2011年同等學力申碩計算機綜合試題解析--數(shù)學基礎(chǔ)

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 第一部分數(shù)學基礎(chǔ)課程

聲明：題目是我從同學分享那獲取的，有可能出現(xiàn)抄錯題目的情況指郁。試題解析是本人自己做的忙上，再根據(jù)教材理論來完成本文編寫，簡書公式保存有時候會出問題闲坎，如發(fā)現(xiàn)答案有錯誤或者不夠準確請及時給我留言疫粥，如需轉(zhuǎn)載請表明出處。感謝所有提出意見和建議腰懂，以及幫助過我的朋友梗逮。如果覺得還行，歡迎點贊轉(zhuǎn)發(fā)绣溜，謝謝慷彤！

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （共40 分）

一、用邏輯符號表達下列語句（每小題2 分怖喻，共4 分）

1. 有些人運氣好底哗，但并非所有人都運氣好。

解析：P(x) : x 是人锚沸， Q(x)： x運氣好跋选， R(x,y)： $x \neq y$

$\exists x (P(x) \land Q(x) \land ┐\forall y (P(y) \land R(x,y) \rightarrow Q(y) ))$

2. 不管黃狗還是花狗，能夠看家護院就是好狗咒吐。

解析：P(x) : x 是狗， Q(x)： x是黃色， R(x)： x是花色恬叹，S(x) ：x看家護院候生，T(x)：x是好狗

$\forall x P(x) \land (Q(x) \lor R(x)) \land S(x) \rightarrow T(x)$

二、填空題（每小題2 分绽昼，共12 分）

1. 設(shè)A?={1,2,3,4}, B?={a,b,c}唯鸭，從A?到B?不同的二元關(guān)系共有_4096_個。從A?到B?不同的函數(shù)共有__81_? 個硅确。

解析：第一空|A| = 4, |B| = 3,因此A到B的不同二元關(guān)系個數(shù)為 $2^{|A|*|B|} = 2^{12}$ =1024*4=4096

第二空從A到B不同的函數(shù)個數(shù)為 $|B|^{|A|}= 3^4=81$

2. 設(shè)?|A|?=?n（即集合?A?的基數(shù)為?n）目溉，問在?A?上有_ $2^{ \frac { n+n^2 }{2 }}$ __ 個不同的對稱關(guān)系。

解析：以矩陣來解析方便理解菱农，以對角線分開缭付，對角線以下或以上包括對角線的元素個數(shù)為 $\frac{(1+n)*n}{2} = \frac{n+n^2}{2}$ , 因此，此時的對稱關(guān)系有 $2^{ \frac { n+ n^2 }{ 2 }}$ 個循未。

3．對 $（2x_1-3x_2 + x_3 )^6$ 進行展開合并同類項后陷猫， ${x_1}^3 x_2 {x_3}^2$ ? 的系數(shù)是? __-1440_ 。

解析：【定理】設(shè)n是正整數(shù)的妖，則對一切實數(shù) $x_1,x_2,x_3,...,x_t$ 則有 $(x_1+x_2+...+x_t) = \sum\nolimits_{} (_{n_1 n_2 ...n_t}^{n} ) {x_1}^{n_1}{x_2}^{n_2}...{x_t}^{n_t} =\sum\nolimits_{} ( \frac{n!}{n_1!*n_2! ...n_t! } ) {x_1}^{n_1}{x_2}^{n_2}...{x_t}^{n_t}$ ,因此原題的系數(shù)為 $\frac{6 !}{3!*1! *2! }(2^3 * (-3)^1* 1^2 ) = 60*8*(-3) = -1440$

4. 從?m?個人中選取?n?個人（n≤m）圍成一個圓桌就座绣檬，則不同的就座方法數(shù)是? $\frac{m!}{(n(m-n)!) }$ 。

解析：先從m中選取n個人嫂粟，有 $C_{(m,n)} = \frac{m!}{n!(m-n)!}$

接著n個人圍成一圈排列為 $Q(n) = (n-1)!$

因此總排列數(shù)為： $C_{(m,n)} *Q_{(n) } = \frac{m!}{n!(m-n)!} * (n-1)! = \frac{m!}{n (m-n)!}$

5. 設(shè)?G?是頂點個數(shù)為?n娇未，邊數(shù)為?e，連通分支數(shù)為?k?的簡單圖星虹，T?是包含?G?的所有頂點的森林零抬，則?G?的不在?T?中的邊有?__ e+k-n__ 條。

解析：分支數(shù)為k的簡單圖搁凸，即有k棵樹媚值，因此整個森林邊條數(shù)為 $(n_1-1)+(n_2-1)+...+(n_k -1) = n-k, (n_1+n_2+...+n_k = n)$

則該題中G?的不在?T?中的邊有 e-n+k條邊。

6. 設(shè)?u,v?是圖?G?的兩個不鄰接的頂點护糖，S?是圖?G ?的頂點割集褥芒，且?u,v?是屬于?G—S?的兩個不同的連通分支，稱?S ?為一個?uv?分離集嫡良。設(shè)最小的?uv?分離集中所含頂點的個數(shù)為?a锰扶，且?G?中從?u?到?v?內(nèi)部不相交的路徑的最大條數(shù)為?b?，則?a ?和?b ?滿足的關(guān)系為(a=b) 寝受。

解析：（僅供參考）在無向連通圖 G=(V,E)中：若對于x∈V坷牛，從圖中刪du去節(jié)點x以及所有與x關(guān)聯(lián)的邊之后， G分裂成兩個或兩個以上不相連的子圖很澄，則稱x為G的割點京闰。簡而言之颜及，割點是無向連通圖中的一個特殊的點，刪去中這個點后蹂楣，此圖不再連通俏站，而所以滿足這個條件的點所構(gòu)成的集合即為割點集合。根據(jù)Menge定理痊土，圖的連通度為k肄扎，則任意點間必有k條不相交路徑。題中a即|S|赁酝，G中從u到v內(nèi)部不相交路徑最大條數(shù)b犯祠，因此要滿足a=b。

三酌呆、計算題（每個問題4 分衡载，共8 分）

設(shè) $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7$ 是?7 ?個互不相同的非零實數(shù)，?這七個數(shù)的全排列中肪笋， 數(shù) $a_i（i=1, …,7）$ 的原來位置是指第?i?個位置月劈。求這七個數(shù)的全排列中：

（1） $a_1,a_3,a_5,a_7$ 都不在原來的位置上，而 $a_2,a_4,a_6$ 都在原來位置上的排列數(shù)目藤乙。

（2） $a_2,a_4,a_6$ 都不在原來位置上的排列數(shù)目猜揪。

解析：知識點是完全錯排，用容斥原理來推斷坛梁。

(1) $a_1,a_3,a_5,a_7$ 完全錯排 $D_4 =4!(1-\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} -\frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}) = 4*3- 4 +1 =9$

(2) 用A,B,C表示 $a_2,a_4,a_6$ 都在原來位置上的排列集合而姐，都不在原位即 $| \bar { A } \cap \bar{ B } \cap \bar{ C } | = |S| -|A \cup B \cup C|$

$= |S| -(|A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |C \cap B| + |A \cap B \cap C|)= 7! - (3*6! - 3*5! +4!)$

$=7! -76*4! = 134 * 4! = 3216$

四、證明題（第1划咐，2 小題各4 分拴念，第3 小題8 分，共16 分）

1．下列公式是否正確褐缠？如正確請證明政鼠，如錯誤試舉出反例。(?x) (?y) (P(x)∧P(y) →Q(x,y)) =? (?x) (?y)?(P(x)∧P(y)∧?Q(x,y))

解析：公式正確队魏，(?x) (?y) (P(x)∧P(y) →Q(x,y))? = (?x) (?y) ┐(P(x)∧P(y) ）∨Q(x,y)

=(?x) (?y) ┐((P(x)∧P(y) ）∧ ┐Q(x,y)) =(?x) (?y) ┐(P(x)∧P(y) ∧ ┐Q(x,y))

=(?x)┐ (?y) (P(x)∧P(y) ∧ ┐Q(x,y))

=┐(?x) (?y) (P(x)∧P(y) ∧ ┐Q(x,y)) ,得證公般。

2．用“≈”表示等勢，試證明(0,1] ≈ (a, b] (a, b∈R, a < b胡桨，R 為實數(shù)集)官帘。

解析：只需找到集合(0,1]到(a,b]之間的一個雙射函數(shù) $f$ 證明即可，該函數(shù)滿足定義域為(0,1],值域滿足(a,b],可設(shè) $f(x) = kx+i , f(0) = a, f(1) = b.$ 可以求解出 i = a, k = b-a 求解得 $f(x) = (b-a)x+a$ 昧谊，因此得證(0,1] ≈ (a, b]

3．設(shè) $\{ a_1, a_2, …, a_n… \}$ 滿足 $??_?? = \sum_{k=1}^{?????} ??_????_{?????}$ ,且 $\{ a_1, a_2, …, a_n… \}$ 的母函數(shù)為 $A(x) = \sum_{n \geq 1}^{} ??_nx^n$ , $a_1 = 1$

（1）（4??分）證明? $A^2(x) - A(x) + x = 0$

（2）（4??分）證明 $a_n = \frac{1}{n} {( _{n-1} ^{2n-2})}$ 刽虹，n≥1，其中 ${( _{n-1} ^{2n-1})}$ 表示從?2n-2?個數(shù)中取出?n-1?個的組合數(shù)呢诬。

解析：(1) $A(x) = \sum_{n \geq 1}^{} ??_nx^n$ 涌哲，則 $A^2(x) = (\sum_{n= 1}^{∞} ??_nx^n)^2 = (\sum_{i= 1}^{∞} ??_ix^i)(\sum_{k = 1}^{∞} ??_k x^k) =\sum_{i = 1}^{∞} \sum_{k= 1}^{∞} ??_i ??_k x^{i+k}$ $??_?? = \sum_{k=1}^{?????} ??_????_{?????}$ ,n,i,k趨向于無窮,因此n可以表示為n = i+k 胖缤，n ≥ 2 可得

$A^2(x) = \sum_{n= 2}^{∞} ??_nx^n = \sum_{n= 1}^{∞} ??_nx^n - a_1x = A(x) -x$ ,

$A^2(x) = A(x) -x \Leftrightarrow A^2(x) - A(x) +x =0$ 得證。

(2)根據(jù)第一問結(jié)論 $A^2(x) - A(x) +x =0$ 阀圾，利用一元二次方程的求根公式可以求出A(x)的兩個根： $A(x)_1 = \frac {1- \sqrt {1 - 4x} }{2} , A(x)_2 = \frac {1+ \sqrt{1 - 4x} }{2} ,$ 因為 $A(x) = \sum_{n \geq 1}^{} ??_nx^n$ 草姻，當x = 0時 A(x) = 0.因此要舍棄 $A(x)_2$ ，因此 $A(x) = \frac{1- \sqrt{1 - 4x} }{2} = \frac{1}{2} - \frac{(1-4x)^{\frac{1}{2} }}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1 }{2} (1-4x)^{\frac{1}{2}}$ ,?

由牛頓二項式推廣公式：

$(1+ax)^\frac{1}{2} = \sum_{n=0}^{∞ } \frac{ (-1)^{n-1}}{2^{2n-1} n } C_{(2n-2, n-1)}(a^n )x^n$

推理如下：

$(1+ax)^\frac{1}{2} = \sum_{n=0}^∞ C_{\frac{1}{2} } ^ n a^n x^n = 1 + \sum_{n=1}^∞ \frac { \frac {1 }{2} (\frac{1 }{2} -1) ( \frac {1 }{2} -2) ... (\frac{1 }{2} -n+1) }{n! } a^n x^n$

$= 1 + \sum_{n=1}^∞ \frac{(1 - 2) (1 -4) ... (1 -2n+2) }{2 ^n n!} a^n x^n = 1 + \sum_{n=1}^∞ \frac{(-1)^{n-1}1*3*5 ... (2n-3 ) }{2 ^n n!} a^n x^n$ -------式1

$(2n)! = 1*3*5*7*...*(2n-1)*2*4*6*...*2n = 1*3*5*7*...*(2n-1)* 2^n *n!$ ---------式2

把 n-1 = N 代入式2：

$(2(n-1))! = 1*3*5*7*...*(2(n-1)-1)*2*4*6*...*2(n-1) = 1*3*5*7*...*(2n-3)* 2^{(n-1)} *(n-1)!$ -----式3

式3代入式1得：

$1 + \sum_{n=1}^∞ \frac{(-1)^{n-1} (2(n-1))! }{2 ^n n! 2^{(n-1)} (n-1)! } a^n x^n = 1 + \sum_{n=1}^∞ \frac{(-1)^{n-1} (2(n-1))! }{2 ^{(2n-1)} n! (n-1)! } a^n x^n = 1 + \sum_{n=1}^∞ \frac{(-1)^{n-1} (2n-2))! }{2 ^{(2n-1)} n (n-1)! (n-1)! } a^n x^n$

$= 1 + \sum_{n=1}^∞ \frac{(-1)^{n-1} }{2 ^{(2n-1)} n }C_{2n-2}^{ n-1} a^n x^n$ 得證

把A(x)代入 $A(x)= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} *\sum_{n=0}^{∞ } \frac{ (-1)^{n-1}}{2^{2n-1} n } C_{(2n-2, n-1)}((-4)^n )x^n= \sum_{n=0}^{∞ } \frac{ (-1)^{n}}{2^{2n} n } C_{(2n-2, n-1)}((-1)^n2^n )x^n$

因此得到 $a_n = \frac{1}{n} {C_{( {2n-2,n-1})}} = \frac{1}{n} {( _{n-1} ^{2n-2})}$