢趴泌？
我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無數(shù)的齒輪圾旨，大齒輪帶動小齒輪踱讨，小齒輪再帶動更小的。在最外面的小齒輪上有一個小人——那就是我們自己砍的。我們只看到這個小人毫無規(guī)律的在幕布前表演痹筛，卻無法預(yù)測他下一步會去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠(yuǎn)一直那樣不停的旋轉(zhuǎn)廓鞠，永不停歇帚稠。這樣說來有些宿命論的感覺。說實話床佳，這種對人生的描繪是我一個朋友在我們都是高中生的時候感嘆的滋早，當(dāng)時想想似懂非懂，直到有一天我學(xué)到了傅里葉級數(shù)……
三砌们、傅里葉級數(shù)（Fourier Series）的相位譜
上一章的關(guān)鍵詞是：從側(cè)面看杆麸。這一章的關(guān)鍵詞是：從下面看。
在這一章最開始浪感，我想先回答很多人的一個問題：傅里葉分析究竟是干什么用的昔头？這段相對比較枯燥，已經(jīng)知道了的同學(xué)可以直接跳到下一個分割線影兽。
先說一個最直接的用途揭斧。無論聽廣播還是看電視，我們一定對一個詞不陌生——頻道峻堰。頻道頻道讹开，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個通道來進(jìn)行信息傳輸捐名。下面大家嘗試一件事：
先在紙上畫一個sin（x）旦万，不一定標(biāo)準(zhǔn)，意思差不多就行镶蹋。不是很難吧纸型。
好，接下去畫一個sin（3x）+sin（5x）的圖形梅忌。
別說標(biāo)準(zhǔn)不標(biāo)準(zhǔn)了狰腌，曲線什么時候上升什么時候下降你都不一定畫的對吧？
好牧氮，畫不出來不要緊琼腔，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線給你，但是前提是你不知道這個曲線的方程式踱葛，現(xiàn)在需要你把sin（5x）給我從圖里拿出去丹莲，看看剩下的是什么光坝。這基本是不可能做到的。
但是在頻域呢甥材？則簡單的很盯另，無非就是幾條豎線而已。
所以很多在時域看似不可能做到的數(shù)學(xué)操作洲赵，在頻域相反很容易鸳惯。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分叠萍，這在工程上稱為濾波芝发，是信號處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到苛谷。
再說一個更重要辅鲸，但是稍微復(fù)雜一點(diǎn)的用途——求解微分方程。（這段有點(diǎn)難度腹殿，看不懂的可以直接跳過這段）微分方程的重要性不用我過多介紹了独悴。各行各業(yè)都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當(dāng)麻煩的事情锣尉。因為除了要計算加減乘除绵患，還要計算微分積分。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统ㄎ蛟牛髮W(xué)數(shù)學(xué)瞬間變小學(xué)算術(shù)有沒有。
傅里葉分析當(dāng)然還有其他更重要的用途织狐，我們隨著講隨著提暂幼。
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下面我們繼續(xù)說相位譜：
通過時域到頻域的變換，我們得到了一個從側(cè)面看的頻譜移迫，但是這個頻譜并沒有包含時域中全部的信息旺嬉。因為頻譜只代表每一個對應(yīng)的正弦波的振幅是多少，而沒有提到相位厨埋⌒跋保基礎(chǔ)的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅荡陷，頻率雨效，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置废赞，所以對于頻域分析徽龟，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個相位譜唉地。那么這個相位譜在哪呢据悔？我們看下圖传透，這次為了避免圖片太混論，我們用7個波疊加的圖极颓。
鑒于正弦波是周期的朱盐，我們需要設(shè)定一個用來標(biāo)記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點(diǎn)菠隆。小紅點(diǎn)是距離頻率軸最近的波峰兵琳，而這個波峰所處的位置離頻率軸有多遠(yuǎn)呢？為了看的更清楚浸赫，我們將紅色的點(diǎn)投影到下平面闰围，投影點(diǎn)我們用粉色點(diǎn)來表示。當(dāng)然既峡，這些粉色的點(diǎn)只標(biāo)注了波峰距離頻率軸的距離羡榴，并不是相位。
這里需要糾正一個概念：時間差并不是相位差运敢。如果將全部周期看作2Pi或者360度的話校仑，相位差則是時間差在一個周期中所占的比例。我們將時間差除周期再乘2Pi传惠，就得到了相位差迄沫。
在完整的立體圖中，我們將投影得到的時間差依次除以所在頻率的周期卦方，就得到了最下面的相位譜羊瘩。所以，頻譜是從側(cè)面看盼砍，相位譜是從下面看惋鹅。下次偷看女生裙底被發(fā)現(xiàn)的話鲜漩，可以告訴她：“對不起局劲，我只是想看看你的相位譜仅偎。”
注意到近刘，相位譜中的相位除了0擒贸，就是Pi。因為cos（t+Pi）=-cos（t）觉渴，所以實際上相位為Pi的波只是上下翻轉(zhuǎn)了而已介劫。對于周期方波的傅里葉級數(shù)，這樣的相位譜已經(jīng)是很簡單的了案淋。另外值得注意的是蜕猫，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的哎迄，pi和3pi回右，5pi隆圆，7pi都是相同的相位。人為定義相位譜的值域為(-pi翔烁，pi]渺氧，所以圖中的相位差均為Pi。
最后來一張大集合：
四蹬屹、傅里葉變換（Fourier Tranformation）
相信通過前面三章侣背，大家對頻域以及傅里葉級數(shù)都有了一個全新的認(rèn)識。但是文章在一開始關(guān)于鋼琴琴譜的例子我曾說過慨默，這個栗子是一個公式錯誤贩耐，但是概念典型的例子。所謂的公式錯誤在哪里呢厦取？
傅里葉級數(shù)的本質(zhì)是將一個周期的信號分解成無限多分開的（離散的）正弦波潮太，但是宇宙似乎并不是周期的。曾經(jīng)在學(xué)數(shù)字信號處理的時候?qū)戇^一首打油詩：
（請無視我渣一樣的文學(xué)水平……）
在這個世界上，有的事情一期一會漂坏，永不再來景埃，并且時間始終不曾停息地將那些刻骨銘心的往昔連續(xù)的標(biāo)記在時間點(diǎn)上。但是這些事情往往又成為了我們格外寶貴的回憶顶别，在我們大腦里隔一段時間就會周期性的蹦出來一下谷徙，可惜這些回憶都是零散的片段，往往只有最幸福的回憶筋夏，而平淡的回憶則逐漸被我們忘卻。因為图呢，往昔是一個連續(xù)的非周期信號条篷，而回憶是一個周期離散信號。
是否有一種數(shù)學(xué)工具將連續(xù)非周期信號變換為周期離散信號呢蛤织？抱歉赴叹，真沒有。
比如傅里葉級數(shù)指蚜，在時域是一個周期且連續(xù)的函數(shù)乞巧，而在頻域是一個非周期離散的函數(shù)。這句話比較繞嘴摊鸡，實在看著費(fèi)事可以干脆回憶第一章的圖片绽媒。
而在我們接下去要講的傅里葉變換蚕冬，則是將一個時域非周期的連續(xù)信號，轉(zhuǎn)換為一個在頻域非周期的連續(xù)信號是辕。
算了囤热，還是上一張圖方便大家理解吧：
或者我們也可以換一個角度理解：傅里葉變換實際上是對一個周期無限大的函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換。
所以說获三，鋼琴譜其實并非一個連續(xù)的頻譜旁蔼，而是很多在時間上離散的頻率，但是這樣的一個貼切的比喻真的是很難找出第二個來了疙教。
因此在傅里葉變換在頻域上就從離散譜變成了連續(xù)譜棺聊。那么連續(xù)譜是什么樣子呢？
你見過大海么贞谓？
為了方便大家對比限佩，我們這次從另一個角度來看頻譜，還是傅里葉級數(shù)中用到最多的那幅圖经宏，我們從頻率較高的方向看犀暑。
以上是離散譜，那么連續(xù)譜是什么樣子呢烁兰？
盡情的發(fā)揮你的想象耐亏，想象這些離散的正弦波離得越來越近，逐漸變得連續(xù)……
直到變得像波濤起伏的大海：
很抱歉沪斟，為了能讓這些波浪更清晰的看到广辰，我沒有選用正確的計算參數(shù)，而是選擇了一些讓圖片更美觀的參數(shù)主之，不然這圖看起來就像屎一樣了择吊。
不過通過這樣兩幅圖去比較，大家應(yīng)該可以理解如何從離散譜變成了連續(xù)譜的了吧槽奕？原來離散譜的疊加几睛，變成了連續(xù)譜的累積。所以在計算上也從求和符號變成了積分符號粤攒。
不過所森，這個故事還沒有講完，接下去夯接，我保證讓你看到一幅比上圖更美麗壯觀的圖片焕济，但是這里需要介紹到一個數(shù)學(xué)工具才能然故事繼續(xù)，這個工具就是——
虛數(shù)i這個概念大家在高中就接觸過晴弃，但那時我們只知道它是-1 的平方根，可是它真正的意義是什么呢?
這里有一條數(shù)軸，在數(shù)軸上有一個紅色的線段上鞠，它的長度是1际邻。當(dāng)它乘以 3 的時候，它的長度發(fā)生了變化旗国，變成了藍(lán)色的線段枯怖，而當(dāng)它乘以-1 的時候，就變成了綠色的線段能曾，或者說線段在數(shù)軸上圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了 180 度度硝。
我們知道乘-1 其實就是乘了兩次 i 使線段旋轉(zhuǎn)了 180 度，那么乘一次 i 呢——答案很簡單——旋轉(zhuǎn)了 90 度寿冕。
同時蕊程，我們獲得了一個垂直的虛數(shù)軸。實數(shù)軸與虛數(shù)軸共同構(gòu)成了一個復(fù)數(shù)的平面驼唱，也稱復(fù)平面藻茂。這樣我們就了解到，乘虛數(shù)i的一個功能——旋轉(zhuǎn)玫恳。
現(xiàn)在辨赐，就有請宇宙第一耍帥公式歐拉公式隆重登場——
這個公式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的意義要遠(yuǎn)大于傅里葉分析，但是乘它為宇宙第一耍帥公式是因為它的特殊形式——當(dāng)x等于 Pi 的時候京办。
經(jīng)常有理工科的學(xué)生為了跟妹子表現(xiàn)自己的學(xué)術(shù)功底掀序，用這個公式來給妹子解釋數(shù)學(xué)之美：”石榴姐你看，這個公式里既有自然底數(shù)e惭婿，自然數(shù) 1 和0不恭，虛數(shù)i還有圓周率 pi，它是這么簡潔财饥，這么美麗盎话伞！“但是姑娘們心里往往只有一句話：”臭屌絲……“
這個公式關(guān)鍵的作用钥星，是將正弦波統(tǒng)一成了簡單的指數(shù)形式沾瓦。我們來看看圖像上的涵義：
歐拉公式所描繪的，是一個隨著時間變化谦炒，在復(fù)平面上做圓周運(yùn)動的點(diǎn)贯莺，隨著時間的改變，在時間軸上就成了一條螺旋線编饺。如果只看它的實數(shù)部分乖篷，也就是螺旋線在左側(cè)的投影响驴，就是一個最基礎(chǔ)的余弦函數(shù)透且。而右側(cè)的投影則是一個正弦函數(shù)。
關(guān)于復(fù)數(shù)更深的理解，大家可以參考：
這里不需要講的太復(fù)雜鲸沮，足夠讓大家理解后面的內(nèi)容就可以了。
有了歐拉公式的幫助讼溺，我們便知道：正弦波的疊加，也可以理解為螺旋線的疊加在實數(shù)空間的投影最易。而螺旋線的疊加如果用一個形象的栗子來理解是什么呢怒坯？
光波
高中時我們就學(xué)過，自然光是由不同顏色的光疊加而成的藻懒，而最著名的實驗就是牛頓師傅的三棱鏡實驗：
所以其實我們在很早就接觸到了光的頻譜剔猿，只是并沒有了解頻譜更重要的意義。
但不同的是嬉荆，傅里葉變換出來的頻譜不僅僅是可見光這樣頻率范圍有限的疊加归敬，而是頻率從 0 到無窮所有頻率的組合。
這里鄙早，我們可以用兩種方法來理解正弦波：
第一種前面已經(jīng)講過了汪茧，就是螺旋線在實軸的投影。
另一種需要借助歐拉公式的另一種形式去理解：
將以上兩式相加再除2限番，得到：
這個式子可以怎么理解呢舱污？
我們剛才講過，e^(it)可以理解為一條逆時針旋轉(zhuǎn)的螺旋線扳缕，那么e^(-it)則可以理解為一條順時針旋轉(zhuǎn)的螺旋線慌闭。而 cos (t)則是這兩條旋轉(zhuǎn)方向不同的螺旋線疊加的一半，因為這兩條螺旋線的虛數(shù)部分相互抵消掉了躯舔！
舉個例子的話驴剔，就是極化方向不同的兩束光波，磁場抵消粥庄，電場加倍丧失。
這里，逆時針旋轉(zhuǎn)的我們稱為正頻率惜互，而順時針旋轉(zhuǎn)的我們稱為負(fù)頻率（注意不是復(fù)頻率）布讹。
好了，剛才我們已經(jīng)看到了大貉刀眩——連續(xù)的傅里葉變換頻譜描验，現(xiàn)在想一想，連續(xù)的螺旋線會是什么樣子：
想象一下再往下翻：
是不是很漂亮坑鱼？
你猜猜膘流，這個圖形在時域是什么樣子絮缅？
哈哈，是不是覺得被狠狠扇了一個耳光呼股。數(shù)學(xué)就是這么一個把簡單的問題搞得很復(fù)雜的東西耕魄。
順便說一句，那個像大海螺一樣的圖彭谁，為了方便觀看吸奴，我僅僅展示了其中正頻率的部分，負(fù)頻率的部分沒有顯示出來缠局。
如果你認(rèn)真去看则奥，海螺圖上的每一條螺旋線都是可以清楚的看到的，每一條螺旋線都有著不同的振幅（旋轉(zhuǎn)半徑）狭园，頻率（旋轉(zhuǎn)周期）以及相位逞度。而將所有螺旋線連成平面，就是這幅海螺圖了妙啃。
好了档泽，講到這里，相信大家對傅里葉變換以及傅里葉級數(shù)都有了一個形象的理解了揖赴，我們最后用一張圖來總結(jié)一下：
好了馆匿，傅里葉的故事終于講完了，下面來講講我的故事：
這篇文章第一次被卸下來的地方你們絕對猜不到在哪燥滑，是在一張高數(shù)考試的卷子上渐北。當(dāng)時為了刷分，我重修了高數(shù)（上）铭拧，但是后來時間緊壓根沒復(fù)習(xí)赃蛛，所以我就抱著裸考的心態(tài)去了考場。但是到了考場我突然意識到搀菩，無論如何我都不會比上次考的更好了呕臂，所以干脆寫一些自己對于數(shù)學(xué)的想法吧。于是用了一個小時左右的時間在試卷上洋洋灑灑寫了本文的第一草稿肪跋。
你們猜我的了多少分歧蒋？
6 分
沒錯，就是這個數(shù)字州既。而這 6 分的成績是因為最后我實在無聊谜洽，把選擇題全部填上了C，應(yīng)該是中了兩道吴叶，得到了這寶貴的 6 分阐虚。說真的，我很希望那張卷子還在蚌卤，但是應(yīng)該不太可能了实束。
那么你們猜猜我第一次信號與系統(tǒng)考了多少分呢贸宏？
45 分
沒錯，剛剛夠參加補(bǔ)考的磕洪。但是我心一橫沒去考，決定重修诫龙。因為那個學(xué)期在忙其他事情析显，學(xué)習(xí)真的就拋在腦后了。但是我知道這是一門很重要的課签赃，無論如何我要吃透它谷异。說真的，信號與系統(tǒng)這門課幾乎是大部分工科課程的基礎(chǔ)锦聊，尤其是通信專業(yè)歹嘹。
在重修的過程中，我仔細(xì)分析了每一個公式孔庭，試圖給這個公式以一個直觀的理解尺上。雖然我知道對于研究數(shù)學(xué)的人來說，這樣的學(xué)習(xí)方法完全沒有前途可言圆到，因為隨著概念愈加抽象怎抛，維度越來越高，這種圖像或者模型理解法將完全喪失作用芽淡。但是對于一個工科生來說马绝，足夠了。
后來來了德國挣菲，這邊學(xué)校要求我重修信號與系統(tǒng)時富稻，我徹底無語了。但是沒辦法白胀，德國人有時對中國人就是有種藐視椭赋，覺得你的教育不靠譜。所以沒辦法或杠，再來一遍吧纹份。
這次，我考了滿分廷痘，而及格率只有一半蔓涧。
老實說，數(shù)學(xué)工具對于工科生和對于理科生來說笋额，意義是完全不同的元暴。工科生只要理解了，會用兄猩，會查茉盏，就足夠了鉴未。但是很多高校卻將這些重要的數(shù)學(xué)課程教給數(shù)學(xué)系的老師去教。這樣就出現(xiàn)一個問題鸠姨，數(shù)學(xué)老師講得天花亂墜铜秆，又是推理又是證明，但是學(xué)生心里就只有一句話：學(xué)這貨到底干嘛用的讶迁？
缺少了目標(biāo)的教育是徹底的失敗连茧。
在開始學(xué)習(xí)一門數(shù)學(xué)工具的時候，學(xué)生完全不知道這個工具的作用巍糯，現(xiàn)實涵義啸驯。而教材上有只有晦澀難懂，定語就二十幾個字的概念以及看了就眼暈的公式祟峦。能學(xué)出興趣來就怪了罚斗！
好在我很幸運(yùn)，遇到了大連海事大學(xué)的吳楠老師宅楞。他的課全程來看是兩條線索针姿，一條從上而下，一條從下而上厌衙。先將本門課程的意義搓幌，然后指出這門課程中會遇到哪樣的問題，讓學(xué)生知道自己學(xué)習(xí)的某種知識在現(xiàn)實中扮演的角色迅箩。然后再從基礎(chǔ)講起溉愁，梳理知識樹，直到延伸到另一條線索中提出的問題饲趋，完美的銜接在一起拐揭！
這樣的教學(xué)模式，我想才是大學(xué)里應(yīng)該出現(xiàn)的奕塑。
最后堂污，寫給所有給我點(diǎn)贊并留言的同學(xué)。真的謝謝大家的支持龄砰，也很抱歉不能一一回復(fù)盟猖。因為知乎專欄的留言要逐次加載，為了看到最后一條要點(diǎn)很多次加載换棚。當(dāng)然我都堅持看完了式镐，只是沒辦法一一回復(fù)。
本文只是介紹了一種對傅里葉分析新穎的理解方法固蚤，對于求學(xué)娘汞，還是要踏踏實實弄清楚公式和概念，學(xué)習(xí)夕玩，真的沒有捷徑你弦。但至少通過本文惊豺，我希望可以讓這條漫長的路變得有意思一些。
最后禽作，祝大家都能在學(xué)習(xí)中找到樂趣…
原文參考：https://www.cnblogs.com/h2zZhou/p/8405717.html
