完全平方數(shù)就是： 兩個相同的數(shù)相乘的數(shù)。?
完全平方數(shù)的表示
A是完全平方數(shù)，通常用a的平方來表示。在學(xué)習(xí)了字母代替數(shù)字以后耻姥，就開始習(xí)慣這種表示方法。
100以內(nèi)的完全平方數(shù)
400以內(nèi)的完全平方數(shù)
常用要記住的還有：21×21=441? ?24×24=576? ?25×25=625?
一有咨、完全平方數(shù)的特點(diǎn)
10000以內(nèi)的完全平方數(shù)
觀察發(fā)現(xiàn)琐簇，看看能找到哪些特征？這些特征從哪里來座享？
帶著這個問題婉商，我們向后學(xué)習(xí)。征讲。据某。。
例題1? ?☆☆一個班級的同學(xué)做早操诗箍，人數(shù)正好能排成行數(shù)和列數(shù)都相等的方陣癣籽。冬天最冷的時候，老師讓同學(xué)們5人一組去踢毽子滤祖。班長分完小組以后筷狼，對老師說“5人一組，多出來兩個人匠童」〔模”，老師馬上說：“你一定是分錯了汤求∏蜗眨”。 聰明的同學(xué)扬绪，你知道老師這樣說的根據(jù)嗎竖独？
例題一圖形提示
例題2? ?☆☆☆我們知道11×11=121,? 111×111=12321， 1111×1111=1234321挤牛，....結(jié)果都是完全平方數(shù)莹痢。那么121+12321+1234321+.... +12345678987654321 的結(jié)果是不是完全平方數(shù)呢？
思考提示
余數(shù)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)：
余數(shù)規(guī)律的探索
例題3? ?☆☆☆1×1+2×2+3×3+……+2001×2001+2002×2002 除以 3 的余數(shù)是多少墓赴？
例題4 ?☆☆☆形如11,111,1111,11111竞膳，……的數(shù)字中有沒有完全平方數(shù)？
二诫硕、完全平方數(shù)的質(zhì)因數(shù)
完全平方數(shù)都可以分解為成對出現(xiàn)的質(zhì)因數(shù)坦辟。
12×12=3×2×2? ×? 3×2×2? 分解成質(zhì)因數(shù)的偶數(shù)次方。
例題5 ?☆☆☆一個數(shù)與270的積是完全平方數(shù)章办，那么這個數(shù)最小是多少锉走？
270 = 27×10
= 3×3×3×2×5? 根據(jù)質(zhì)因數(shù)成對出現(xiàn)的特點(diǎn)滔吠，用最小的質(zhì)因數(shù)補(bǔ)齊就是正確答案。
例題6 ?☆☆☆☆已知自然數(shù) n 滿足：? 12挠日！除以 n 得到一個完全平方數(shù)，則 n 的最小值是翰舌？
和補(bǔ)齊乘法算式得到完全平方數(shù)的原理是一樣的嚣潜。這里抵消掉落單的質(zhì)因數(shù)就可以了。
例題7? ☆☆☆一個房間里有100盞燈椅贱，用自然數(shù)1,2,3,……懂算，100編號，每盞燈各有一個開關(guān)庇麦。開始時计技，所有的燈都不亮有100個人，依次進(jìn)入房間山橄，第1個人進(jìn)入房間以后垮媒，將編號為1的倍數(shù)的燈開關(guān)按一下，然后離開航棱；第二個人進(jìn)入房間后睡雇，將編號位2的倍數(shù)的燈的開關(guān)按一下，然后離開饮醇；如此下去它抱，直到第100個人進(jìn)入房間，將編號為100的倍數(shù)的燈的開關(guān)按一下朴艰，然后離開观蓄。請問：第100個人離開房間以后，房間的燈有哪些是亮的祠墅。
三侮穿、平方差公式
通過做題 總結(jié)知識
例題1? ?☆☆
根據(jù)題意全班人數(shù)是一個完全平方數(shù)，
那么人數(shù)的個位數(shù)字只能是0饵隙、1撮珠、4、5金矛、6芯急、9。
除以5的余數(shù)只能是1或者4驶俊，
所以老師說班長算錯了娶耍。
例題2? ?☆☆☆
注意算式的項(xiàng)數(shù)，2個1到9個1饼酿，一共是8個數(shù)字榕酒。8個末位為1的數(shù)字胚膊，和末位一定是8，這不符合完全平方數(shù)的末位數(shù)規(guī)律想鹰，必然不是完全平方數(shù)紊婉。
例題3? ?☆☆☆
完全平方數(shù)除以3余數(shù)是有規(guī)律出現(xiàn)的。每3個數(shù)為1組辑舷。
2002÷3=667（組）……1
（2×667+1）÷3 = 445 ……0
例題4 ?☆☆☆形如11,111,1111,?
完全平方數(shù)除以4只能余0或者1喻犁。 那么這些數(shù)字里末尾兩位沒有能被4整除的數(shù)，因此沒有完全平方數(shù)何缓。
例題5 ?☆☆☆一個數(shù)與270的積是完全平方數(shù)肢础，那么這個數(shù)最小是多少？
A × 270 = 完全平方數(shù)
270 = 270×10
= 3×3×3×2×5?
A = 3×2×5?
= 30
例題6 ?☆☆☆☆已知自然數(shù) n 滿足：? 12碌廓！除以 n 得到一個完全平方數(shù)传轰，則 n 的最小值是？
和補(bǔ)齊乘法算式得到完全平方數(shù)的原理是一樣的谷婆。這里抵消掉落單的質(zhì)因數(shù)就可以了慨蛙。
例題7? ☆☆☆一個房間里有100盞燈，用自?
完全平方數(shù)的因數(shù)分別是1 和平方根和它自己纪挎。這樣開關(guān)就被按動了奇數(shù)次股淡。所以編號為100以內(nèi)的完全平方數(shù)的燈最終是亮的。
總結(jié)筆記
末位數(shù)字的規(guī)律：
末位數(shù)字只有 0,1,4,5,6,9
末位為0時廷区，0是成對出現(xiàn)的唯灵。
個位為奇數(shù)，十位必然為偶數(shù)
個位為6隙轻，十位必然為奇數(shù)
余數(shù)規(guī)律：
除以3的余數(shù)只有 1或者0
除以4的余數(shù)只有 1或者0
除以5的余數(shù)只有 0,1,4
能被3整除的也能被9整除
思考一下除以6 7 8 9的余數(shù)是多少
出現(xiàn)的規(guī)律：
兩個連續(xù)自然數(shù)的平方之間不再有完全平方數(shù)
約數(shù)和因數(shù)規(guī)律
因數(shù)的個數(shù)一定是奇數(shù)埠帕。
約數(shù)個數(shù)等于指數(shù)＋1連乘
質(zhì)因數(shù)成對出現(xiàn)，可以分解成質(zhì)因數(shù)的偶次方的形式玖绿。
練習(xí)部分
1敛瓷、自然數(shù)1-10012中有（? ?）個完全平方數(shù)？
2斑匪、15呐籽？2,? 2？蚀瘸？8狡蝶，? ？ 贮勃？10贪惹， 19？6寂嘉，這四個數(shù)字中奏瞬，枫绅？代表不能辨別的數(shù)碼，其中有完全? ? ? ? ?平方數(shù)硼端，這些完全平方數(shù)是 （? ?）
3并淋、在 2×3，3×4珍昨，……预伺，99×100中，（? ?）完全平方數(shù)曼尊。
4、在 1 到 2011 之間的自然數(shù)中脏嚷，恰有奇數(shù)個約數(shù)的數(shù)有（? ?）個骆撇。
5、是否存在自然數(shù)a父叙，b神郊，使3ab41×6是完全平方數(shù)？??
6趾唱、66,666涌乳，……，66666666666666666甜癞，這串?dāng)?shù)字中是否有完全平方數(shù)夕晓？?
7、下面算式：1Ｓ圃邸＋2Ｕ袅尽＋3！……析既，10躬贡！的得數(shù)是否是完全平方數(shù)？?
8眼坏、2000乘以非零自然數(shù)a得到一個完全平方數(shù)拂玻，則a最小為 （? ? ）
9、祖孫三人宰译，孫子和爺爺年齡的乘積是1512檐蚜，三人年齡的積是完全平方數(shù)，則父親的年齡是
10沿侈、兩個兩位數(shù)熬甚，差為56，他們的平方數(shù)末兩位數(shù)相同肋坚，這兩個兩位數(shù)分別是（? ? ? ? ? ）
11乡括、用60個5和若干個零組成的數(shù)字是否是完全平方數(shù)肃廓？?
12、已知ab2ba是一個完全平方數(shù)诲泌，a是最大的一位數(shù)盲赊，求這個數(shù)字？?
13敷扫、從1到1000的所有自然數(shù)里哀蘑，有多少個數(shù)乘以54后，是完全平方數(shù)葵第？?
14绘迁、如果三個連續(xù)正整數(shù)，中間一個是平方數(shù)卒密，將這樣的三個正整數(shù)的乘積叫做“幸運(yùn)數(shù)”缀台，所有小于等于2011的幸運(yùn)數(shù)的最小公倍數(shù)是多少？
練習(xí)講解
1哮奇、自然數(shù)1-10012中有（100）個完全平方數(shù)膛腐？
101×101=10201? 超出了范圍，所以10012里面有1-100這100個完全平方數(shù)鼎俘。
2哲身、15？2,? 2贸伐？勘天？8，? 捉邢？ 误辑？10， 19歌逢？6巾钉，這四個數(shù)字中，秘案？代表不能辨別的數(shù)碼砰苍，其中有完全? ? ? ? ?平方數(shù)，這些完全平方數(shù)是 （1936）
根據(jù)末位數(shù)的規(guī)律阱高，19赚导？6有可能是的。試算40--50之間末位為4or6的數(shù)字赤惊。 44×44=
3吼旧、在 2×3，3×4未舟，……圈暗，99×100中掂为，（無）完全平方數(shù)。
4员串、在 1 到 2011 之間的自然數(shù)中勇哗，恰有奇數(shù)個約數(shù)的數(shù)有（44）個。
45×45=2025
5寸齐、是否存在自然數(shù)a欲诺，b，使3ab41×6是完全平方數(shù)渺鹦？ 無?
根據(jù)末位數(shù)規(guī)律扰法，如果是6，十位就必須是個奇數(shù)
6毅厚、66,666塞颁，……，66666666666666666卧斟，這串?dāng)?shù)字中是否有完全平方數(shù)？ 無? 同上題
7憎茂、下面算式：1Ｕ溆铩＋2！＋3竖幔！……板乙，10！的得數(shù)是否是完全平方數(shù)拳氢？?
不是? ?根據(jù)末位數(shù)由各位乘積決定的規(guī)律募逞，把末位數(shù)相加，末位為3馋评。
8放接、2000乘以非零自然數(shù)a得到一個完全平方數(shù)，則a最小為 （5）
分解2000為 5·5·5·2·2·2·2? ?補(bǔ)一個5 滿足了成對出現(xiàn)的要求
9留特、祖孫三人纠脾，孫子和爺爺年齡的乘積是1512，三人年齡的積是完全平方數(shù)蜕青，則父親的年齡是
分解1512為 2×2×2×3×3×3×7? 需要補(bǔ)齊 2×3×7? 所以父親的年齡42歲苟蹈。
10、兩個兩位數(shù)右核，差為56慧脱，他們的平方數(shù)末兩位數(shù)相同，這兩個兩位數(shù)分別是（78贺喝、22）
設(shè)大數(shù)為x菱鸥，小數(shù)為y?
x-y=56
x·x-y·y= m100?
（x＋y）（x-y）=m100?
56（x+y）=m100?
x+y=100? x-y=56?
x=78
11宗兼、用60個5和若干個零組成的數(shù)字是否是完全平方數(shù)？ 不是 因?yàn)椴荒鼙?整除
12采缚、已知ab2ba是一個完全平方數(shù)针炉，a是最大的一位數(shù)，求這個數(shù)字扳抽？?
a=9? 則 整個數(shù)是? 9b2b9? 300往上篡帕，末位為7的數(shù)字枚舉? 307×307= 94294
13、從1到1000的所有自然數(shù)里贸呢，有多少個數(shù)乘以54后镰烧，是完全平方數(shù)？?
這個數(shù)字拿出一部分質(zhì)因數(shù)和54配對成完全平方數(shù)以后楞陷，自己仍是完全平方數(shù)才行
54分解成 2 3 3 3 怔鳖，需要拿出6，剩下的還是完全平方數(shù)固蛾。 1000÷6=166……4?
13×13是 169? 不符合? 那就剩下1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12? 這個幾個了
借助電腦處理數(shù)據(jù)
14结执、如果三個連續(xù)正整數(shù)，中間一個是平方數(shù)艾凯，將這樣的三個正整數(shù)的乘積叫做“幸運(yùn)數(shù)”献幔，所有小于等于2011的幸運(yùn)數(shù)的最小公倍數(shù)是多少？
用電腦做的測算
完全平方數(shù)專題在不斷完善當(dāng)中趾诗。
