二維隨機(jī)變量
設(shè)
是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)黔帕，它的樣本空間是
代咸，設(shè))
和)
是定義在
上的隨機(jī)變量，它們構(gòu)成的向量)
稱為二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量
假如是二維隨機(jī)變量成黄，對(duì)于任意實(shí)數(shù)
二元函數(shù)：%3DP%5Cleft%20%5C%7BX%5Cleq%20x%2CY%5Cleq%20y%20%5Cright%20%5C%7D)
稱為 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)呐芥，或稱為隨機(jī)變量
和
的聯(lián)合分布函數(shù)
隨機(jī)點(diǎn)落在矩形區(qū)域%7Cx_%7B1%7D%3Cx%5Cleq%20x_%7B2%7D%2Cy_%7B1%7D%3Cy%5Cleq%20y_%7B2%7D%20%5Cright%20%5C%7D)
的概率為-F(x_%7B1%7D%2Cy_%7B2%7D)-F(x_%7B2%7D%2Cy_%7B1%7D)%2BF(x_%7B1%7D%2Cy_%7B1%7D)%5Cgeqslant%200)
-
)
是變量
和
的不減函數(shù)：不變時(shí)%5Cgeqslant%20F(x_%7B1%7D%2Cy))
，對(duì)于不變奋岁，同理思瘟。
-
%5Cleqslant%201)
且%3D0)
,%3D0)
,%3D0)
,%3D1)
-
%3DF(x%2Cy))
,%3DF(x%2Cy))
，也就是說(shuō)關(guān)于都右連續(xù)
類似地闻伶，如果二維隨機(jī)變量所有可能取值是有限對(duì)或無(wú)限可列對(duì)滨攻，則稱是離散型的隨機(jī)變量，假如所有可能取的值為%2Ci%2Cj%3D1%2C2%2C%5Cdots%2C)
蓝翰，我們稱之為隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布律,此時(shí)
光绕，又由概率定義知：
假如對(duì)于隨機(jī)變量的分布函數(shù)，存在非負(fù)函數(shù))
使對(duì)于任意有%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%20%7D%5E%7By%7D%5Cint_%7B-%5Cinfty%20%7D%5E%7Bx%7Df(u%2Cv)dudv)
畜份，那么是連續(xù)型的二維隨機(jī)變量诞帐，函數(shù)則是其概率密度，或說(shuō)是隨機(jī)變量
的聯(lián)合概率密度爆雹，根據(jù)有關(guān)定義停蕉，有：
%5Cgeqslant0)
dxdy%3DF(%5Cinfty%2C%5Cinfty)%3D1)
- G是一個(gè)
平面上的區(qū)域愕鼓，則點(diǎn))
落在
內(nèi)的概率為:dxdy)
- 若在點(diǎn)連續(xù)，則：
%7D%7B%5Cpartial%20x%5Cpartial%20y%7D%3Df(x%2Cy))
邊緣分布
對(duì)于二維隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)慧起，都有各自的分布函數(shù)菇晃，記作%2CF_%7BY%7D(y))
,并將之稱為分別關(guān)于的邊緣分布函數(shù):%3DP%5Cleft%20%5C%7BX%5Cleqslant%20x%2CY%20%3C%20%5Cinfty%20%5Cright%20%5C%7D%3DF(x%2C%5Cinfty))
,對(duì)于，同理蚓挤。
易知對(duì)于離散型隨機(jī)變量：%3DF(x%2C%5Cinfty)%3D%5Csum_%7Bx_%7Bi%7D%5Cleqslant%20x%7D%5E%7B%7D%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dp_%7Bij%7D)
可求得的分布律：
谋旦，
即關(guān)于隨機(jī)變量的邊緣分布
對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量:![F_{X}(x)=F(x,\infty)=\int_{-\infty }^{x}\left [ \int_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy \right ]dx](https://math.jianshu.com/math?formula=F_%7BX%7D(x)%3DF(x%2C%5Cinfty)%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%20%7D%5E%7Bx%7D%5Cleft%20%5B%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%20%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7Df(x%2Cy)dy%20%5Cright%20%5Ddx)
,可求概率密度：%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%20%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7Df(x%2Cy)dy)
,%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%20%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7Df(x%2Cy)dx)
，此概率密度稱為邊緣概率密度
條件分布
設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量屈尼，對(duì)于固定的
,若
,則說(shuō)：
為在
條件下隨機(jī)變量的條件分布律
設(shè)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為,關(guān)于的邊緣概率密度為)
,對(duì)于固定的,%3E0)
拴孤，則稱:%3D%5Cfrac%7Bf(x%2Cy)%7D%7Bf_%7BY%7D(y)%7D)
為在
條件下的條件概率密度脾歧，進(jìn)一步：dx%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%20%7D%5E%7Bx%7D%5Cfrac%7Bf(x%2Cy)%7D%7Bf_%7BY%7D(y)%7Ddx)
為條件分布函數(shù)
若二維隨機(jī)變量概率密度為%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7BA%7D%20%26%20(x%2Cy)%5Cin%20G%5C%5C%200%20%26%20otherwise%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.)
,其中·為是平面上的有界區(qū)域，其面積為
演熟，則稱隨機(jī)變量在上服從均勻分布鞭执。
相互獨(dú)立的隨機(jī)變量
對(duì)于任意，假如有以下式子成立：
芒粹，即%3DF_%7BX%7D(x)F_%7BY%7D(y))
兄纺，則說(shuō)隨機(jī)變量與是相互獨(dú)立的，或者連續(xù)型隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)等式%3Df_%7BX%7D(x)f_%7BY%7D(y))
成立時(shí)化漆，離散型隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)等式：
成立時(shí)估脆。
兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布
分布
若是二維連續(xù)型隨機(jī)變量且其概率密度為，則仍為連續(xù)型隨機(jī)變量座云，概率密度為:
%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%20%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7Df(z-y%2Cy)dy)
或%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%20%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7Df(x%2Cz-x)dx)
如果相互獨(dú)立疙赠，那么%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%20%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7Df_%7BX%7D(z-y)f_%7BY%7D(y)dy%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%20%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7Df_%7BX%7D(x)f_%7BY%7D(z-x)dx)
,此公式亦稱卷積公式
分布
若是二維連續(xù)型隨機(jī)變量且其概率密度為，則仍為連續(xù)型隨機(jī)變量朦拖，概率密度分別為：
%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7Cx%7Cf(x%2Cxz)dx)
%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%7Cx%7C%7Df(x%2C%5Cfrac%7Bz%7D%7Bx%7D)dx)
如果相互獨(dú)立,那么
%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7Cx%7Cf_%7BX%7D(x)f_%7BY%7D(y)dx)
%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%7Cx%7C%7D%20f_%7BX%7D(x)f_%7BY%7D(%5Cfrac%7Bz%7D%7Bx%7D)dx)
及
分布
相互獨(dú)立圃阳，則：
%3DP%5Cleft%20%5C%7BM%5Cleqslant%20z%20%5Cright%20%5C%7D%3DP%5Cleft%20%5C%7BX%5Cleqslant%20z%20%2CY%5Cleqslant%20z%20%5Cright%20%5C%7D%3DF_%7BX%7D(z)F_%7BY%7D(z))
![F_{min}(z)=P\left \{N\leqslant z \right \}=1-P\left \{N>z \right \}=1-P\left \{X>z \right \}\left \{Y>z \right \}=1-\left [1-F_{X}(z) \right ]\left [1-F_{Y}(z) \right ]](https://math.jianshu.com/math?formula=F_%7Bmin%7D(z)%3DP%5Cleft%20%5C%7BN%5Cleqslant%20z%20%5Cright%20%5C%7D%3D1-P%5Cleft%20%5C%7BN%3Ez%20%5Cright%20%5C%7D%3D1-P%5Cleft%20%5C%7BX%3Ez%20%5Cright%20%5C%7D%5Cleft%20%5C%7BY%3Ez%20%5Cright%20%5C%7D%3D1-%5Cleft%20%5B1-F_%7BX%7D(z)%20%5Cright%20%5D%5Cleft%20%5B1-F_%7BY%7D(z)%20%5Cright%20%5D)
推廣到
個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量：
%3DF_%7BX_1%7D(z)F_%7BX_2%7D(z)%5Cdots%20F_%7BX_n%7D(z))
![F_{min}(z)=1-\left [1-F_{X_1}(z) \right ]\left [1-F_{X_2}(z) \right ]\dots \left [1-F_{X_n}(z) \right ]](https://math.jianshu.com/math?formula=F_%7Bmin%7D(z)%3D1-%5Cleft%20%5B1-F_%7BX_1%7D(z)%20%5Cright%20%5D%5Cleft%20%5B1-F_%7BX_2%7D(z)%20%5Cright%20%5D%5Cdots%20%5Cleft%20%5B1-F_%7BX_n%7D(z)%20%5Cright%20%5D)
